湖北省武汉市黄陂区木兰乡朝阳中学2022-2023学年九年级上学期 数学第三次月考测试题(含答案)

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湖北省武汉市黄陂区木兰乡朝阳中学
2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共30分）
1．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母不是中心对称图形的是（　　）

A．A B．B C．C D．D
2．有两个事件，事件M：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件N：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（　　）
A．M，N都是随机事件 B．M，N都是必然事件
C．M是随机事件，N是必然事件 D．M是必然事件，N是随机事件
3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2﹣2x+2＝0 D．x2+2＝0
4．在平面直角坐标系中，将抛物线C向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线y＝2x2，则抛物线C的解析式为（　　）
A．y＝2（x+2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2
C．y＝2（x﹣2）2+2 D．y＝2（x﹣2）2﹣2
5．如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大⊙O交于点A，B，若AB＝6，则直线l与小⊙O的位置关系是（　　）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
6．从﹣1，﹣2，3三个数中随机取两个数求和作为a，则使抛物线y＝ax2的开口向下的概率是（　　）
A． B． C． D．

7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，，∠APB＝60°，则的长为（　　）

A． B． C． D．
8．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则其图象与x轴的交点坐标不可能是（　　）
A． B．（3，0） C． D．（﹣1，0）
9．如图是某圆弧形桥洞，它的跨度AB＝10，点C在圆弧上，CD⊥AB于点D，AD＝6，，则该圆弧所在圆的半径为（　　）

A． B．6 C． D．
10．已知m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根．记S1＝，S2＝，…，St＝（t为正整数）．若S1+S2+…St＝t2﹣56，则t的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（共18分）
11．在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣1）与点B（b，1）关于原点对称，则a+b的值为 　 　．
12．一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计汇总数据如下表：
摸球次数
300
600
900
1500
摸到白球的频数
123
247
365
606
摸到白球的频率
0.410
0.412
0.406
0.404
已知袋子里白球有10个，根据表格信息，可估计m的值为 　 　．
13．某商城今年9月份的营业额为440万元，11月份的营业额达到了633.6万元，则该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是 　 　（用百分数表示）．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D与点B对应），连接BD．当点E落在直线AB上时，线段BD的长为 　 　．

15．若抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m＜0）经过点P（﹣2，t），则关于x的不等式m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1﹣t＜0的解集是 　 　．
16．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，定长线段EF的端点E，F分别是边AC，BC上的动点，O是EF的中点，连接OB．设AE＝x，CF2＝y，y与x之间的函数关系的部分图象如图2所示（最高点为（b，4）），当x＝a时，∠OBC最大，则a的值为 　 　．


三、解答题（共72分）
17．已知3，t是方程2x2+2mx﹣3m＝0的两个实数根，求m及t的值．
18．如图，将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，点B的对应点D在BC上，且AD＝CD．若∠E＝26°，求∠CDE的度数．


19．在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个（除颜色外完全相同），其中白球2个，红球、黄球各1个．
（1）从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是 　 　；
（2）若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分．甲同学随机从纸盒中一次摸出两个球，请用画树状图法或列表法求甲同学至少得4分的概率．
20．如图，在矩形ABCD中，G为AD的中点，△GBC的外接圆⊙O交CD于点F．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DF＝1，CF＝3，求BC的长．

21．如图，在平面直角坐标系网格中，A（1，6），B（5，2），C（8，5），仅用无刻度的直尺按下列步骤完成画图，并回答下列问题：
（1）直接写出：AC的长为 　 　，△ABC的形状是 　 　；
（2）△ABC的角平分线AD；
（3）过点D作DE⊥AC，垂足为则E；
（4）将线段AD绕点P顺时针旋转90°得到线段CH（点A与点C对应），直接写出点P的坐标，并画出线段CH．



22．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且广场四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于12m，不大于24m．设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．
（1）直接写出：
①每一个出口的宽度为 　 　m，绿化区较短边长为 　 　m（用含x的式子表示）；
②y与x的函数关系式是 　 　，x的取值范围是 　 　；
（2）当出口的宽为多少时，活动区所占面积最大？最大面积是多少？
（3）预计活动区造价为50元/m2.若该社区用于建造活动区的经费不超过60000元，当x为整数时，共有几种建造方案？

