2023届高考数学二轮复习 解析几何专练——（2）圆的方程【配套新教材】

（2）圆的方程

1.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为(   )

A. B. C. D.

2.关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于5的奇数都是三个素数之和,如.若从中任取2个不同的素数组成点,其中,且组成的所有点都在圆E上,则圆E的标准方程为(   )

A. B.

C. D.

3.已知M，N是圆上的两个动点，且，若，则的最小值为(   )

A. B.2 C. D.

4.已知圆C过点,当圆心C到原点O的距离最小时,圆C的方程为(   )

A. B.

C. D.

5.已知圆C过点,则直线被圆C截得的弦长为(   )

A. B. C. D.8

6.已知设点M是圆上的动点，则点M到直线距离的最小值为(   )

A. B. C. D.

7.已知函数，P为曲线在点处的切线上的一个动点，Q为圆上的一个动点，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

8. （多选）已知动点M到点的距离为，记动点M的运动轨迹为，则(   )

A.直线把分成面积相等的两部分

B.直线与没有公共点

C.对任意的，直线被截得的弦长都相等

D.存在，使得与x轴和y轴均相切

9. （多选）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是(   )

A.实数k的取值范围是

B.实数k的取值范围是

C.当圆的周长最大时，圆心坐标是

D.圆的最大面积是π

10. （多选）若实数x,y满足，则下列关于的判断正确的是(   )
A.的最大值为

B.的最小值为

C.的最大值为

D.的最小值为

11.若点在圆的外部，则实数a的取值范围是___________.

12.已知中，，，若BC边的中线为定长2，则顶点C的轨迹方程为________.

13.已知圆上的点到直线的最近距离为1，则k的值为_________.

14.动圆C与定圆内切，与定圆外切，点A的坐标为.

（1）求动圆C的圆心C的轨迹方程E；

（2）若轨迹E上的两点P，Q满足，求的值.

15.已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.

（1）求圆C的圆心坐标及半径；

（2）若点P运动到处，求此时切线l的方程；

（3）求满足条件的点P的轨迹方程.

答案以及解析

1.答案：B

解析：设圆心为，半径为r，圆与x轴，y轴都相切，，又圆经过点，且，，解得或.

①时，圆心，则圆心到直线的距离；

②时，圆心，则圆心到直线的距离.故选B.

2.答案：D

解析：从中任取2个不同的素数组成点,其中,共组成3个点,易得,所以圆心E即为的中点,为圆E的直径,所以圆心E的坐标为,圆E的半径长为,所以圆E的标准方程为.故选D.

3.答案：D

解析：过圆心C作于点E，则E为MN的中点，又，所以，所以点E的轨迹为圆.

连接PC，PE，易得，而，

所以的最小值为，故选D.

4.答案：C

解析：由,得线段中点的坐标为,直线的斜率,所以线段的垂直平分线所在直线的方程为.易得圆心C在线段的垂直平分线上.当圆心C到原点O的距离最小时,,所以直线的方程为.联立得方程组解得即.设圆C的半径为r,则,所以圆C的方程为.故选C.

5.答案：B

解析：本题考查圆的方程、圆的弦长公式,设圆,故解得故圆即.则圆心到直线的距离,故所求弦长为,故选B.

6.答案：B

解析：由题意可知圆心，半径，则点M到直线距离的最小值，故选B.

7.答案：D

解析：因为，所以，，，所以曲线在点处的切线方程为，

即.圆C的圆心坐标为，故圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故选D.

8.答案：ABC

解析：依题意得，是以为圆心，为半径的动圆，则的方程为.易知直线经过的圆心，所以直线把分成面积相等的两部分，故A正确；

到直线的距离，所以直线与没有公共点，故B正确；

圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为，是定值，故C正确；

若存在一个圆与x轴和y轴均相切，则，显然无解，故D错误.故选ABC.

9.答案：ACD

解析：将圆的方程化为标准方程为，由，解得，故A正确，B错误；当时，圆的半径最大，则圆的周长和面积都最大，此时圆心坐标是，圆的面积是π，故C，D正确.故选ACD.

10.答案：CD

解析：由得，表示以为圆心、1为半径的圆，表示圆上的点与点连线的斜率，易得的最大值为，最小值为.

11.答案：

解析：由题意可知，解得或，

则实数a的取值范围是，

故答案为：.

12.答案：

解析：设，则BC边的中点，

因为，所以，

整理得.
又因为当C点在直线AB上时，不能组成三角形，

故，即顶点C的轨迹方程为.

13.答案：0或

解析：圆的标准方程为.因为圆上的点到直线的最近距离为1，所以圆心到直线的距离为2，即，解得或.

14.答案：（1）如图，设动圆C的半径为R.

由题意得，定圆的半径为，定圆的半径为，则，①

，②

①+②，得.

由椭圆的定义知点C的轨迹是以，为焦点，2a为的椭圆的一部分（在的内部），其轨迹方程为.

（2）设，，

则，.

由可得，

，

所以，，③

由P，Q是轨迹E上的两点，得

由④⑤得，

将代入③，得，

将代入④，得，所以，

所以，，.

15.答案：（1）圆化为标准形式为，故圆C的圆心坐标为.由于圆C与y轴相切，所以，得，所以圆C的半径为1.

（2）当过点的直线斜率不存在时，此时直线l的方程为，圆C的圆心到直线的距离为1，所以直线为圆C的切线.

当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切得，解得.此时切线l的方程为，

综上，满足条件的切线l的方程为或.

（3）设，则，，

由于，所以，

整理得，

所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆.