贵州省黔西南州安龙县双明中学2022-2023学年 九年级上学期数学第三次月考测试题 (含答案)

这是一份贵州省黔西南州安龙县双明中学2022-2023学年 九年级上学期数学第三次月考测试题 (含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

贵州省黔西南州安龙县双明中学
2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题：（共36分）
1．一元二次方程2x2＝x的根为（　　）
A．x＝0 B．x＝ C．x＝﹣2 D．x＝0或x＝
2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝﹣5 B．（x﹣4）2＝5 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9
3．抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（　　）
A．（，﹣） B．（﹣，） C．（，） D．（，﹣）
4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个根为4．则另一个根为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
5．设一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1、x2，则的值为（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣5
6．如图，将一块30°角的直角三角板ACB（∠B＝30°）绕直角顶点C逆时针旋转到△A'CB′的位置，此时点A'刚好在AB上，若AC＝3，则点B与点B'距离为（　　）

A．6 B．2 C．3 D．4
7．将抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2+3 B．y＝x2+3 C．y＝﹣x2 D．y＝x2
8．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝（　　）

A．15° B．40° C．75° D．35°
9．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461
C．461（1﹣x）2＝180 D．461（1+x）2＝180
10．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分为A、B，点C在⊙O上，若∠P＝36°，则∠C等于（　　）

A．36° B．60° C．72° D．90°
11．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB'等于（　　）

A．15° B．20° C．25° D．40°
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：（共16分）
13．点P（﹣4，3）关于坐标原点对称的点P'的坐标为 　 　．
14．若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
15．半径为2的正六边形的面积为 　 　．
16．如图，抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点为点P，点Q是该抛物线上一点，若将抛物线y＝（x﹣2）2+1向左平移得到一条新抛物线，其中点P，Q（m，4），平移后的对应点分别为点P'，Q′，若曲线段PQ扫过的面积为15（图中阴影部分），则新抛物线的解析式为 　 　．

三、解答题：（共98分）
17．解方程：
（1）x2﹣5x﹣6＝0；
（2）3x（x﹣1）＝4x﹣4．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1．
（2）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积．（结果保留π）

19．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2019年底拥有家庭轿车64辆，2021年底家庭轿车的拥有量达到100辆．若该小区2019年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求这个增长率．
20．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD＝BC，求证：AB＝CD．

21．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

22．如图，已知⊙O是△ABC的外接国，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BD＝3，求AE的长．

23．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
24．问题与情境：如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE′于点F，连接DE．
[猜想证明]（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
[解决问题]（2）如图2，若AD＝DE，且正方形的边长为，求CF的长．


25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在上点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标若不存在，请说明理由．


参考答案
一、选择题：（共36分）
1．解：2x2＝x，
2x2﹣x＝0，
x（2x﹣1）＝0，
∴x＝0或2x﹣1＝0，
∴x＝0或x＝，
故选：D．
2．解：x2﹣4x﹣5＝0，
x2﹣4x+4＝5+4，
（x﹣2）2＝9，
故选：C．
3．解：∵y＝2x2﹣2x﹣3＝2（x﹣）2﹣，
∴顶点坐标为（，﹣）．
故选：A．
4．解：设另一个根为m，
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个根为4．
∴4+m＝2，
解得：m＝﹣2，
故选：B．
5．解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5，
∴＝＝＝﹣．
故选：B．
6．解：如图，连BB′，

∵∠B＝30°，AC＝3，∠ABC＝90°，
∴∠A＝60°，AC＝CA′＝3，
∴△CAA′是等边三角形，BC＝＝＝3，
∴∠BCB′＝60°，CB′＝CB，
△B′BC是等边三角形，
∴B′C＝BC＝3，
故选：C．
7．解：将抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝﹣3（x+1﹣1）2﹣3+3，即y＝＝﹣x2．
故选：C．
8．解：∵∠APD＝75°，
∴∠BPD＝105°，
由圆周角定理可知∠A＝∠D（同弧所对的圆周角相等），
在三角形BDP中，
∠B＝180°﹣∠BPD﹣∠D＝35°，
故选：D．
9．解：根据题意得180（1+x）2＝461，
故选：B．
10．解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P＝36°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝144°，
由圆周角定理得：∠C＝∠AOB＝72°，
故选：C．

