重庆市名校联盟2022-2023学年高一数学上学期第二次联考试卷（Word版附解析）

重庆市名校联盟2022-2023学年度第二次联合考试

数学试题（高2025届）

一､单项选择题：共有8小题，每小题5分，共40分.

1. 集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的运算可得出实数的取值范围.

【详解】因为，集合，，则.

故选：C.

2. 命题“，使得的否定是（    ）

A. ，均有 B. ，均有

C. ，使得 D. ，使得

【答案】A

【解析】

【分析】根据特称命题的否定理解判断.

【详解】命题“，使得的否定是“，均有”.

故选：A.

3. 函数的定义域为（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零、对数真数大于零列出关于的不等式组，即可得出函数的定义域.

【详解】由题意可得，即，解得且，

因此，函数的定义域为.

故选：C.

【点睛】本题考查函数定义域的求解，要根据一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于基础题.

4. 已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出函数的解析式，根据函数的定义域和单调性得解.

【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，

所以，即，解得，即函数，也即，

则函数的定义域为，所以排除选项CD；

又，函数单调递减，故排除B，

故选：A.

5. 设，则是的（    ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C. 充分且必要 D. 既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

【分析】由已知，根据题意，由可得或，而当时，可以得到，即可做出判断.

【详解】由已知，，

可得或，此时不一定能得到；

而时，可以得到.

所以：是的必要不充分条件.

故选：B.

6. 已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）

A. 9 B. 25 C. 16 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】根据题目所给条件可知，实数均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实数的最大值.

【详解】由得，

又因为，所以实数均正数，

若不等式恒成立，即；

，

当且仅当时，等号成立；

所以，，即实数的最大值为25.

故选：B.

7. 已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（    ）.

A.  B.  C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最小值即可.

【详解】偶函数，为奇函数，且①

②

①②两式联立可得，.

由得，

∵在是增函数，且，在上是单调递增，

∴由复合函数的单调性可知在为增函数，

∴，

∴，即实数的最大值为

故选：D.

8. 设函数是奇函数，函数的图像与的图像有2022个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于（    ）

A.  B.  C. 10110 D. 5050

【答案】A

【解析】

【分析】先利用题意判断出与均关于点对称；然后利用对称性求解即可.

【详解】由题可知，得，所以关于点对称；，显然关于点对称；因为函数的图像与的图像有2022个交点，则这些交点也关于点对称，所以每两个对称点纵坐标之和为，个交点有组对称点，所以这交点得纵坐标之和为；因为函数的图像与的图像有2022个交点，则这些交点也关于点对称，所以每两个对称点横坐标之和为，个交点有组对称点，所以这交点得纵坐标之和为；故这些交点得横纵坐标之和为

故选：A

二､多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.全选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分.

9. 下列命题正确的是（    ）

A. 终边落在轴的非负半轴的角的集合为

B. 终边在轴的正半轴上的角的集合是

C. 第三象限角的集合为

D. 在范围内所有与角终边相同的角为和

【答案】ABD

【解析】

【分析】ABC：通过写出对应的集合来判断；D：直接按照要求计算角度即可.

【详解】终边落在轴的非负半轴的角的集合为，A正确；

终边在轴的正半轴上的角的集合是，B正确；

第三象限角的集合为，C错误；

在范围内所有与角终边相同的角为和，D正确.

故选：ABD.

10. 下列四个命题中不可能成立的是（    ）

A. 且

B. 且

C. 且

D. （为第二象限角）

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于ACD，利用三角函数的基本关系式即可判断，

对于B，举一例子即可判断.

【详解】对于A，因为，，所以，与矛盾，所以命题不成立，故A正确；

对于B，当时，，，所以该命题可以成立，故B错误；

对于C，因为，，所以，则，与矛盾，所以命题不成立，故C正确；

对于D，因为，所以显然不成立，故D正确.

