湖南省多所学校2022-2023学年高一数学上学期12月月考试题（Word版附答案）

2022年下学期高一选科调研考试

数  学

本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知角，则的弧度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，则用x，y表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 若，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 若不计空气阻力，则以初速度竖直上抛的物体距离抛出点的高度y与时间t满足关系式，其中.现有一名同学以初速度竖直向上抛一个排球，则该排球在距离抛出点以上的位置停留的时间约为（）（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，则有（    ）

A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值

8. 已知定义域为的函数在上为减函数，且为奇函数，则给出下列结论：①的图象关于点对称；②在上为增函数；③.其中正确结论的个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数中，在区间上存在唯一零点的有（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 下列命题中正确的有（    ）

A. ， B. ，

C. 若，则 D. 圆心角为，弧长为的扇形面积为

11. 已知集合，，，则下列关系正确的有（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，设的图象为曲线C，则（    ）

A. 曲线C是中心对称图形 B. 曲线C是轴对称图形

C. 在上为增函数 D. 在上为减函数

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 写出一个定义域不是的偶函数：______.

14. 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过半径为r（单位：cm）的圆形管道时，其流量速率v（单位：）与r的四次方成正比，若气体在半径为的管道中，流量速率为，则当气体通过半径为的管道时，该气体的流量速率为______.

15. 若命题“，”为真命题，则a的最小值为______.

16. 已知函数，若与有相同的最小值，则实数a的取值范围是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知函数，且的解集为.

（1）求a，b的值；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

18.（本小题满分12分）

已知函数，且的反函数为.

（1）求的值；

（2）若函数，求是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分12分）

已知集合，，.

（1）若，求m的取值范围；

（2）若“”是“”的充分条件，求m的取值范围.

20.（本小题满分12分）

2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击了我国，给人民的身体健康造成了很大的威胁，也造成了医用物资的严重短缺，为此，某公司决定大量生产医用防护服.已知该公司生产防护服的固定成本为30万元，每生产一件防护服需另投入40元.设该公司一个月内生产该产品x万件，且能全部售完.若每万件防护服的销售收入为万元，且.

（1）求月利润P（万元）关于月产量x（万件）的函数关系式（利润＝销售收入－成本）；

（2）当月产量x为多少万件时，该公司可获得最大利润，并求该公司月利润的最大值.

21.（本小题满分12分）

已知函数是上的奇函数（a，b为常数）.

（1）求的解析式；

（2）若存在，使不等式成立，求实数k的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数，，.

（1）求的单调区间；

（2）若，且，，使得，求a的取值范围.

2022年下学期高一选科调研考试·数学

参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【命题意图】本题重点考查角度与弧度的关系与互化，属容易题.

【答案】D

【解析】，故选：D.

2.【命题意图】本题重点考查集合的概念与运算，属容易题.

【答案】B

【解析】因为，所以.故选：B.

3.【命题意图】本题重点考查指数与对数的关系，对数的运算，属容易题.

【答案】C

【解析】，故选：C.

4.【命题意图】本题重点考查充分条件与必要条件，不等式，属容易题.

【答案】C

【解析】因为，所以.故选：C.

5.【命题意图】本题重点考查函数的应用与不等式的解法，属容易题.

【答案】A

【解析】由，得，所以，

所以该排球在距离抛出点以上的位置停留的时间约为.

故选：A.

6.【命题意图】本题重点考查对数及其运算，基本不等式的应用，考查转化与化归的能力，属中档题.

【答案】D

【解析】因为，

所以，又，所以.故选：D.

7.【命题意图】本题重点考查基本不等式，函数的单调性等函数的基础知识，属中档题.

【答案】B

【解析】因为.

令，则，且在时为增函数，

所以，故，故选：B.

8.【命题意图】本题重点考查函数的奇偶性、单调性与对称性等函数的基础知识，考查学生的应用所学知识分析问题与解决问题的能力，属中档题.

【答案】C

【解析】因为为奇函数，所以的图象关于点对称，所以①正确，②不正确；③正确.故选：C.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【命题意图】本题重点考查函数的单调性，零点存在定理，属容易题.

【答案】BCD

【解析】因为的解为，，所以在区间上有两个零点，所以A不正确；

因为在上为增函数，且，，所以在区间上存在唯一零点，故B正确；

因为在上为增函数，且，，所以在区间上存在唯一零点，故C正确；

因为在上为减函数，且，，

所以在区间上存在唯一零点，所以D正确.故选：BCD.

