浙江省杭州市2022-2023学年高三数学上学期期末模拟试题（Word版附解析）

2022学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学模拟

一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中有且只有一项符合题意，多选､错选､不选均不得分.

1. 若集合满足：，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意画出图，由图即可得到.

【详解】集合满足：，

如图，

.

故选：B.

2. 设，则“”是“函数在为减函数”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据为单调减函数解出的范围，即可判断得结果.

【详解】由题意可得为减函数，

则，解得.

因推不出，，

所以“”是“函数在为减函数”的必要不充分条件，

故选：B

3. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（    ）

A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算.

【详解】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种.

故选：D

【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于基础题.

4. 在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左､右焦点，过作渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的右支交于点，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用双曲线的定义建立的关系即可解得答案.

【详解】设，其中，

则焦点到渐近线的距离

又因为，所以，又，得.

则在中，有，，.

则由余弦定理得

则渐近线方程.

故选：C

5. 在中，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】先利用两角差的正弦公式将原式变形，再利用正弦定理化角为边，代入后即可得答案.

【解答】解：因为，，，

则

故选：B.

6. 已知数列的前项和为，首项，且满足，则的值为（    ）

A. 4093 B. 4094 C. 4095 D. 4096

【答案】A

【解析】

【详解】由递推公式确定通项公式，再求即可.

【解答】，故，又，

所以是首项为，公比为的等比数列，所以，

则

故选：A

7. 的最小值是，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出的最小值为，再将时转化为恒成立问题即可求解.

【详解】当时，，令，得，则在上单调递减，上单调递增，即函数在处取得最小值，

所以问题转化为在上恒成立，

令，则在上恒成立

当时，不符合.

当时，对称轴，则或

解得或，

所以

故选：A.

8. 已知，函数满足：恒成立，其中是的导函数，则下列不等式中成立的是

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

【详解】分析：利用已知条件，构造函数g（x）=cosxf（x）利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解即可．

详解：因x∈（0，），

故tanxf（x）＞f′（x）⇔sinxf（x）＞f′（x）cosx⇔sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，

令g（x）=cosxf（x），则 g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＜0，

所以函数g（x）在（0，）为减函数，

∴cosf（）＞cosf（），∴f（）＞f（）．

故答案为：A．

点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化得到sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，其二是构造函数g（x）=cosxf（x）.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中有多项符合题意，选全得5分，漏选得2分，错选､不选均不得分.

9. 已知，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【详解】等式两边取对数，构造函数函数，结合图象得到与的范围.

【解答】解：两边取对数，得，构造函数，

则.，

则在上单调递增，在上单调递减，且，

得的图象如下所示，

又，所以.

故选：AD.

10. 已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（    ）

A. 当时，

B. 当时，

C. 若，则存在实数，使得

D. 若，则

【答案】AC

【解析】

【详解】结合复数运算法则及复数几何意义化简计算即可.

【解答】对A，即，两边平方可得，A对；

对，取，则，当，B错；

对，即，两边平方可得，

故，故，因此存在实数，使得，C对；

对，取，但，D错.

故选：AC

11. 定义平面斜坐标系，记分别为轴､轴正方向上的单位向量-若平面上任意一点的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是（    ）

A. 若，则

B. 若，以为圆心､半径为1的圆的斜坐标方程为

C. 若，则

D. 若，记斜平面内直线的方程为，则在平面直角坐标系下点到直线的距离为

【答案】B

【解析】

【分析】根据题目的新定义对选项逐一计算判断即可.

【详解】对于A：若，

则；

因为，所以，错误；

对于B：设以为圆心､半径为1的圆上任意一点为，因为，

所以，得，

即，正确；

对于C：，则，

即

， ，错误；

对于D：由于，斜平面内直线的方程为，

在l上取 两点，  ，过原点O作l的垂线，垂足为 ，  ，

则有 ， ， ，

其中： ，解得 ， ， ，错误；

故选：B.

12. 已知椭圆的右顶点为，过右焦点的直线交椭圆于两点，设，的斜率分别记为，以下各式为定值的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【详解】易得，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理逐项判断.

【分析】解：如图所示：

由已知得，

设直线的方程为，与椭圆方程联立得，

消去得：，

设，

所以，

，

，

则（与有关，不是定值），故选项错误.

是定值，故选项B正确.

，

（与有关，不是定值）故选项C错误.

，

（定值）故选项D正确.

故选：BD

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知随机变量服从，且，则__________.

【答案】3

【解析】

分析】由题知正态曲线关于对称，可得，进而得解.

【详解】因为，所以正态曲线关于对称，且，所以，所以.

故答案为：3

14. 已知公差为且各项均为正数的等差数列的前项和为，且，则的最小值为__________.

【答案】9

【解析】

【分析】先根据得到，再借助基本不等式求的最小值.

【详解】因为，则，化简得，

因为数列的各项均为正数，则，

则

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为9.

故答案为：9.

15. 已知圆，圆,定点,动点，分别在圆和圆上，满足,则线段的取值范围_______.

【答案】

【解析】

【分析】

因为，可得，根据向量和可得，即，由，分别在圆和圆上点设，，求得，由，可得，即可得到，设中点为，求得的取值范围，即可求得答案.

