浙江省嘉兴市第一中学2022-2023学年高三数学上学期期中考试试卷（Word版附解析）

嘉兴一中2022学年第一学期期中考试

高三年级数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解出集合、，利用补集和交集定义可求得集合.

【详解】因为，则或，

因此，.

故选：B.

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知，先根据给的复数，写出其共轭复数，然后带入要求的式子直接计算即可.

【详解】由已知，，，

所以.

故选：D.

3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为假命题的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，，，则

C. 若，，则 D. 若，，，则

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直的相关命题依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，存在直线，使得；又，，，A正确；

对于B，，存在直线，使得，又，，，B正确；

对于C，若，，则或，C错误；

对于D，，，，又，，D正确.

故选：C.

4. 已知，则“”是“恒成立”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】令函数y＝|x﹣2|+|x|，得，然后转化为一个恒成立的判断，再结合充分不必要条件的定义进行判断即可．

【详解】函数y＝|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞），则当a时，|x﹣2|+|x|＞a不恒成立.

若|x﹣2|+|x|＞a恒成立，则说明a小于函数y＝|x﹣2|+|x|的最小值2，即a＜2.

故“a”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的必要不充分条件.

故选B．

【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，根据绝对值不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．

5. 若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离不可能是（    ）

A. 4 B. 6

C. 3＋1 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意作出示意图，判断出直线过定点，进而求出圆心到直线距离的最大值，然后判断各个答案.

【详解】如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点．由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6；当直线与圆有公共点时，点P到直线距离的最小值为0．即距离的范围是[0,6].

故选：D.

6. 已知数列 的前项和为，且满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用与关系求得通项关系，判断数列为等比数列即可求得.

【详解】当时，，∴，当时，，两式相减可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．

故选:D．

7. 若函数在处取得极值2，则（    ）

A.  B.  C. 0 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】求导，根据处的极值为2，列方程解方程得到，，即可得到.

【详解】解：，

，

又函数在处取得极值2，

则，且，

所以，，经检验满足要求，所以．

故选：A．

8. 若，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，由，且，结合基本不等式可求出的最小值，进而可求出的最小值.

【详解】设，则，且，

题目转化为已知，求的最小值，

，

而，

当且仅当，即时等式成立.

则.

故选：C.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

二、选择题：（多选）本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每一小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选了得0分.

9. 已知平面直角坐标系中四点、、、，为坐标原点，则下列叙述正确的是（    ）

A.  B. 若，则

C. 当时，、、三点共线 D. 若与的夹角为锐角，则

【答案】AB

【解析】

【分析】利用平面向量的坐标运算可判断A选项；利用平面向量共线的坐标表示可判断BC选项；利用平面向量数量积的坐标运算与共线的坐标表示可判断D选项.

【详解】对于A选项，，A对；

对于B选项，，，由题意可得，B对；

对于C选项，当时，，

而，显然与不是共线向量，此时，、、三点不共线，C错；

对于D选项，，，

由已知且、不共线，则，解得且，D错.

故选：AB．

10. 直线l与抛物线相交于，，若，则（    ）

A. 直线l斜率为定值 B. 直线l经过定点

C. 面积最小值为4 D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由数量积的坐标表示结合抛物线方程得出，联立直线和抛物线方程，由韦达定理得出直线l经过定点，再由判别式判断A，由面积公式结合不等式的性质判断C.

【详解】，因为，所以，即，，又，所以，故D正确；

设直线，由得，即，，即直线l过定点，故B正确；又，则，故A错误；

，当时，面积取最小值，故C正确.

故选：BCD

11. 在棱长为1的正方体中，点M是的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，，点R到平面的距离等于它到点D的距离，则（    ）

A. 点P的轨迹的长度为 B. 点Q的轨迹的长度为

C. PQ长度的最小值为 D. PR长度的最小值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，取BC的中点N，连接AN，，根据面面平行的判定可证得平面平面，从而得点P的轨迹为线段AN，解三角形计算可判断；

对于B，连接DQ，由勾股定理得，从而有点Q的轨迹是以点D为圆心，以为半径的圆，由圆的周长计算可判断；

对于C，过点D作于，交点Q的轨迹于，此时的长度就是PQ长度的最小值，由三角形相似计算得，由此可判断；

对于D，由已知得点R到直线的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线的方程为，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：， 联立，整理得，由，解得，再根据平行线间的距离可求得PR长度的最小值．

【详解】解：对于A，取BC的中点N，连接AN，，则，，所以平面，平面，

又平面，平面，，所以平面平面，

又点P在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，所以点P的轨迹为线段AN，

因为，所以点P的轨迹的长度为，故A不正确；

对于B，连接DQ，因为Q在底面ABCD上，，所以，解得，

所以点Q的轨迹是以点D为圆心，以为半径的圆，如下图所示，

所以点Q的轨迹的长度为，故B正确；

对于C，过点D作于，交点Q的轨迹于，此时的长度就是PQ长度的最小值，

而，所以，所以，即，解得，所以，

所以PQ长度的最小值为，故C正确；

，

对于D，因为点R到平面的距离等于它到点D的距离，由正方体的特点得点R到直线的距离等于点R到平面的距离，

所以点R到直线的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，

以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，

则，，，直线AB的方程为，直线AN的方程为，

则抛物线的方程为，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：，

联立，整理得，，解得，

所以直线l的方程为：，

则直线AN与直线l的距离为：，

所以PR长度的最小值为，故D正确，

故选：BCD.