23．问题背景：（1）如图1，D是等边△ABC外的一点，且∠BDC＝60°，过点A作AE⊥BD于点E，作AF⊥CD于点F．求证：DA平分∠BDF；
尝试应用：（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，在其内部作∠ADB＝∠ADC＝135°，E是AB的中点，连接ED，设△ABD的面积为S．求证：S＝AD•DE；
拓展创新：（3）如图3，∠POQ＝45°，点B，C分别在OP，OQ上，点A在∠POQ的内部，AE⊥OQ于点E．若△ABC是边长为a的等边三角形，AE＝4，OE＝3+7，则a的值为 　 　（直接写出结果）．





24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣（2t+1）x﹣t2﹣t+2与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）当时，直接写出：点B的坐标为 　 　，点C的坐标为 　 　；
（2）在（1）的条件下，P是x轴下方抛物线上的一点，且∠PBA＝2∠OCB，求点P到y轴的距离；
（3）当﹣2＜t＜1时，若△ABC的外心在x轴上，求代数式的值．


参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B、C、D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
2．解：事件M：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环，是随机事件，
事件N：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球，是必然事件．
故选：C．
3．解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根，不合题意；
B、∵Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
C、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，不合题意；
D、∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根，不合题意．
故选：B．
4．解：∵将抛物线C向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线y＝2x2，
∴抛物线C的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2，
故选：D．
5．解：如图，连接OA，过O作OC⊥AB于C，
∵OA＝5，AC＝AB＝3，
∴OC＝＝4，
∵小⊙O的半径为3＜4，
∴直线l与小⊙O的位置关系是相离，
故选：C．

6．解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中使抛物线y＝ax2的开口向下（a＜0）的结果有2种，
∴使抛物线y＝ax2的开口向下的概率为＝，
故选：C．
7．解：如图，连接OA，OP，OB，

∵PA、PB分别与相切⊙O于点A、B，
∴PA＝PB，OA⊥AB，OB⊥PB，
∵∠APB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵PA＝，
∴∠APO＝∠APB＝×60°＝30°，
∴OA＝AP•tan30°＝×＝1．
故⊙O的半径长为为1，
则的长＝＝π．
故选：B．
8．解：二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2的对称轴为直线x＝﹣，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当x＞﹣时，y随x的增大而增大，
又∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴﹣≤1，
解得m≥﹣1，
令y＝0，则x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+2，
∵m≥﹣1，
∴x2＝﹣m+2≤3，
∵＞3，
故选：A．
9．解：如图，取圆心O，连接OA，OB，OC，BC，AC，

∵∠ADC＝90°，AB＝10，AD＝6，CD＝2，
∴BD＝10﹣6＝4，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝2∠CAD＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，
CD2+BD2＝BC2，
即（2）2+42＝BC2，
解得BC＝2，
∴该圆弧所在圆的半径为2．
故选：C．
10．解：∵m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根，
∴m+n＝，mn＝1，
∴S1＝
＝
＝
＝
＝1，
S2＝
＝
＝
＝
＝1，
…，
∴St＝＝1，
∴S1+S2+…St＝t2﹣56，
1+1+…+1＝t2﹣56，
t＝t2﹣56，
t2﹣t﹣56＝0，
（t﹣8）（t+7）＝0，
解得：t＝8或t＝﹣7（舍去）．
故选：B．
二、填空题（共18分）
11．解：∵点A（a，﹣1）与点B（b，1）关于原点对称，
∴a＝﹣b，
∴a+b＝0．
故答案为：0．
12．解：根据表格信息，摸到白球的频率将会接近0.4，
故摸到白球的概率为0.4，所以可估计袋子中球的个数m＝10÷0.4＝25；
故答案为：25．
13．解：设该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是x，
根据题意得：440（1+x）2＝633.6，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是20%．
故答案为：20%．
14．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
由旋转得∠AED＝∠C＝90°，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，
如图1，点E在边AB上，则∠DEB＝180°﹣∠＝90°，
∵BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，
∴BD＝＝＝；
如图2，点E在边BA的延长线上，
∵∠DEB＝90°，BE＝AB+AE＝5+4＝9，
∴BD＝＝＝3，
综上所述，线段BD的长为或3，
故答案为：或3．