【详解】

，

，

，分别在圆和圆上点

设，，

则，

由，

可，

即，

整理可得：，

，

设中点为，则，

，

即，

点的轨迹是以为圆心，半径等于的圆，

的取值范围是，

的范围为，

故：的范围为

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了求同心圆上两点间距离的范围问题，解题关键是掌握向量加法原理和将两点间距离问题转化为中点轨迹问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

16. 已知实数，，，满足，，且，则的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】由实数，，，满足，且，得出，从而得出的范围，用表示，构建函数，求解取值范围.

【详解】解：实数，，，满足，且，

所以，

若则，

若则，

所以，，

因为关于的方程为，

所以解得：，

设，由得，，则，

因为要成立，

故，

设函数，

因为在上恒成立，

故函数单调递减，

所以，，

所以此时在的值域为，

即当时，；

设函数，

因为

在上恒成立，

故函数单调递增，

所以，，

所以此时在的值域为，

即当时，，

综上：.

【点睛】本题本质上考查了函数的最值问题，解题的关键是要能构建出关于的函数，通过函数思想求解取值范围，还考查了学生整体换元的思想.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 的内角的对边分别为,已知,

（1）若为边上一点,,且,求;

（2）若为平面上一点,,其中,求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)先根据正弦定理求出角的值,再利用求出的值,由正弦定理可得即可求解;

(2)根据已知条件可以求出的值,,再把用表示,从而表示为关于的二次函数求解最小值即可.

【小问1详解】

由可得,

即,

,,

,.

,

即,

则,

,,

在中,由正弦定理可得,

即,

解得

【小问2详解】

,

即,

则,

,

(*),

根据已知条件,

,

代入(*)式得:,

当时,取得最小值为.

18. 已知数列满足，记，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列，若数列中的第项是数列中的第项.

（1）求数列及的通项公式.

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义即可得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式；

（2）由（1）中的结论表示出，再结合错位相减法计算即可得到结果.

【小问1详解】

因为，所以，因为，

所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，

所以.所以.由题意知.所以，即，

又，则.

所以.又，则，则.

【小问2详解】

，①

，②

①-②得，

.

所以.

19. 如图，矩形是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中都在矩形的边界上.已知，（单位：百米），小路将矩形分成面积分别为，（单位：平方百米）的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记小路的长为百米.

（1）若，求的最大值；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1），故得到答案.

（2）如图所示：折痕有三种情况，依次计算每种情况的取值范围，综合得到答案.

【详解】（1）如图所示：折痕有如下三种情况，易知图2图3不满足，

如图1：，故，

当时等号成立，故，即的最大值为；

（2），，故.

如图1：，故，，

当时，，当时，，故；

如图2：，故，

，，故；

如图3：，故，

，，故.

综上所述：.

【点睛】

本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力.

20. 从年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中，.

（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（结果精确到小数点后第三位）

（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.

①记该地今后年中，恰好需要次人工防治的概率为，求取得最大值时相应的概率；

②根据①中的结论，当取最大值时，记该地今后年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差.

附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.

【答案】（1）更适宜；；（2）①；②，.

【解析】

【分析】（1）利用图象可得出更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，对，两边取自然对数，求出关于的回归方程，进而可得出关于的回归方程；

（2）①对函数求导数，利用导数判断该函数的单调性，求出函数取最值时对应的的值；

②由取最大值时对应的的值，得出，由二项分布的数学期望和方差公式可得出、的值.

【详解】（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，

对两边取自然对数得，令，，，则.

因为，，

所以，关于的回归方程为，

所以，关于的回归方程为；

（2）①由，，

且，当时，；当时，.

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，；

②由①可知，当时，取最大值，

又，则，由题意可知，，.

【点睛】本题考查非线性回归方程的求解，考查了利用导数求函数的最值，同时也考查了利用二项分布求随机变量的数学期望和方差，考查计算能力，属于中等题.

21. 已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．

【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）

(2)证明过程见解析

【解析】

【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.

详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），

所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．

由题意可知直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．

由得．

依题意，解得k<0或0<k<1．

又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．

所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由（I）知，．

直线PA的方程为．

令x=0，得点M的纵坐标为．

同理得点N的纵坐标为．

由，得，．

所以．

所以为定值．

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

22. 已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，探究关于的方程的实数根的个数．

【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；（2）答案不唯一，具体见解析．

【解析】

【分析】（1）根据函数奇偶性，只研究在上单调性，利用导数根据其函数值的正负，即可求得函数的单调区间；

（2）对参数进行分类讨论，根据函数的单调性以及最值，即可求得函数的零点个数．

【详解】解：（1）当时，，所以，即为偶函数．

讨论：当时，，

所以．

所以当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

又根据偶函数图象关于轴对称知，函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）因为，所以．

讨论：当时，对任意的恒成立，此时在上单调递增．

又，所以关于的方程无实数根；

当时，，使得，即，

且当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

，．

ⅰ．当，即时，关于的方程在区间上无实数根，所以关于的方程在上无实数根；·

ⅱ．当，即时，关于的方程在上有1个实数根，所以关于的方程在上有2个实数根．

综上，当时，关于的方程有2个实数根；当时，关于的方程无实数根．

【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数．（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）