12. 若对任意，不等式恒成立，则实数a可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】依题意可得对任意的恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到只需对任意的恒成立，令，则，再构造函数，，利用导数求出函数的最小值，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解.

【详解】解：依题意，对任意，恒成立，

即恒成立，即恒成立，即恒成立，

设，，则恒成立，所以在上单调递增，

所以只需对任意恒成立，

因为，令，则，即，

令，，

则，所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，所以，所以

故选：ABC

【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数在区间上的值域是___________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质即得函数值域.

【详解】当时，，

∴，故，

即的值域为.

故答案为：.

14. 已知的展开式中的系数是20,则实数______.

【答案】

【解析】

【分析】根据多项式中前一项进行展开,然后用二项式定理将两个项中关于的找出相加等于20即可求出.

【详解】解:由题知,,

所以展开式中系数是,

解得：.

故答案为：

15. 在四面体中，，，且，，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积为______.

【答案】或

【解析】

【分析】由题意将四面体补成一个直三棱柱，由此可求出外接球的半径，求得答案.

【详解】由题意可以将四面体补成一个如图所示的直三棱柱，

因为异面直线，所成角为，所以或，

设的外接圆半径为r，当时， ，

当时， ，则，

设四面体的外接球半径为R，则 ，

所以该四面体外接球的半径或，

则外接球的表面积为.或，

故答案为：或

16. 设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为_____________．

【答案】2

【解析】

【分析】令，则目标式可改写为，应用放缩、绝对值的性质、辅助角公式及正弦函数的性质求最小值，注意等号成立的条件.

详解】设且，

∴，

当且仅当且时等号成立.

故答案为：2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在锐角中，内角所对的边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；

（2）利用正弦定理，辅助角公式可化简，结合的范围即得解

【小问1详解】

，

，又为锐角

【小问2详解】

由正弦定理，，

由锐角，故

故.

18. 已知数列中，，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前n项和．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用题意可得到，则能得到，即可得到答案；

（2）利用（1）算出，继而得到，接着利用裂项相消法即可得到答案

【小问1详解】

∵，

可得，∴是公差为2的等差数列，

∴，；

【小问2详解】

由（1）可得，

∴，

∴

．

19. 已知正三棱柱中，.棱上一点.

（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若是中点，求点到平面的距离.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)在侧面内作，交棱于点，证明为所求线面角，结合余弦定理计算即可求解；

(2)在中，由余弦定理可得，从而，所以，利用等体积转化计算即可求解.

【小问1详解】

在侧面内作，交棱于点．

因是正三棱柱，故平面，从而平面．

连接，则为所求线面角，

另一方面，由且得，

故在中，由余弦定理得，，

因为平面，而在平面内，

所以．于是，

故直线与平面所成角的正弦值为．

【小问2详解】

设所求距离为，则，

而，

故．由题意得，，，

故在中，由余弦定理得，

从而，

因此，，

故点到平面的距离．

20. 根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量（单位：千吨）与年份的散点图如下：

记年份代码为，，对数据处理后得：

（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个适宜作为关于的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到整数）.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

【答案】（1）模型②适宜作为关于的回归方程.   

（2）关于的回归方程为，预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨

【解析】

【分析】（1）可根据散点图判断出非线性回归方程模型.

（2）根据表中数据和参考数据代入公式求出回归方程，并可预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量.

【小问1详解】

根据散点图的趋势，可知模型②适宜作为关于的回归方程．

【小问2详解】

，.

故关于的回归方程为，即关于的回归方程为，2022年对应的年份代码为，，故预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨．

21. 已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．

（1）求双曲线的方程

（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．

【答案】（1）；（2）24.

【解析】

【分析】

（1）由条件可知，再代入点求双曲线方程；（2）设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，与双曲线方程联立，求点的坐标，并求，再将换为求，利用是定值，求的最小值再表示

【详解】因为，所以，．

所以双曲线的方程为，即．

因为点在双曲线上，所以，所以．

所以所求双曲线的方程为．

设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，

由，得，

所以．

同理可得，，

所以．

设，

则，

所以，即当且仅当时取等号．

所以当时，取得最小值24．

【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是利用直线和垂直，利用斜率的关系求，第二个关键是注意隐含条件

22. 已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若有两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线的点斜式方程，可得答案；

（2）由极值点的必要条件，得到参数与极值点之间的等量关系，化简整理并整体还原，可得一元不等式，利用导数证明不等式恒成立，可得答案.

小问1详解】

若，则，

，

则切线的斜率为，又，

所以曲线在点处的切线方程是，即.

【小问2详解】

，由条件知，是方程的两个根，

所以则.

所以.

设，可知的取值范围是，则，

不等式恒成立，等价于恒成立.

设，则恒成立，

.

（i）若，则，所以，在上单调递增，

所以恒成立，所以符合题意；

（ii）若，令，得，令，得

则在上单调递增，在上单调递减，

所以当的取值范围是时，，不满足恒成立.

综上，实数的取值范围是.

【点睛】关键在于第二问，注意利用等量关系进行等量代还，转化不等式，再利用导数研究含参函数的单调性，注意分类讨论和数形结合思想的应用，