15．解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m＜0）的对称轴为：x＝1，
∴y＝m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1的对称轴为x＝2，且过点（﹣1，t），
∴y＝m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1还过点（5，t），
∵m＜0，
∴m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1﹣t＜0的解集为：x＜﹣1或x＞5，
故答案为：x＜﹣1或x＞5．
16．解：∵CF≤EF，当点E与点C重合时等号成立，且EF为定长，
∴CF的最大值即为EF的长，
根据图象可知，CF2的最大值为4，即CF的最大值为2，
∴EF＝2，
∵当x＝1时，CF2＝3，∠ACB＝90°，
∴CE＝＝1，
∴AC＝AE+CE＝1+1＝2，
∴BC＝2AC＝4，
如图所示，连接OC，

∵O是EF的中点，∠C＝90°，
∴OC＝EF＝1，
∴点O是在半径为1的⊙C上，如图所示，

∴当OB与⊙C相切时，∠OBC最大，此时OC⊥OB，过点O作OG⊥BC于点G，
此时OB＝，则sin∠OBC＝，即，
∴OG＝，
∵OG⊥BC，
∴∠OGF＝∠C＝90°，
∴OG∥AC，
∴，即，
∴CE＝，
∴AE＝AC﹣CE＝2﹣，即a＝2﹣，
故答案为：2﹣．
三、解答题（共72分）
17．解：∵3，t是方程2x2+2mx﹣3m＝0的两个实数根，
∴，
∴m＝﹣6，t＝3．
18．解：将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，
∴∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，
由AD＝AB可得∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠E＝26°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝52°，
∴∠ADE＝52°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）＝180°﹣（52°+52°）＝76°．
19．解：（1）球，事件“摸到白球”的概率是＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲同学至少得4分的结果有8种，
∴甲同学至少得4分的概率为＝．
20．（1）证明：连接GO并延长交BC于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∵G为AD的中点，
∴AG＝DG，
∴Rt△ABD≌Rt△DCG（HL），
∴BG＝CG，
∴GE⊥BC，
∵AD∥BC，
∴OG⊥AD，
∵OG是⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；
（2）解：连接GF，
∵∠DFG+∠CFG＝∠CFG+∠CBG＝180°，
∵∠DFG＝∠CBG，
∵BG＝CG，
∴∠GBC＝∠GCB，
∵AD∥BC，
∴∠DGC＝∠GCB，
∴∠DGC＝∠DFG，
∵∠D＝∠D，
∴△GDF∽△CDG，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝2（负值舍去），
∴BC＝AD＝2DG＝4．

21．解：（1）∵AC＝，AB＝，BC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
故答案为：5，直角三角形；
（2）如图，AD为所作；
（3）如图，DE为所作；

（4）如图，CH为所作．

22．解：（1）①由题意得：出口的宽度为：（50﹣2x）m，绿化区较短边长为[30﹣（50﹣2x）]÷2＝（x﹣10）m，
故答案为：（50﹣2x），（x﹣10）；
②根据题意得，y＝50×30﹣4x（x﹣10），
即y与x的函数关系式及x的取值范围为：y＝﹣4x2+40x+1500（13≤x≤19）；
故答案为：y＝﹣4x2+40x+1500，13≤x≤19；
（2）y＝﹣4x2+40x+1500＝﹣4（x﹣5）2+1600，
∵﹣4＜0，13≤x≤19，
∴x＝13时，y取最大值，最大值为﹣4×（13﹣5）2+1600＝1344，
∴50﹣2x＝50﹣2×13＝24，
∴当出口的宽为24m时，活动区所占面积最大，最大面积是1344m2；
（3）设费用为w元，
由题意得，w＝50（﹣4x2+40x+1500）＝﹣200x2+2000x+75000，
当w＝60000时，﹣200x2+2000x+75000＝60000，
解得x＝15或x＝﹣5（舍去），
由二次函数性质及13≤x≤19可得，x取15，16，17，18，19时，建造活动区的经费不超过60000元，
∴一共有5种建造方案．
23．（1）证明：如图1，
AC与BD的交点记作点G，
∴∠AGB＝∠CGD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABG中，∠ABG+∠AGB＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴∠ABG+∠CGD＝120°，
在△CDG中，∠BDC＝60°，
∴∠ACF+∠CGD＝180°﹣∠CDG＝120°，
∴∠ABG＝∠ACF，
∵AE⊥BD，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE＝AF，
∵AE⊥BD，AF⊥CD，
∴DA是∠BDF的平分线；