故选：ACD.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 若都是正数，且，则的最小值是3

B. 若，则

C. 若，则的最小值为2

D 已知，且，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，由于，进而根据基本不等式可判断；对于B，由题知，进而根据不等式性质可判断；对于C，根据基本不等式成立的条件判断；对于D，由题知，进而，进而可判断D.

【详解】解：对于A，都是正数，且，故

所以，当且仅当，即时等号成立，

所以，的最小值是，故A选项正确；

对于B，由得，所以，故B选项正确；

对于C，，则，故，当且仅当，即时等号成立，显然无解，故，C选项错误；

对于D，由，且得，所以，故，即，故D选项正确

故选：ABD

12. 已知函数则方程的根的个数可能为（    ）

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

【答案】ABC

【解析】

【分析】由已知，先画出函数的图像，然后再讨论方程的根的个数，从而确定“”的解的个数，进而做出判断.

【详解】由已知，函数，如图所示：

①方程的根最多三个：，

此时的根为0个或1个或两个，

的根为两个；的根为两个，

即方程的根的个数可能为4，5，6个；

②方程的根为两个时：或，

此时的根为0个或2个；的根为两个，

即方程的根的个数可能为2，4个；

③方程的根为一个时：,

此时的根为0个,

方程的根的个数为0个,

综上，根的个数可能为0,2,4,5,6个.

故选：ABC.

【点睛】方法点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图像的对称性，分析函数的奇偶性；从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.其中15题为双空题（按3+2=5分）

13. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．

【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，

则扇形的面积，解得：，

此扇形所含的弧长.

故答案为：.

14. 已知函数，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由分段函数分别计算，再结合指数、对数运算法则即可.

【详解】由分段函数可知，，，即.

故答案为：

15. 已知某种药物在血液中以每小时的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物，设经过个小时后，药物在病人血液中的量为.

（1）与的关系式为___________.

（2）当该药物在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过___________小时（精确到.

（参考数据：）

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】①根据题意写与的关系式即可；

②根据题意列不等式，然后根据指数函数的单调性解不等式即可.

【详解】由题意得，即；

令，整理得，因为函数单调递减，，所以，故不能超过7.2小时.

故答案为：①；②7.2.

16. 设函数且在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】分类讨论，转化为函数在区间上的单调性，结合对勾函数的单调区间列式可求出结果.

【详解】因为且，所以的定义域为，

当时，因为在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，

因为当时，由对勾函数可得的单调递增区间为，所以，解得；

当时，因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，

因为当时，由对勾函数可得的单调递减区间为，所以，解得，与相矛盾，不符合题意.

综上所述：实数的取值范围是.

故答案为：

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤

17. 计算下列各式值：

（1）

（2）

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的定义及运算求解.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

.

18. 已知，集合，．

（1）当时，求；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合，，由此能求出．

（2）由可得，分类讨论与，列出不等式，求解即可；

【详解】（1）当时，

，

故；

（2）由知

当时，，解得；

当时，，解得．

综上所述，实数的取值范围为

【点睛】易错点睛：本题主要考查了不等式，求集合的交集、集合的子集，属于容易题，在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.

19. 2005年8月，时任浙江省省委书记的习近平同志就提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断.为了改善农村卫生环境，振兴乡村，加快新农村建设，某地政府出台了一系列惠民政策和措施某村民为了响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方体形状的沼气池，利用秸秆、人畜肥等做沼气原料，用沼气解决日常生活中的燃料问题.若沼气池的体积为18立方米，深度为3米，池底的造价为每平方米180元，池壁的造价为每平方米150元，池盖的总造价为2000元.设沼气池底面长方形的一边长为x米，但由于受场地的限制，x不能超过2米.

（1）求沼气池总造价y关于x的函数解析式，并指出函数的定义域；

（2）怎样设计沼气池的尺寸，可以使沼气池的总造价最低？并求出最低造价.

