2023届高考数学二轮复习 解析几何专练——（11）解答题B卷【配套新教材】

这是一份2023届高考数学二轮复习 解析几何专练——（11）解答题B卷【配套新教材】，共14页。试卷主要包含了已知双曲线的离心率为等内容，欢迎下载使用。
（11）解答题B卷 1.已知双曲线的左、右焦点分别为,斜率为-3的直线l与双曲线C交于两点,点在双曲线C上,且.(1)求的面积.(2)若(O为坐标原点),点,记直线的斜率分别为,问:是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.2.已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②；③.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.3.已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当时，的面积为，求此双曲线的方程.4.已知双曲线的右焦点为,点F到C的渐近线的距离为1.(1)求C的方程.(2)若直线与C的右支相切,切点为与直线交于点Q,问x轴上是否存在定点M,使得?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.5.已知，分别是双曲线的左、有焦点，，P是C上一点，，且.（1）求双曲线C的标准方程.（2）经过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点O作（O为坐标原点），垂足为M.则在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.6.已知分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线，与双曲线C交于点M，N，且三角形为等边三角形，双曲线C与x轴两交点间距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)设过的直线与双曲线C交于A，B两点，是否存在一个定点P使为定值？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.8.已知双曲线的离心率为.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)当时，已知直线与双曲线C交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求m的值.9.已知椭圆的一个顶点恰好是拋物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆C的标淮方程；(2)若过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为P，当直线l绕着点F转动时，是否存在定点Q，使得B，P，Q三点共线?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.10.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线C上一点.若第一象限的点P，Q是双曲线C上不同的两点，且.（1）求C的离心率；（2）设A，B分别是C的左、右顶点，证明：.


答案以及解析1.答案：(1)(2)是；解析：本题考查双曲线的定义及方程、直线与双曲线的位置关系.(1)依题意可知,,则,,又,所以,解得(舍去),又,所以,则,所以的面积.(2)由(1)可解得.所以双曲线C的方程为.设,则,则,.设直线l的方程为,与双曲线C的方程联立,消去y得,由,得.由一元二次方程根与系数的关系得,所以.则,故为定值.2.答案：（1）（2）见解析解析：（1）由题意得①.因为双曲线的渐近线方程为，
所以②.又③，
所以联立①②③得，，
所以双曲线C的方程为：.
（2）由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为，
将直线PQ的方程代入C的方程，整理得，
则，，所以，
所以.
设点M的坐标为，则，
两式相减，得，
又，
所以，解得；
两式相加，得，
又，
所以，
解得.
因此，点M的轨迹为直线，其中k为直线PQ的斜率.若选择①②：因为，所以直线AB的方程为，设，，
不妨令点A在直线上，
则由，
解得，，
同理可得，，
所以，.
点M的坐标满足，
得，，
故M为AB的中点，即.若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点，
此时M不在直线上，矛盾.
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为，，，
不妨令点A在直线上，
则由，解得，，
同理可得，，
因为M在AB上，且，
所以，，
又点M在直线上，所以，
解得，因此.
若选择②③：因为，所以直线AB的方程为，设，，
不妨令点A在直线上，则由，解得，，
同理可得，.
设AB的中点为，则，.
因为，所以M在AB的垂直平分线上，
即点M在直线，即上，
与联立，得，，
即点M恰为AB的中点，故点M在直线AB上.3.答案：（1）（2）解析：（1）由题易得，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，因为，所以，故所求双曲线的渐近线方程是.（2）因为，所以由余弦定理得，即①，由双曲线的定义得，，平方得，②，①-②得，，根据三角形的面积公式得，所以，由（1）中得，故所求双曲线方程是.4.答案：(1)(2)解析：(1)易知C的渐近线方程为,所以到渐近线的距离,所以,所以C的方程为.(2)由题意易知直线的斜率存在,设其方程为,联立与C的方程,消去y,得,因为直线与C的右支相切,所以,得,则.设切点,则,.设,因为Q是直线与直线的交点,所以.假设x轴上存在定点,使得,则,故存在,使得,即,所以x轴上存在定点,使得.5.答案：（1）（2）在x轴上存在定点，使得为定值解析：（1）由题意得，因为，，所以，又，所以，解得，所以，，所以双曲线C的标准方程为.（2）由（1）得，设，，则，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，联立直线l与双曲线C的方程，消去x得，，，.因为直线BD的斜率，所以直线BD的方程为，若在x轴上存在定点N，使得为定值，则直线BD过x轴上的某个定点.在直线BD的方程中，令，得，所以直线BD过定点.因为，所以为直角三角形，取OE的中点，则，为定值.综上，在x轴上存在定点，使得为定值.6.答案：(1)方程为.(2)存在，.解析：(1)因为双曲线C与x轴两交点间距离为2，所以，则.设点M在x轴的上方，则.因为点M在双曲线C上，所以.因为，所以，所以.因为为等边三角形，所以为直角三角形.在中，，所以.由双曲线的定义可知，故双曲线C的方程为.(2)存在.理由如下：设直线AB的方程为，根据双曲线的对称性可得如果存在这样的点P，则P点在x轴上，设点，则.将代入得直线AB的方程为，联立消去x得.当时，，则，所以，若为定值和参数m无关，即，解得，故定点坐标为.综上，存在一个定点使为定值.7.答案：(1).(2).解析：(1)由在双曲线C上，得①，由TP垂直x轴于点P，得，则由P到双曲线C的渐近线的距离为2，得，得，代入①，得，即，从而，故双曲线C的标准方程为.(2)解法一：由题意，，可设直线，则，联立得，得，设，则，从而，则线段AB的中点，且.由题意设，易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此，得，即，连接QP，QA，QM，因此.由勾股定理可得，，又，则，化简得，得(舍去)，因此直线l的方程为.解法二：由题意，，可设直线，则，联立得，得，设，则.由题意设，则有，将代入，可得，则为方程的两根，故，从而，解得，因此直线l的方程为.8.答案：(1)(2)解析：(1)由题意得，，即，所求双曲线C的渐近线方程为.(2)由(1)得当时，，双曲线C的方程为.设两点的坐标分别为，线段的中点为，由得()，.点在圆上，.9.答案：(1)椭圆C的标准方程为.(2)存在定点，使得P，B，Q三点共线.解析：(1)因为拋物线的焦点为，所以.因为双曲线的离心率为，所以椭圆C的离心率为，所以解得故椭圆C的标准方程为.(2)设直线l的方程为，其中，点，，则点，联立消去x并整理，得，则，，.由椭圆的对称性知，若存在定点Q，则点Q必在x轴上，故假设存在定点，使得P，B，Q三点共线，则，即，则.故存在定点，使得P，B，Q三点共线.10.答案：（1）（2）见解析解析：（1）由题意知，即，所以.将代入双曲线的方程得，解得，所以，故C的离心率.（2）由（1）可知双曲线C的方程为，，.不妨设点P在Q的上方，，，则，，又，，所以，，则.又，，所以，所以，又，，所以.