10.【命题意图】本题重点考查全称量词命题与存在量词命题，象限角，三角函数的定义及同角三角函数的基本关系，属容易题.

【答案】ABD

【解析】因为，所以为第一象限的角，为一、二象限的角或终边在y轴的正半轴上，所以AB正确；

当时，，所以C不正确；

设的终边与单位圆的交点为x，y，则，，

根据扇形弧长公式，得，，所以D正确.故选：ABD.

11.【命题意图】本题重点考查集合的概念，元素与集合的关系，集合与集合的关系，属容易题.

【答案】ACD

【解析】A显然正确，由集合T的定义，可知M，P都是集合T的元素，所以B不正确，CD正确.故选：ACD.

12.【命题意图】本题重点考查函数的图象与性质，考查数学运算、直观想象与逻辑推理，属稍难题.

【答案】BD

【解析】因为，

所以为偶函数，故的图象关于直线对称，所以A不正确，B正确；

因为在和上为增函数，

所以在和上为增函数，在和上为减函数，所以C不正确，D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【命题意图】本题重点考查函数的定义域、奇偶性等函数的基础知识，考查学生的发散思维能力.

【答案】；（答案不唯一）

【解析】由题设要求可得答案，且答案不唯一.

14.【命题意图】本题重点考查幂函数，数学建模，属容易题.

【答案】2500

【解析】由已知，设，且时，，所以，当时，.

故答案为：2500.

15.【命题意图】本题重点考查基本不等式，恒成立问题，考查学生的转化与化归能力，属中档题.

【答案】

【解析】不等式等价于，

因为，所以，所以，所以a的最小值为.

故答案为.

16.【命题意图】本题重点考查函数的性质，基本不等式，转化与化归的数学思想，属稍难题.

【答案】

【解析】，当且仅当，即时取等号，所以，故.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【命题意图】本题重点考查“三个”二次与恒成立问题，属容易题.

【解析】（1）由已知，可知，是方程的两个根，且，

所以，解得，；

（2）由，得，

令，则对于任意的恒成立，所以，

因为在上为增函数，在上减函数，所以，

故实数m的取值范围为.

18.【命题意图】本题重点指数与对数的运算，指数函数与对数函数的图象与性质，分类与整合的思想，属容易题.

【解析】（1）由已知，可知，

所以；

（2）因为，

由，得，

所以当时，，得；

当时，，得；

当时，方程无解，

所以当时，函数的零点为和；

当时，函数的零点为；

当时，函数没有零点.

19.【命题意图】本题重点考查集合的概念与运算，充分条件与必要条件，对数函数的定义域，不等式的解法，属容易题.

【解析】（1）因为，所以，

即，所以，

又，所以，

当时，，即；

当时，，解得，

所以m的取值范围是；

（2）因为“”是“”的充分条件，所以，

因为，

所以，解得，

所以m的取值范围是.

20.【命题意图】本题重点考查函数的应用，数学建模，属中档题.

【解析】（1）当时，.

当时，，

所以；

（2）当时，，

所以当时，，

当时，，

当且仅当时，取等号，

所以当月产量为6万件时，该公司可获得最大利润，月利润的最大值为70万元.

21.【命题意图】本题重点考查函数的性质，含参数不等式，考查函数的思想与分类整合的思想，属中档题.

【解析】（1）因为是上奇函数，所以，解得，

由，得对任意的实数x恒成立，

化简整理，得，所以，

所以；

（2）因为，所以在上为减函数，

证明如下：

设，则，

因为，所以，又，，所以，

故在上为减函数，

因为等价于，

所以，整理得，

因为，

当且仅当时取等号，所以，

所以k的取值范围是.

22.【命题意图】本题重点考查函数的图象与性质，考查数形结合，转化与化归，分类与整合的数学思想，属稍难题.

【解析】（1）因为，

所以在上为减函数，在上为增函数；

（2）因为，

，

又，，使得等价于当，时，，

因为，所以在上为减函数，在上为增函数，

所以；

结合的图象，可知，

当时，在上为增函数，所以，

此时，即，解得或，

所以，

当时，在上为减函数，在上为增函数，

所以，

此时，即，解得，或，

所以，

当时，为，中的最小值，

若，即时，，

此时，即，解得，

所以，

若，即时，，

此时，即，解得，

所以，此时无解，

综上所述，a的取值范围是.