【答案】（1）   

（2）当长米，宽米时总造价最低，最低造价为元

【解析】

【分析】（1）池底、池壁、池盖的造价求得关于的解析式，并写出定义域.

（2）利用函数单调性求得设计方案并求得最低造价.

【小问1详解】

沼气池的宽为，

依题意

【小问2详解】

由（1）得，

对于函数，

任取，

其中，

所以，

所以在上递减，

所以当长米，宽米时，最小，也即总造价最小，

最小值为元.

20. 已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求实数的值.

（2）试判断的单调性，并用定义证明.

（3）解关于的不等式.

【答案】（1）   

（2）在上为增函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）直接由计算可得实数的值；

（2）任取且，通过计算的正负来判断单调性；

（3）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式中的去掉，然后换元转化为二次不等式求解.

【小问1详解】

因为函数是定义域为的奇函数，

所以，

即恒成立，

所以.

【小问2详解】

在上为增函数，证明如下：

由于，任取且，

则.

因为，所以，又，

所以，

所以函数在上为增函数.

【小问3详解】

由（2）得，奇函数在上为增函数，

，即.

令，则，可得，即

可得不等式的解集为.

21. 已知函数且是偶函数，函数且.

（1）求实数的值.

（2）当时，

①求的值域.

②若，使得恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）①；②

【解析】

【分析】（1）利用函数的奇偶性得到，从而求得的值；

（2）①利用换元法，结合指数函数与对勾函数的单调性求得，从而由对数函数的单调性求得，据此得解；

②将问题转化为恒成立，从而得到在上恒成立，利用换元法再次将问题转化为恒成立，从而得解.

【小问1详解】

由题意得，即，

所以，

则，由于不恒为，所以，故，

经检验，当时，的定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数，满足题意，

所以.

【小问2详解】

①由（1）及得，

由于指数函数在上单调递增，对勾函数在上单调递减，上单调递增，

所以当时，取得最小值，即，

又在上单调递增，所以，

故的值域为；

②由题意得，

因为，使得恒成立，

所以，恒成立，则恒成立，

由①易得当时，，，所以恒成立，

因为，所以在上恒成立，

令，因为，所以，则在上恒成立，即在上恒成立，

令，易知在上单调递减，所以，

所以，即.

22. 定义在上的函数满足：对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数，成立，则称函数是“v型函数”．已知函数，，．

（1）若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围；

（2）设函数是“v型函数”，若方程存在两个不相等的实数，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据二次函数的单调性列出不等式即可得解；

（2）当时，设函数的值域为，当时，设函数的值域为，由“v型函数”，分析可得，再分，和三种情况讨论，求出，再根据方程存在两个不相等的实数，求得的范围，再将所求用表示，从而可得出答案.

【小问1详解】

解：因为在区间上具有单调性，

所以或，

解得或，

即实数的取值范围是；

【小问2详解】

解：因为函数的对称轴，

所以函数在上递减，

当时，设函数的值域为，则，

当时，设函数的值域为，

因为函数是“型函数”，

由“型函数”的定义知：

①若，则存在唯一，使，所以在上单调且，

②若，则存在唯一，使，所以在上单调且，

所以函数在轴两侧的图象必须“等高”且单调，

即且在上单调，

当时，，不合题意；

当时，在上单调递增，在上单调递减，，不合题意；

当时，在上单调递增，，

所以，则舍去），

综上，

则，

由方程，

当时，方程为，

因为，

所以方程有两个实数根，设为，

则，

所以方程有两个异号实数根，

故当时，方程有且仅有一个实数根，

当时，方程为，

又因方程存在两个不相等的实数，

所以，

即当时，方程一定有一个实数根，

即，所以，

由，得，则，

由，得，

则

，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

当时，，

当时，，

所以.

【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数的范围及函数新定义的问题，考查了根据方程的根求参数的范围问题，解决第二问的关键在于把所求用表示，属于难题.