2023届高考数学二轮复习 解析几何专练——（8）直线与圆锥曲线的位置关系【配套新教材】

（8）直线与圆锥曲线的位置关系

1.若过点的直线与抛物线只有一个公共点，则这样的直线有(   ).

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

2.已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，若，则焦点F的坐标为(   ).

A. B. C. D.

3.已知抛物线的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于M,N两点(),作,垂足为K,则外接圆的面积为(   )

A. B. C. D.

4.已知点，设不垂直于x轴的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，若x轴是的平分线，则直线l一定过点(   )

A. B. C. D.

5.抛物线的准线l与双曲线交于A、B两点，，分别为双曲线C的左、右焦点，在l左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于点E,，则的面积为(   )

A. B. C. D.

6.椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

7.设抛物线的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则(   )

A.5 B.6 C.7 D.8

8. （多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则(   )

A.C的准线为  B.直线AB与C相切

C.  D.

9. （多选）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射山.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是(   )

A.  B.

C.  D.与之间的距离为4

10. （多选）已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线交C的左支于M，N两点，直线为C的一条渐近线，则下列说法正确的有(   )

A.

B.存在点M，使得

C.的最小值为1

D.点M到直线距离的最小值为2022

11.已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且，，则l的方程为________.

12.设抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，过AB的中点M作y轴的垂线，与抛物线在第一象限内交于点P，若，则直线l的方程为____________.

13.已知直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且，则_____________.

14.已知F是抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，若.

（I）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）设直线n同时与椭圆和抛物线C相切，求直线n的方程.

15.已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.

（1）求椭圆C的标准方程

（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

答案以及解析

1.答案：B

解析：因为点在抛物线上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点.故选B.

2.答案：B

解析：(法一)方程的标准形式为，则，所以直线AB的方程为，与联立，消去x，得.设，，则，由，解得，所以焦点F的坐标为.故选B.

(法二)设直线AB的倾斜角为，则，得，所以焦点F的坐标为.故选B.

3.答案：D

解析：由题得焦点,则直线MN的方程为,联立解得,则点K的坐标为,,同理可得.由抛物线定义可知,所以为等边三角形,所以外接圆的半径,所以外接圆的面积,故选D.

4.答案：B

解析：设直线l的方程为，，.

由得，

所以，即，，.

因为x轴是的平分线，所以，所以，

即，整理，得，

所以，

化简，得，

所以，

所以直线l过定点.故选B.

5.答案：D

解析：不妨令点A在第二象限，示意图如图，由，可得E为的中点，又O为的中点，.为等边三角形，，由对称性知，，，①，②.抛物线的准线l的方程为，的边长为，，在中，由余弦定理可得，即③，由①②③得，，，.则的面积.故选D.

6.答案：A

解析：解法一：设，则，易知，所以（*）.因为点P在椭圆C上，所以，得，代入（*）式，得，结合，得，所以.故选A.

解法二：设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以，所以，所以.故选A.

7.答案：D

解析：设，.由已知可得直线的方程为，即，由得.

由根与系数的关系可得，，

，，，，故选D.

8.答案：BCD

解析：如图，因为抛物线C过点，所以，解得，所以C：的准线为，所以A错误；

因为，所以，所以，所以C在点A处的切线方程为，即，又点在直线上，所以直线AB与C相切，所以B正确；设，，直线PQ的方程为，由得，所以，，且，得或，所以，所以C正确；

，所以D正确.故选BCD.

9.答案：ABC

解析：根据题意知，轴，所以，又P在抛物线上，所以，

根据抛物线的光学性质知，PQ过焦点F，又易知，所以，故B正确；

因为，所以直线PQ的方程为，与联立，消去x得，

所以，，所以，故A正确；

，故C正确；

与之间的距离为，故D错误.

故选ABC.

10.答案：AC

解析：由C的渐近线方程为，得，故，A正确；

根据双曲线定义知，所以不存在点M，使得，B错误；为双曲线左支上的焦点弦，由双曲线的性质可知，当MN与x轴垂直时取最小值，，故C正确；

直线和C的渐近线平行，且与C的左支不相交，故C上的点M到直线的距离没有最小值，D错误.故选AC.

11.答案：

解析：通解：设直线l的方程为，分别令，，得点，.设，.由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，所以，即.因为，所以.将，代入椭圆方程，得，相减得，由题意知，，所以，即，整理得①.又，所以由勾股定理，得②，由①②并结合，，得，所以直线l的方程为，即.

优解：设直线l的方程为，分别令，，得点，.由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，设为Q，则，则，.由椭圆中点弦的性质知，即，以下同通解.

12.答案：

解析：由题意知.设直线l的方程为，，，.

点P在第一象限，.

由得.

，，

，

从而得.

易得，，

，，即，又，，

因此直线l的方程为，

即.

13.答案：2

解析：设，，联立方程，得，

即，，，

，

又，，解得.

14.答案：（I）

（Ⅱ）或

解析：（I）由题意得点，设过点F且倾斜角为的直线l的方程为，

联立，消y整理得

.

设，，

则，

则，解得，

所以抛物线的标准方程为.

（Ⅱ）由题知，直线n的斜率显然存在，

设直线n的方程为，

联立

消去y整理得.

因为直线n与椭圆相切，

所以，

整理得.

联立，消去y整理得

.

因为直线n与抛物线相切，

所以，

整理得，

所以，

解得或

所以直线n的方程为或.

15.答案：(1)标准方程为.

(2)过定点.

解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，

，

四边形OMPN的周长为，

，

，

，

椭圆C的标准方程为.

(2)设，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

代入，整理得，

则，

.

易知，

，

化简得，

或(舍去)，

直线l的方程为，即，直线l过定点.

当直线l的斜率不存在时，设，

代入，解得，

由得，

，解得或(舍去)，

此时直线l过点.

综上，直线l过定点.