上海市实验学校2021-2022学年高二上学期期末数学试题

上海市实验学校2021-2022学年高二上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知点，，，若，则___________.

2．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点.若，，，则向量____________(用，，表示).

3．若直线经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数的值为_________.

4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.

5．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是______.

6．中，已知、，且、、成等差数列，则C点的轨迹方程为______.

7．设是双曲线的两个焦点，A是双曲线上的一点，若，则___________．

8．已知平行六面体中，，，，，，则的长为________

9．已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点(包括边界)，则的取值范围是____.

10．已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，，则周长的最大值为__________.

二、单选题

11．抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B．

C． D．

12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（    ）

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

13．若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为

A． B． C． D．1

14．设，，若直线与圆相切，则的取值范围是．

A． B．

C． D．

三、解答题

15．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求

（Ⅰ）a的值；

（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．

16．如图，已知长方体中，，，M是的中点.

(1)求BM与平面所成的角；

(2)求点M到平面的距离.

17．一束光从从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处.

（1）若，，求光从出发，到达点时所走过的路程；

（2）若，求反射光的斜率的取值范围；

（3）若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程.

18．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，过点的动直线与椭圆交于，两点.

（1）求证：为定值；

（2）求面积的最大值.

19．已知点、，平面直角坐标系上的一个动点满足，设动点的轨迹为曲线.

(1)点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围；

(2)已知点、是曲线上的两个动点，若（是坐标原点），试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程.

20．如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，记，和的面积分别为和.

（1）当直线与轴重合时，若，求的值；

（2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由.

参考答案：

1．

【分析】令，利用空间向量的数量关系求坐标，进而求的坐标，利用空间向量模的坐标表示求.

【详解】令，则，，

由，即，可得，

∴，故，

∴.

故答案为：

2．

【分析】利用空间向量的线性运算进行求解.

【详解】

.

故答案为：.

3．

【分析】求出直线的斜率，利用两条直线垂直斜率乘积为的关系，求出的值即可．

【详解】直线的斜率，其中，

由已知可得，解得.

故答案为：.

4．

【分析】设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.

【详解】设点、，

由题意可得，，，

直线的斜率为，

则，两式相减得，

所以，

由于双曲线的一个焦点为，则，，，

因此，该双曲线的标准方程为.

故答案为：.

【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.

5．

【分析】根据斜率和倾斜角的关系即可求解.

【详解】当时，此时直线方程为，故倾斜角

当时，直线的斜率为，

由于，所以或，所以倾斜角的范围，

综上的范围是，

故答案为：

6．

【分析】由椭圆的定义可知点的轨迹是以点、分别为左、右焦点，长轴长为且去掉长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出点的轨迹方程.

【详解】由已知可得，

所以，点的轨迹是以点、分别为左、右焦点，长轴长为且去掉长轴端点的椭圆，

设点的轨迹方程为，

则，可得，

因此，点的轨迹方程为.

故答案为：.

7．14

【分析】根据双曲线方程，得出双曲线的半实轴长为3，从而得出的绝对值为6，再根据三角形两边这和大于第三边排除不符合题意的值，从而可得答案．

【详解】由可得

，双曲线的实轴长为

根据双曲线的定义，得

或2

而时，不满足

只能取

故答案为：14

8．

【分析】可得，由数量积的运算可得，开方可得；

【详解】如图所示：

，

故

故的长等于.

故答案为：

【点睛】本题考查空间向量模的计算，选定为基底是解决问题的关键，属中档题．

9．

【分析】建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的坐标运算可知，利用可求解.

【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，

设

则，，

∴

∵，∴当，时，有最小值.

当点P取，，，时，有最大值1.

∴的取值范围是.

故答案为：

【点睛】方法点睛：利用几何意义求最值的几种常见形式有：

①截距型：，将问题转化为在轴截距的问题；

②斜率型：，将问题转化为与连线斜率的问题；

③两点间距离型：，将问题转化为与两点间距离的平方的问题；

④点到直线距离型：，将问题转化为到直线的距离的倍的问题.

10．

【解析】根据椭圆的定义可将周长转化为，当最大时，、、三点共线，即求出最大值.

【详解】∵的周长为，而，

∴的周长为，

当最大时，、、三点共线，如图所示，

由题意得，，点坐标为，坐标为，

则的周长最大为：

，

故答案为：.

【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题.

11．B

【分析】化简抛物线方程为标准形式，然后求解焦点坐标即可

【详解】，则抛物线的标准方程为：，焦点坐标在轴上，焦点坐标为：．

故选：B

12．D

【分析】通过空间向量建系法，结合向量平行与垂直的性质一一验证即可

【详解】设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，M，N，

∴==(0，0，1)，=(-1，1，0)，=(-1，-1，0)，=(0，1，0)，∴·=0，∴MN⊥CC1，A说法正确；·=-=0，∴MN⊥AC，B说法正确；易知=2，且M，N∉BD，∴MN∥BD，C说法正确；设=λ，得无解，所以MN与A1B1不平行，D说法错误.

故选：D.

13．B

【详解】试题分析：设点，所以，由此可得

，，所以的最小值为.

