四川省宜宾市重点高中2023届高三上学期第一次诊断测试数学（理）试卷(含答案)

四川省宜宾市重点高中2023届高三上学期第一次诊断测试数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则集合的元素个数为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

2、若复数z满足，则z的虚部是(   )

A.1 B.-1 C.i D.-i

3、“”是“”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

4、已知函数，则的大致图象是(   )

A. B.

C. D.

5、如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是(   )

A. B. C. D.

6、在中，若，，则(   )

A.-20 B.-9 C.9 D.16

7、已知角的终边上一点P的坐标为，角的终边与角的终边关于x轴对称，则(   )

A. B. C.-3 D.3

8、“四书”“五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为(   )

A. B. C. D.

9、已知，当取最大值时，则xy的值为(   )

A. B.2 C.3 D.4

10、南宋数学家杨辉给出了著名的三角垛公式：，则数列的前n项和为(   )

A. B. C. D.

11、已知定义在R上的奇函数满足，，则(   )

A.4 B.0 C.-2 D.-4

12、已知，，，则a、b、c的大小关系为(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、若x，y满足约束条件则的最大值为________.

14、在的展开式中，常数项为_________.(用数字作答)

15、已知函数，方程在区间有且仅有四个根，则正数的取值范围是_________.

16、关于x的不等式的解集为R，则的最大值是_________.

三、解答题

17、2022年四川持续出现高温天气，导致电力供应紧张.某市电力局在保证居民生活用电的前提下，尽量合理利用资源，保障企业生产.为了解电力资源分配情况，在8月初，分别对该市A区和B区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计，结果用茎叶图表示如图.

(1)求A区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数；

(2)当供电量与需求量的比值小于时，生产要受到影响，统计茎叶图中的数据，填写列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关？

附：

18、已知正项数列满足，.

(1)计算，，猜想的通项公式并加以证明；

(2)若，求数列的前n项和.

19、的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，.

(1)若，求的周长；

(2)若AC边的中点为D，求中线BD的最大值.

20、现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误.

(1)设乙接到球的次数为X，通过三次传球，求X的分布列与期望；

(2)设第n次传球后，甲接到球的概率为，

(i)试证明数列为等比数列；

(ii)解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数.

21、已知函数().

(1)，求证：；

(2)证明：.(，)

22、在平面直角坐标xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数，)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的普通方程和极坐标方程；

(2)在平面直角坐标xOy中，若过点且倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点，求证：，，成等差数列.

23、已知函数，，，.

(1)当时，解不等式；

(2)当函数的最小值为7时，求的最大值.

参考答案

1、答案：C

解析：，

，即集合的元素个数为3.

故选：C.

2、答案：B

解析：由得：，

z的虚部为-1.

故选：B.

3、答案：A

解析：在上单调递增，

，

又在R上单调递增，

，

由可得，但由不能得到，例如，

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4、答案：A

解析：函数，定义域为R，所以

所以函数为奇函数，故排除B，D选项；

当时，令得，所以函数最小正零点为，

则，则符合图象特点的是选项A，排除选项C.

故选：A.

5、答案：C

解析：由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，

该函数解析式为：，

输出的函数值在区间内，必有当时，，

当时，，

即得.

故选∶C.

6、答案：B

解析：，

.

故选：B.

7、答案：C

解析：因为角的终边上一点P的坐标为，角的终边与角的终边关于x轴对称，

所以，点是角的终边上的点，

所以，，

所以

故选：C

8、答案：C

解析：先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，

共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法，

排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，

从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法，

故总共有种排法，

故选：C.

9、答案：B

解析：由题意可得，

则，即，

当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，

即取最大值时，，此时，

故选：B

10、答案：A

解析：，

由题意可得：数列的前n项和为，

又，

数列的前n项和

.

故选：A.

11、答案：C

解析：为奇函数，则，即，

，则的周期为4，

则，

故.

故选：C.

12、答案：D

解析：由题意可知，

，故；

又，，

因为，故，

综合可得，

故选：D.

13、答案：5

解析：由约束条件可知，可行域如图所示，

令，则，当在y轴的截距最小时，最大

由，求得，则

所以

故答案为：5

14、答案：-30

解析：由题得的通项为，

令，即得的常数项为，

令，无整数解，即展开式中不含的项，

所以的常数项为.

故答案为：-30

15、答案：

解析：由，可得，

所以，

又因为当时，，

所以的可能取值为，，，，…

因为原方程在区间有且仅有四个根，

所以，解得

即的取值范围是

故答案为：

16、答案：

解析：关于x的不等式的解集为R，

所以，在R恒成立，

设是函数上任意一点，则，

所以，函数在点处的切线方程为，即，

令，则，

当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即；

当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即；

所以，，

所以，在R恒成立，即在R恒成立，

所以，，且，

所以，恒成立，且，，

所以，且，，

所以，，

令，，则，，

令，，则，

所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以，，

所以，的最大值是.

故答案为：

17、答案：(1)0.86；

(2)列联表见解析，没有95%的把握.

解析：(1)A区供电量与需求量的比值由小到大排列，第5个数，第6个数分别为0.85，0.87，

所以所求中位数为；

(2)列联表：

没有95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关.

18、答案：(1)，，，证明见解析；

(2).

解析：(1)当时，，，；

当时，，，；

猜想.

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立；

那么时，，，

即时，，

则对任意的，都有成立.

(2)由题意得，

.

19、答案：(1)

(2)

解析：(1)，

由正弦定理可得：，则，

若，则，解得，

故的周长.

(2)，

，

由(1)可得：，即，

，当且仅当时，等号成立，

，则，

故，则，

所以的最大值为.

20、答案：(1)分布列见解析，

(2)(i)证明见解析；(ii)答案见解析.

解析：(1)由题意知X的取值为0，1，2，

；

；

；

所以X的分布列为

所以；

(2)(i)由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，

，时，第n次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第n次必传给甲的事件，

于是有，即，

故数列是首项为，公比为的等比数列；

(ii)，所以，

当时，，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数.

21、答案：(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

解析：(1)先证，令，，此时，

故，

所以在上单调递增，

所以，即，

再证，

令，，

，，在上单调递增，

故，即，

综合以上可得时，；

(2)由(1)可知，

，，

要证，只需证，

即证，即证；

，，

要证，即证(，)

令，则，

在上单调递增，，，

所以在区间上存在零点，则时，，时，，

故在上单调递减，上单调递增，

而，，

由于，，故，

故，

所以时，，

故当时，成立，当时，也成立，

所以，(，)得证，则成立.

22、答案：(1)，

(2)证明见解析

解析：(1)由得，代入整理得，即，

，则，，

故曲线C的普通方程为，

又，则，

整理得

曲线C的极坐标方程为

(2)由题意可得：直线l的参数方程为(t为参数)，

代入，整理得，

，，，

则，

即，

，，成等差数列

23、答案：(1)；

(2)5.

解析：(1)由题知，，

或或

解得或或

所以，的解集为，

(2)由绝对值三角不等式得：

当且仅当，即时取等号，

因为函数的最小值为7，

所以，，

所以，由柯西不等式得

当，即，，时取等号.

所以，的最大值为5.