11．解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
故选：D．
12．解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0，故③正确；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；
∴结论正确的是②③④3个，
故选：B．
二、填空题：（共16分）
13．解：点P（﹣4，3）关于坐标原点对称的点P'的坐标为（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．
14．解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
故k的取值范围是k＞﹣且k≠0．
故答案为：k＞﹣且k≠0．
15．解：如图，连接OB、OC．

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝2，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝1，
在Rt△OBM中，OM＝＝＝，
∴正六边形的面积＝6×2×＝6，
故答案为：6．
16．解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点为点P，
∴P（2，1），
曲线段PQ扫过的面积＝（yQ﹣yP）×PP′＝3PP′＝15，
则PP′＝5，
故抛物线向左平移5个单位，则y＝（x﹣2+5）2+1＝（x+3）2+1，
故答案为：y＝（x+3）2+1．
三、解答题：（共98分）
17．解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0，
x﹣6＝0或x+1＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣1；
（2）3x（x﹣1）＝4x﹣4，
3x（x﹣1）﹣4（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣4）＝0，
x﹣1＝0或3x﹣4＝0，
所以x1＝1，x2＝．
18．解：（1）如图所示，△A1B1C1．
即为所求；
（2）∵OC＝，OB＝4，
∴△ABC旋转时BC线段扫过的面积S扇形BOB2﹣S扇形COC2＝﹣＝＝．

19．解：设年平均增长率为x，
根据题意得：
64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意舍去），
答：2019年底到2021年底家庭轿车的拥有量的年平均增长率是25%．
20．证明：∵AD＝BC，
∴＝，
∴+＝+，
即＝．
∴AB＝CD．
21．解：（1）连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，
∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，
所以∠PAP′＝60度．故△APP′为等边三角形，
所以PP′＝AP＝AP′＝6；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
可求∠APB＝90°+60°＝150°．

22．（1）证明：（1）连接OC；
∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE＝CF，
∴∠1＝∠2．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠3．
∴OC∥AE．
∴OC⊥CD．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵OC⊥ED，AB＝10，BD＝3，
∴OB＝OC＝5．
CD＝＝，
∵，
即，
∴CF＝，
∴OF＝＝，
∴AF＝OA+OF＝5+，
在Rt△AEC和Rt△AFC中，CE＝CF，AC＝AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE＝AF＝．

23．解：（1）设y与x的关系式为y＝kx+b，
把（22，36）与（24，32）代入，
得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）；
（2）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，
∴20≤x≤28，
∴当x＝28时，w最大，w最大＝﹣2×（28﹣30）2+200＝192，
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
24．解：（1）结论：四边形BE'FE是正方形，
理由：如图1中，
∵△CBE'是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的，
∴∠CE'B＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF+∠AEB＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
由旋转可知：BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）如图2中，过点D作DH⊥AE于点H，
则∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，

∵DA＝DE，
∴AH＝EH＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
在△ADH和△BAE中，
，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE，
由旋转可知：AE＝CE'，
由（1）可知：四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝AH＝AE＝CE'，
∴CF＝BE，
在Rt△ABE中，AB＝，
根据勾股定理得，BE2+AE2＝AB2，
∴BE2+（2BE）2＝（）2，
∴BE＝1，
∴CF＝1．
25．解：（1）由题意得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，即点C（0，﹣3），
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（﹣1，m），
由勾股定理得：AC2＝32+32＝18；AP2＝22+m2，PC2＝1+（m+3）2，
当AC是斜边时，则18＝AP2＝22+m2+1+（m+3）2，解得：m＝；
当AP是斜边时，则18+1+（m+3）2＝22+m2，解得：m＝﹣4；
当CP是斜边时，则18+22+m2＝1+（m+3）2，解得：m＝2，
即点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，2）．