（2）证明：如图2，过点E作ET⊥ED交BD于点T连接CE交BD于点K．
∵点E是AB的中点，
在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴CE⊥AB，AE＝EC＝EB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBK+∠BKE＝90°，
∵∠CKD＝∠BKE，
∴∠EBK+∠CKD＝90°，
在△CDK中，∠CDK＝360°﹣∠ADC﹣∠ADB＝90°，
∴∠DCE+∠CKD＝90°，
∴∠DCE＝∠EBK，
∵∠DET＝∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝∠TEB，
∴△CED≌△BET（ASA），
∴ED＝ET，
∴∠EDT＝∠ETD＝45°，
∵∠ADB＝135°，
∴∠BDE＝360°﹣135°﹣90°﹣45°＝90°，
延长DE至H，使EH＝ED，
∴∠AEH＝∠BED，
∵AE＝BE，
∴△AEH≌△BED（SAS），
∴S△AEH＝S△BED，
∴S＝S△ABD＝S△ADE+S△BDE＝S△ADE+S△AEH＝S△ADH＝AD•DH＝AD•2DE＝AD•DE；

（3）解：在CE的延长线上取一点H，连接AH，使∠AEH＝60°，
∵AE⊥OQ，
∴∠AEC＝∠AEH＝90°，
在Rt△AEH中，AE＝4，
∴EH＝4，AH＝8，
设CE＝x，则CH＝CE+EH＝x+4，
在CO上取一点M使CM＝AH＝8，则OM＝OE﹣CM﹣CE＝3+7﹣8﹣x＝3﹣1﹣x，
在△ACH中，∠ACH+∠CAH＝180°﹣∠AHC＝120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BCM+∠ACH＝120°，
∴∠BCM＝∠CAH，
∴△BCM≌△CAH（SAS），
∴BM＝CH＝x+4，∠BMC＝∠CHA＝60°，
∴∠OMB＝120°＝∠AHN，
在OE的延长线上取一点N，使EN＝AE＝4，
∴HN＝EN﹣EH＝4﹣4＝4（﹣1），∠N＝45°＝∠POQ，
∴△BOM∽△ANH，
∴，
∴，
∴x＝2，
在Rt△ACE中，CE＝2，
根据勾股定理a＝AC＝＝2，
故答案为：2．



24．解：（1）∵，
∴y＝﹣x2﹣2x+，
当y＝0时，﹣x2﹣2x+＝0，
解得x＝或x＝﹣，
∴B（，0），
令x＝0，则y＝，
∴C（0，），
故答案为：（，0），（0，）；
（2）作O点关于BC的对称点G，连接CG交x轴于点E，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
设G（m，n），
∴n＝﹣m+，
∵BO＝BG，
∴＝，
解得m＝，
∴G（，），
设直线CG的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
∴E（，0），
∴tan∠OCE＝，
∵∠COE＝2∠OCB，∠PBA＝2∠OCB，
∴∠PBA＝∠COE，
过点P作PH⊥x轴交于点H，
设P（x，﹣x2﹣2x+），
∴＝，
解得x＝（舍）或x＝﹣，
∴点P到y轴的距离为；
（3）∵△ABC的外心在x轴上，
∴∠ACB＝90°，
当y＝0时，﹣x2﹣（2t+1）x﹣t2﹣t+2＝0，
解得x＝﹣t﹣2或x＝﹣t+1，
∵﹣2＜t＜1，
∴A（﹣t﹣2，0），B（﹣t+1，0），
当x＝0时，y＝﹣t2﹣t+2，
∴C（0，﹣t2﹣t+2），
∴OC2＝OA•OB，
∴（﹣t2﹣t+2）2＝（t+2）•（﹣t+1），
∴t2+t﹣1＝0，
∴＝﹣1．