2023届高考数学二轮复习 解析几何专练——（6）双曲线【配套新教材】

（6）双曲线

1.已知F是双曲线(，)的右焦点，点，连接AF与渐近线交于点M，，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

2.双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为(   )

A.3 B. C. D.5

3.曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程是(   )

A. B. C. D.

4.已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为(   )

A. B. C. D.

5.双曲线的焦距为4，一个顶点是抛物线的焦点，则双曲线的离心率等于(   )

A.2 B. C. D.

6.设双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在一点P，使，且，则双曲线的离心率为(   )

A. B. C. D.

7.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为(   )

A. B. C. D.

8. （多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若，且的最小内角为30°，则(   )

A.双曲线的离心率为

B.双曲线的渐近线方程为

C.

D.直线与双曲线有两个公共点

9. （多选）已知分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线C上,且,则下列结论正确的是(   )

A.若,则双曲线离心率的取值范围为

B.若,则双曲线离心率的取值范围为

C.若,则双曲线离心率的取值范围为

D.若,则双曲线离心率的取值范围为

10. （多选）设O为坐标原点，是双曲线的焦点.若在双曲线上存在点P，满足，，则(   )

A.双曲线的方程可以是 B.双曲线的渐近线方程是

C.双曲线的离心率为 D.的面积为

11.双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的焦距为__________.

12.已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且.若，则双曲线的离心率是___________.

13.过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线和双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为_____________.

14.已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）当时，的面积为，求此双曲线的方程.

15.已知双曲线的右焦点为,点F到C的渐近线的距离为1.

(1)求C的方程.

(2)若直线与C的右支相切,切点为与直线交于点Q,问x轴上是否存在定点M,使得?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.

答案以及解析

1.答案：A

解析：由已知得，，，，，，（舍负），故选A.

2.答案：A
解析：双曲线的一条有近线方程为，可得，

.

故选：A.

3.答案：C

解析：令，得，故，双曲线的渐近线方程是，选C.

4.答案：B

解析：由，得，

焦点，准线，

从而，如图所示.设.

，，

.

结合图形知，当AP与抛物线相切时，最小，从而m最大.

设直线AP的方程为，

由得，

令，解得，

不妨取，得P点坐标为.

设双曲线的方程为.

在双曲线中，，即，

，

离心率，故选B.

5.答案：A

解析：因为双曲线的焦距为4，所以，

易知抛物线的焦点为，所以，因此离心率为，故选A.

6.答案：C

解析：因为点P在双曲线上，且，

所以，

所以，，

因为，

所以，

即，

整理得，

所以离心率.故选C.

7.答案：C

解析：双曲线的离心率为2，

，，即，

，

由题意可设，，

，渐近线方程为，

则点A与点B到直线的距离分别为，，又，

，解得，.双曲线的方程为，故选C.

8.答案：ABD

解析：依题意得，，又知，，.

又，且，

在中，是最小的边，

，

，

整理得，即，，

，.

双曲线的离心率，A正确.

双曲线的渐近线方程为，B正确.

根据前面的分析可知，为直角三角形，且，

若，则.

又知，，

，C不正确.

直线，即，其斜率为，，

直线与双曲线有两个公共点，D正确.故选ABD.

9.答案：BC

解析：本题考查双曲线离心率的取值范围.由题意,分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且.若,可得.根据双曲线的定义可得,则,解得,故A错误,B正确.若,可得.根据双曲线的定义可得,则,解得,故C正确,D错误.故选BC.

10.答案：BC

解析：如图，O为的中点，，

，

即.

又，

.①

又由双曲线的定义得，

.

即.②

由①②得.

在中，由余弦定理得

，

，即.

又，即.

双曲线的渐近线方程为.

双曲线的离心率为，双曲线的方程可以是，

的面积.故BC正确.

11.答案：

解析：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为，又由该双曲线的一条渐近线方程为，即，则有，则；所以.

12.答案：

解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点且斜率为的直线的方程为，由，解得，所以.因为，所以，即，得，所以，将代入双曲线方程，可得，结合离心率得，又，所以双曲线的离心率为.

13.答案：

解析：由得，双曲线的渐近线方程为.

结合图形（图略）知，.

故双曲线离心率的取值范围是.

14.答案：（1）

（2）

解析：（1）由题易得，双曲线的渐近线方程为，

则点到渐近线的距离为（其中c是双曲线的半焦距），

所以由题意知，因为，

所以，故所求双曲线的渐近线方程是.

（2）因为，

所以由余弦定理得，

即①，

由双曲线的定义得，，

平方得，②，

①-②得，，

根据三角形的面积公式得，

所以，由（1）中得，

故所求双曲线方程是.

15.答案：(1)

(2)

解析：(1)易知C的渐近线方程为,

所以到渐近线的距离,

所以,

所以C的方程为.

(2)由题意易知直线的斜率存在,设其方程为,联立与C的方程,消去y,得,

因为直线与C的右支相切,所以,

得,则.

设切点,则,

.

设,因为Q是直线与直线的交点,所以.

假设x轴上存在定点,使得,

则

,

故存在,使得,即,

所以x轴上存在定点,使得.