2023届高考数学二轮复习 解析几何专练——（10）解答题A卷【配套新教材】

（10）解答题A卷

1.已知是椭圆上一点，以点P及椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的面积为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过作斜率存在且互相垂直的直线，，M是与C两交点的中点，N是与C两交点的中点，求面积的最大值.

2.已知椭圆的左焦点为F，椭圆上一动点M到点F的最远距离和最近距离分别为和.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若，求k的值.

3.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C左焦点的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于A，B两点，若点满足，求.

4.设椭圆的焦点为,且该椭圆过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若椭圆上的点满足,求的值.

5.已知椭圆I的中心在原点，焦点在x轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍.

（1）求椭圆I的标准方程；

（2）设，过椭圆I左焦点F的直线l交I于A、B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式（）恒成立，求的最小值.

6.已知椭圆的离心率为，A,B分别为C的左、右顶点.

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线上，且，，求的面积.

7.已知椭圆的左焦点，上顶点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的中点G在圆上，求m的值.

8.已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆C的左、右焦点，P是C上任意一点，若面积的最大值为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A,B两点，直线MA,MB与x轴分别交于P,Q两点，求证：始终为等腰三角形.

9.点与定点的距离和它到直线距离的比是常数.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)记点P的轨迹为C，过F的直线l与曲线C交于点M，N，与抛物线交于点A，B，设，记与的面积分别是，，求的取值范围.

10.已知，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆C的离心率为，A,B是椭圆C上的两点，点M满足.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点M在圆上，O为坐标原点，求的取值范围.

答案以及解析

1.答案：（1）

（2）

解析：（1）由点在椭圆上，可得，

整理得①.

由，解得，

所以，代入①式整理得，

解得，.

所以椭圆C的标准方程为.

（2）由（1）可得，所以设直线，

联立直线与椭圆的方程得整理得.

所以直线与椭圆两交点的中点M的纵坐标，

同理直线与椭圆两交点的中点N的纵坐标，所以，

将上式中分子、分母同时除以可得，

，

不妨设，，则，，

令，则，因为，所以，

所以在上单调递增，

所以当时，的面积取得最大值，且.

2.答案：（1）

（2）

解析：（1）由题意知，，.

又，所以可得，，，

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）可知，则直线CD的方程为，

由

消去y得.

.

设，，则，.

又，，

所以

，

解得.

3.答案：（1）椭圆C的方程为

（2）

解析：（1）由题意得，即，所以，

将代入，可得，

即，整理得，

解得（舍去）或，则，

所以椭圆C的方程为.

（2）由题意得，设直线l的方程为，，，联立椭圆C与直线l的方程，可得，整理得，

则，

且，.设AB的中点为，则，.

因为点满足，

所以，即，解得，

则，，

所以.

4.答案：(1) (2)

解析：(1)由题意得,,且,

解得,所以椭圆的标准方程为.

(2)因为点满足,所以,

即,①

又点在椭圆上,所以,②

联立①②,得,所以.

5.答案：（1）

（2）的最小值为

（）恒成立，只需，即的最小值为.

解析：（1）依题意，，，

解得，，椭圆I的标准方程为.

（2）设，，

所以，

当直线l垂直于x轴时，，且，

此时，，

所以.

当直线l不垂直于x轴时，设直线l：，

由整理得，

所以，，

所以

要使不等式（）恒成立，只需，即的最小值为.

6.答案：（1）由题设可得，得，所以C的方程为.

（2）设，，根据对称性可设，由题意知.由已知可得，直线BP的方程为，所以，.因为，所以，将代入C的方程，解得或.由直线BP的方程得或.所以点P,Q的坐标分别为，；，.，直线的方程式为，点到直线的距离为，故的面积为.，直线的方程式为，点A到直线的距离为，故的面积为.综上，的面积为.

7.答案：（1）由题意可得，，由得，故椭圆C的方程为4.

（2）设点M,N的坐标分别为，，线段MN的中点，

由消去y得，则，所以，

因为，则，，

又因为点在上，

所以

解得，满足，所以m的值为.

8.答案：(1)由，可得，

由面积的最大值为知，，解得，，.

故椭圆C的方程为.

(2)证明：联立可得.

联立消去y得

直线与椭圆C交于A,B两点，

，

且.

设，，直线MP，MQ的斜率分别为，，

则，，

又，，，，

，

由此可知，

始终为等腰直角三角形.

9.答案：(1)依题意有，

化简得，

故点P的轨迹方程为.

(2)依题意

①当l不垂直于x轴时，设l的方程是，

联立消去y可得，

设，，则

.

联立，消去y可得，

设，，

，则，

，

则.

②当l垂直于x轴时，易知，，此时.

综上，的取值范围是.

10.答案：（1），

分别是椭圆的左、右焦点，

所以.

因为椭圆C的离心率为，

所以，解得，

所以，

所以椭圆C的方程为.

（2）由题意知直线AB的斜率存在.

设直线AB的方程为，

，，

由可得，

所以，，

因为，所以M为AB的中点，

又点M在圆上，

所以

.

因为M为AB的中点，所以，

，

将点M的坐标代入，

化简可得，

所以

.

令，

则，，

令，，

则，

因为在内单调递增，

所以，

即.

所以.