考点：向量数量积以及二次函数最值．

14．D

【详解】试题分析：因为直线与圆相切,所以，即，所以，所以的取值范

围是．

考点：圆的简单性质；点到直线的距离公式；基本不等式．

点评：做本题的关键是灵活应用基本不等式，注意基本不等式应用的前提条件：一正二定三相等．

15．（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）5x﹣12y+45＝0或x＝3．

【分析】（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；

（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x＝3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．

【详解】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r＝2，

则圆心到直线l：x﹣y+3＝0的距离，

由勾股定理可知，代入化简得|a+1|＝2，

解得a＝1或a＝﹣3，

又a＞0，所以a＝1；

（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r＝2

由（3，5）到圆心的距离为r＝2，得到（3，5）在圆外，

∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3）

由圆心到切线的距离dr＝2，

化简得：12k＝5，可解得，

∴切线方程为5x﹣12y+45＝0；

②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x＝3与圆相切．

由①②可知切线方程为5x﹣12y+45＝0或x＝3．

【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题

16．(1)；

(2)

【分析】（1）以为原点分别为轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据公式来求BM与平面所成的角；（2）根据来求点M到平面的距离.

【详解】（1）以为原点分别为轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面的法向量为，则

，设BM与平面所成的角为

则；

（2）同小问1的图，，设点M到平面的距离为， 则

，所以点M到平面的距离为.

17．（1） （2）（3）

【分析】（1）求出关于轴的对称点，进而可以求出反射光线所在直线，从而可以求出，求出即可；（2）将代入线段中，结合关于轴的对称点，可求出反射光斜率的取值范围；（3）分析可知反射光与直线垂直时，光所走过的路程最短，可求出反射光线所在直线的方程，进而求出反射直线与的交点，然后分别讨论交点在线段上与不在线段上，可求出对应的最短路程．

【详解】（1）关于轴的对称点，

，则此时

所以光所走过的路程即

（2）对于线段，令其端点

则， 所以反射光斜率的取值范围是

（3）若反射光与直线垂直，光所走过的路程最短，则由

①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离，

所以路程；

②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中

所以

综上：

【点睛】本题考查了直线的方程，考查了点关于直线的对称问题，考查了斜率问题，距离问题，属于中档题．

18．（1）证明见解析（2）

【分析】（1）将椭圆方程与直线方程联立，韦达定理表示出来，然后将的坐标表示出来，将韦达定理代入可得；

（2）用（1）中的结论表示出三角形的面积，然后求最值．

【详解】解：（1）当直线的斜率存在时，设其方程为，

点，的坐标分别为，.

联立得，

其判别式，

所以，，

从而，

，

当直线斜率不存在时，

.

所以当时，为定值-3；

（2）显然直线的斜率存在，设其方程为，

由（1）知，，

所以的面积.

设，则，因此，

当且仅当，即时，的面积取得最大值.

【点睛】本题考查了向量的坐标运算，方程联立韦达定理的设而不求的思想，三角形面积的求法，属于中档题

19．(1)

(2)证明见解析，定圆方程为

【分析】（1）分析可知的轨迹是以点、分别为左、右焦点，且长轴长为的椭圆，求出曲线的方程，设点，则且，利用平面向量数量积的运算性质可得出，利用平面向量数量积的坐标运算以及二次函数的基本性质可求得的取值范围；

（2）分两种情况讨论：①当直线、的斜率都存在时，设直线的方程为，则直线的方程为，计算出、，利用等面积法可求得原点到直线的距离；②当点、分别为椭圆的长轴和短轴的端点时，直接计算出原点到直线的距离.综合可得出结论.

【详解】（1）因为，

所以，点的轨迹是以点、分别为左、右焦点，且长轴长为的椭圆，

设该椭圆的方程为，则，可得，

因此，曲线的方程为.

设点，则且，圆的圆心为，半径为，

所以，

因为在内单调递减，

所以当时，；当时，；

故的取值范围为

（2）分以下两种情况讨论：

①当直线、的斜率都存在时，设直线的方程为，则直线的方程为，

联立可得，所以，，

同理可得，

所以，原点到直线的距离为

；

②当点、分别为椭圆的长轴和短轴的端点时，

原点到直线的距离为.

综上所述，原点到直线的距离为定值，

因此，直线与定圆恒相切.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

20．（1）；（2）见解析

【分析】（1）设出两个椭圆的方程，当直线与轴重合时，求出和的面积分和，直接由面积比列式求的值.

（2）假设存在与坐标轴不重合的直线，使得，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出和到直线的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的值存在讨论的取值范围.

【详解】由题意可设椭圆和的方程分别为

，，

其中，

（1）如图，若直线与轴重合，即直线的方程为

，

所以

在和的方程中分别令，

可得 于是

若则 化简得

由解得

故直线与轴重合时，若，则

（2）如图

在与坐标轴不重合的直线，使得，

根据对称性，不妨设直线 ，

点，，到直线的距离分别为，

则，，

所以，

又

，

所以即

由对称性可知

所以

于是①

将直线的方程分别与和的方程联立，

可求得

根据对称性可知

于是

，②

从而由①和②可得

，③

令，则由，

可得于是由③可得

因为 所以

于是③关于有解，当且仅当

等价于

由解得

即，由解得

所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线使得

当时，存在与坐标轴不重合的直线使得

【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系中的面积问题、弦长公式、考查了转化与化归的思想以及学生的计算能力，属于难题.