2023届高考数学二轮复习 解析几何专练——（7）抛物线【配套新教材】

这是一份2023届高考数学二轮复习 解析几何专练——（7）抛物线【配套新教材】，共10页。试卷主要包含了抛物线的准线方程是， 有这样一句话等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A.B.C.1D.
2.抛物线的准线方程是( )
A.B.C.D.
3.已知F为抛物线的焦点，，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为( )
A.16B.14C.12D.10
4.设抛物线的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则( )
A.5B.6C.7D.8
5.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A.2B.3C.4D.8
6.已知点在抛物线上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A.2B.1C.4D.8
7.点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值是( )
A.B.C.2D.
8. （多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于，两点，点P在l上的射影为P，则( )
A.若，则
B.以PQ为直径的圆与准线l相切
C.设，则
D.过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
9. （多选）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A,B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点
到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的（ ）
A.抛物线的方程是B.抛物线的准线方程是
C.的最小值是D.线段AB的最小值是6
10. （多选）有这样一句话：世界上最遥远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最遥远的距离，不是星星没有交会的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是( )
A.点P的轨迹是一条线段
B.点P的轨迹与直线没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）
C.直线不是“最远距离直线”
D.直线是“最远距离直线”
11.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为_________.
12.抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则此抛物线的方程为______________.
13.若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为___________.
14.已知抛物线，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D.是否存在这样的直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
15.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点，点A，B的坐标分别为，，O为坐标原点，若，求直线l的方程.
答案以及解析
1.答案：B
解析：抛物线的焦点为，到双曲线的一条渐近线的距离为，故选B.
2.答案：A
解析：抛物线可化为，开口向上，，
准线方程为.故选A.
3.答案：A
解析：如图所示，设直线AB的倾斜角为，过A，B分别作准线的垂线，垂足为，，
则，，过点F向引垂线FG，得，
则，同理，，
则，即，
因为与垂直，所以直线DE的倾斜角为或，
则，则，
则易知的最小值为16.
故选A.
4.答案：D
解析：设，.由已知可得直线的方程为，即，由得.
由根与系数的关系可得，，
，，，，故选D.
5.答案：D
解析：抛物线的焦点坐标为，椭圆的一个焦点为，，
又，.
6.答案：C
解析：抛物线的准线为，因为为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以，所以，即焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.
7.答案：D
解析：由得抛物线的焦点为，准线为.如图，作于点，所以P到直线的距离等于.连接AF交抛物线于点Q，由图形知，当点P在点Q时，点P到点A的距离与点P到直线的距离之和最小，最小值为，故选D.
8.答案：ABC
解析：对于选项A，因为，所以，则，故A正确；
对于选项B，设N为PQ的中点，设点N在l上的射影为，点Q在l上的射影为，则由梯形中位线的性质可得，故B正确；
对于选项C，因为，所以，故C正确；
对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程为，联立消去y并整理，得，令，则，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.故选ABC.
9.答案：BC
解析：抛物线的焦点为，准线方程为，由点到焦点F的距离等于3，可得，解得，则抛物线C的方程为，准线方程为，故A错误，B正确；
易知直线l的斜率存在，，
设，，直线l的方程为
由消去y并整理，得，
所以，，
所以，
所以AB的中点Q的坐标为，
，
故线段AB的最小值是4，故D错误；
圆Q的半径，
在等腰中，，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故C正确，故选BC.
10.答案：BCD
解析：由题意可得，“点P到点M的距离比到直线l的距离小1”等价于“点P到点M的距离等于点P到直线的距离”，故点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程是，故A错误；点P的轨迹是抛物线，它与直线没有交点，即两者没有交会的轨迹，故B正确；“最远距离直线”必须满足与抛物线有交点，把代入，整理，得，因为，方程无实数根，所以直线不是“最远距离直线”，故C正确；把代入，整理，得，因为，方程有两个不相等的实数根，所以直线是“最远距离直线”，故D正确.故选BCD.
11.答案：6
解析：双曲线的方程为，
，，可得，
因此双曲线的右焦点为，
抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，，解得.
12.答案：
解析：过点M作准线的垂线，垂足为P.设抛物线的焦点为F，依题意得，，即，解得，
抛物线的方程为.
13.答案：
解析：设点，
，，
或（舍去），.
到抛物线的准线的距离.
点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线的准线的距离，
点M到该抛物线焦点的距离为，故答案为.
14.答案：（1），准线方程为
（2）存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或
解析：（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以，解得，
所以，
所以准线方程为.
（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，.
由消去y，得.
令，解得.
所以且.
由根与系数的关系得，.
解法一：直线BF的方程为，
又，所以，
所以，
因为，所以直线DE与直线AF的斜率相等.
又，所以.
整理得，即，
化简得，
，即.
所以，整理得，
解得.经检验，符合题意.
所以存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.
解法二：因为，所以，
所以.
整理得，即，
整理得.
解得，经检验，符合题意.
所以存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.
15.答案：（1）
（2）或
解析：（1）由点在抛物线C上，
得，解得，
由抛物线定义得，，解得，
故抛物线C的方程为.
（2）设直线l的方程为，
联立消去x，得，
故，，
所以，，
则，即，解得，
所以所求直线l的方程为或.