河北省邢台市部分学校2023届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份河北省邢台市部分学校2023届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省邢台市部分学校2023届高三上学期12月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知，则在复平面内，其共轭复数所对应的点位于(   )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2、已知非零向量，的夹角余弦值为，且，则(   )A.2 B. C. D.13、已知中，点D为边AC中点，点G为所在平面内一点，则“”为“点G为重心”(   )条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要4、已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，则下列选项中错误的是(   )A. B. C. D.5、已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是(   )A. B. C. D.6、如图，圆内接四边形ABCD中，，，，，，现将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为(   )A. B. C. D.7、如图，在平行四边形ABCD中，，，动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则的最大值是(   )A. B. C. D.8、已知函数，若存在x使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、下列命题中真命题有(   )A.集合，，若，则实数a的取值集合为B.数列的前n项和为，若，，则，C.若定义域为R的函数是奇函数，函数为偶函数，则D.若，，分别表示，的面积，则10、已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列说法错误的是(   )A.线段AB为平面外的线段，若A，B两点到平面的距离相等，则B.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等C.若，，则D.若，，则11、折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形AOB，其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动(包括端点)，则下列结论正确的有(   )A.在方向上的投影向量为B.若，则C.D.的最小值是12、如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折到的位置，连接和，N为的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是(   )A.面面B.线段CN长度的取值范围为C.直线AM和CN所成的角始终为D.当三棱锥的体积最大时，点C在三棱锥外接球的外部三、填空题13、已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是__________.14、在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱AB，AD，两两夹角都为，且，，，M，N分别为，的中点，则MN与AC所成角的余弦值为__________.15、已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，抛物线与双曲线交于C，D两点，记直线AC，BD的斜率分别为，，则为__________.16、如图，在棱长均为2的正四面体ABCD中，M为AC中点，E为AB中点，P是DM上的动点，Q是平面ECD上的动点，则的最小值是__________.四、解答题17、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，，，过B作于点D，点E为线段BD的中点.(1)求c；(2)求的值.18、已知数列的前n项和为，等差数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和.19、为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.(1)类比此解法，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为5，，，求此四面体的体积；(2)已知对棱分别相等的四面体称为等腰四面体.小明同学在研究等腰四面体ABCD(设，，)时，给出如下结论：①等腰四面体的外接球半径为；②等腰四面体的四个面可以都为直角三角形.聪明的同学们，你认为小明同学研究的结论正确吗?给出理由.20、已知椭圆的左，右顶点分别，，上顶点为B，，C的长轴长比短轴长大4.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点(异于点)，且，证明：直线l恒过定点，并求出定点坐标.21、如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点M，N分别是边BC，CD的中点，，.沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥.(1)在翻折过程中是否总有平面平面PAG?证明你的结论；(2)当四棱锥体积最大时，求点B到面PDG的距离；(3)在(2)的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为?若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.22、已知函数，，.(1)讨论函数的单调性；(2)若，，使得，求实数a的取值范围.
参考答案1、答案：D解析：略2、答案：A解析：略3、答案：C解析：，则，所以，所以G为BD的靠近BD的三等分点，所以点G为重心，充分性成立，若点G为重心，由重心性质知，故，必要性成立，故为“点G为重心”充要条件.故选：C.4、答案：D解析：设等差数列的公差为d，，，成等比数列，，即，，解得或(舍去)，，对于A：，故A正确；对于B：，，，故B正确；对于C，D：，，故C正确，D错误，故选：D.5、答案：B解析：略6、答案：C解析：略7、答案：C解析：略8、答案：C解析：略9、答案：CD解析：略10、答案：ABC解析：对A，线段AB为平面外的线段.若A，B两点到平面的距离相等，则或AB中点在平面内，故A错误；对B，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故B错误；对C，若，，则或，故C错误；对D，由线面垂直的性质可得，若，，则，故D正确；故选：ABC.11、答案：ABD解析：略12、答案：AC解析：略13、答案：且解析：，，且与的夹角为锐角，，解得，但当，即时，两向量同向，应舍去，的取值范围为：且且，故答案为：且.14、答案：解析：略15、答案：或解析：根据题意，，，将拋物线与双曲线的方程联立有：，解得：或，由于要求，所以，从而，，不妨设，，从而，，从而16、答案：解析：因为，均为等边三角形，E为AB的中点，则，，，平面，平面，平面，平面平面CDE，过点M在平面ABC内作，因为平面平面CDE，平面平面，平面，平面CDE，连接DG，则DG为DM在平面CDE上的射影，要使最小，则，沿DM把平面ADM展开，使得平面ADM与平面DMG重合，则的最小值为A到DG的距离.，，则，所以，，，所以，.又，所以，.故答案为：.17、答案：(1)4(2)解析：(1)依题意，，解得(2)由余弦定理得，，，解得，所以.18、答案：(1)，(2)解析：(1)当时，；当时，，当时也符合，所以.由题意，，设等差数列的公差为d，则，，故.综上，(2)由(1)知：，①②得：即：，.19、答案：(1)24(2)①正确；②错误；理由见解析解析：(1)如图，长方体中的四面体是对棱相等的四面体，其中，，，设，，，则，解得：，，，则，，(2)设长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，由(1)可知，，即，等腰四面体的外接球就是所在长方体的外接球，所以，则，故①正确；假设4个面都是直角三角形，设，则AD是直角三角形ABD和ACD的斜边，取AD的中点O，连结OB，OC，则，那么，O，B，C三点共线，此时，不能构成四面体，所以等腰四面体的四个面不能都是直角三角形，故②错误.20、答案：(1)(2)，证明过程见解析解析：(1)由题意知：，因为为锐角，故，由题意知：，解得：，故椭圆方程为.(2)根据题意，设直线l的方程为，，将直线方程与椭圆方程联立可得：，则，即.设，，则，.因为，根据向量加法与减法的几何意义可得：，则，因为，，所以，也即，整理化简可得：，解得：或，此时均满足，当时，直线l的方程为，过定点；当时，直线l的方程为，过定点，此时定点与点重合，故舍去，综上，直线l恒过定点，定点坐标为.21、答案：(1)总有平面平面PAG，证明详见解析(2)(3)存在，Q是PA的中点，理由见解析.解析：(1)折叠前，因为四边形ABCD是菱形，所以，由于M，N分别是边BC，CD的中点，所以，所以，折叠过程中，，，，GP，平面PAG，所以平面PAG，所以平面PAG，由于平面PBD，所以平面平面PAG.(2)当平面平面MNDB时，四棱锥体积最大，由于平面平面，平面PMN，，所以平面MNDB，由于平面MNDB，所以，由此以G为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知，，，，设平面PDG的法向量为，则，故可设，所以P到平面PDG的距离为.(3)存在，理由如下：，，设，则，平面PMN的法向量为，，设平面QDN的法向量为，则，故可设，设平面QDN与平面PMN所成角为，由于平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为，所以，解得或(舍去)，所以当Q是PA的中点时，平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为.22、答案：(1)单调性见解析(2)解析：(1)由题意知：的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令有，故当，则；若，则；在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)当时，，；，；恒成立，不合题意；当时，取，，则，符合题意；当时，若，，使得，则；由(1)知：；，，在上单调递增，，，即，，解得：；综上所述：实数a的取值范围为.