2023届高考数学二轮复习 解析几何专练——（5）椭圆【配套新教材】

（5）椭圆

1.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数(   )

A.2 B.8 C. D.

2.设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(   )

A. B. C. D.

3.某地全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为(   ).

A. B. C. D.

4.已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

5.已知椭圆的离心率为，，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若，则C的方程为(   )

A. B. C. D.

6.已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且是直角三角形，则的面积为(   )

A. B. C.或8 D.或8

7.设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段的中点在y轴上，若，则椭圆C的离心率为(   )

A. B. C. D.

8. （多选）已知椭圆C的中心在原点，焦点，在y轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作y轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(   )

A.椭圆方程为 B.椭圆方程为

C.  D.的周长为

9. （多选）已知A、B两点的坐标分别是，，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为实数m，则下列结论正确的是(   )

A.当时，点P的轨迹为圆（除去与x轴的交点）

B.当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）

C.当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线

D.当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）

10. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(   )

A.离心率的取值范围为

B.当离心率为时，的最大值为

C.存在点Q使得

D.的最小值为1

11.椭圆与直线相交于A、B两点，C是AB的中点，O为坐标原点，OC的斜率为，则椭圆C的离心率为__________.

12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.

13.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的直径，则椭圆的标准方程是______.

14.已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.

（1）求椭圆C的标准方程

（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

15.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆E上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知，设点（且）为椭圆E上一点，点B关于x轴的对称点为C，直线AB，AC分别交x轴于点M，N，证明：.（O为坐标原点）

答案以及解析

1.答案：B

解析：由题意，得，，则，所以椭圆的离心率，解得.故选B.

2.答案：D

解析：由已知得，，.由椭圆的定义知，即，椭圆的离心率.

3.答案：B

解析：由题意知，，，，，，

离心率.故选B.

4.答案：D

解析：由题意可知点，，，则直线AP的方程为.由为等腰三角形，，得，则点，代入直线AP的方程，整理得，则椭圆C的离心率.

5.答案：B

解析：依题意得，，，所以，，，故，又C的离心率，所以，，，即C的方程为，故选B.

6.答案：B

解析：由题意得，，

，

设椭圆的上顶点为B，由得，

，

因此或.

当时，，

，

，同理，当时，.

故选B.

7.答案：A

解析：设点P的横坐标为x，，

线段的中点在y轴上，

，.

与的横坐标相等，轴.

，，

，，

，

，.故选A.

8.答案：ACD

解析：由已知，得，，则.又，所以，所以椭圆的方程为.由题意，得，的周长为.故选ACD.

9.答案：ABD

解析：由题意知直线AP、BP的斜率均存在.设点P的坐标为，则直线AP的斜率，直线BP的斜率.

由已知得，，

点P的轨迹方程为，

结合选项知ABD正确.

10.答案：BD

解析：本题考查椭圆的几何性质、椭圆中的最值问题、向量的数量积.由题意可得，所以，由点在椭圆内部可得，可得，即，所以，对A，离心率，所以，故A错误；对B，当时，，，，故B正确；对C，假设点Q存在，因为当Q在短轴端点时，最大，所以此时，由A知，所以，故的最大值小于90°，所以不存在点Q使得，故C错误；对D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选BD.

11.答案：

解析：设，，，则，

两式作差有，

.

又，，，

，，即，

椭圆C的方程为，且，即，

设椭圆的半长轴、半短轴长分别为、，则，，

故椭圆C的离心率.

故答案为：.

12.答案：

解析：，线段与y轴交于点Q，，P在y右侧，则，，，

为等腰三角形，则，

所以，，整理得，

，，

故答案为：.

13.答案：

解析：依题意可设椭圆的标准方程为，

半焦距为c，由，半径为4，

故有，又，

，

，

所以椭圆的标准方程是.

故答案为：.

14.答案：(1)标准方程为.

(2)过定点.

解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，

，

四边形OMPN的周长为，

，

，

，

椭圆C的标准方程为.

(2)设，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

代入，整理得，

则，

.

易知，

，

化简得，

或(舍去)，

直线l的方程为，即，直线l过定点.

当直线l的斜率不存在时，设，

代入，解得，

由得，

，解得或(舍去)，

此时直线l过点.

综上，直线l过定点.

15.答案：（1）

（2）见解析

解析：（1）由已知得，，

又，.

椭圆E的方程为.

（2）证明：点B关于x轴的对称点为C，

，

直线AC的方程为.

令，得.

直线AB的方程为，令，得.

.

点在椭圆上，

，即，

，即，又，

，

.