初中沪科版21.1 二次函数精品习题

【单元复习】第二十二章 二次函数

知识精讲

第二十二章   二次函数

一、二次函数的定义：

1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数的性质

（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.

（2）函数的图像与的符号关系.

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.

二、二次函数的解析式

①一般式：(a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

②顶点式：

③交点式（与x轴）：

三、抛物线的性质

①二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

②a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a还可以决定开口大小,a越大开口就越小,a越小开口就越大。

③抛物线是轴对称图形。对称轴为直线.

④对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

⑤抛物线有一个顶点P，坐标为P ()，当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。

⑥二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

⑦一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

Ⅰ.当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

Ⅱ.当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

⑧常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）

⑨二次函数的增减性

抛物线，若a>0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．若a<0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．抛物线的最值：如果a>0(a<0)，则当时，y最小(大)值=．

三、二次函数，，(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

四、二次函数与一元二次方程

二次函数（以下称函数）当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即）此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根；函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

抛物线的图象与坐标轴的交点：

Δ＞0，图象与x轴交于两点：（，0）和（，0）；

Δ＝0，图象与x轴交于一点：（，0）；

Δ＜0，图象与x轴无交点；

五．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：　　　　

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：．

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：．

六．二次函数的应用

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

考点例析

【考点1】二次函数的图像和性质

【例1】（2022·全国·九年级期末）已知抛物线y=mx2+nx和直线y=mx+n在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（          ）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】本题可先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致．逐一排除．

【详解】解：A.由二次函数的图像可知m＜0，此时直线y＝mx+n应经过二、四象限，故可排除；

B.由二次函数的图像可知m＞0，对称轴在y轴的右侧，可知m、n异号，n＜0，此时直线y＝mx+n应经过一、三、四象限，故可排除；

C.由二次函数的图像可知m＜0，对称轴在y轴的右侧，可知m、n异号，n＞0，此时直线y＝mx+n应经过一、二、四象限，故可排除；

D.观察二次函数的图像可知m＞0，n＜0，直线y＝mx+n应经过一、三、四象限，符合题意．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了一次函数图像与二次函数图像，应该熟记一次函数y＝mx+n在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．

【考点2】二次函数与一元二次方程

【例2】（2022·全国·九年级期末）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为．给出下列结论：①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小；⑤不等式的解集是．其中正确结论的个数是（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】C

【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．

【详解】解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，

∴，故①错误；

②当时，，由图象可知当时，，

∴，故②正确；

③关于直线x=1的对称点为，故③正确；

④当时，由图象可知y先随x的增大而增大，再随x的增大而减小，故④错误；

⑤由图象及③可知，抛物线与x轴的交点为，，

∴当时，可，故⑤错误；

综上，有②，③是正确的，故有2个正确的，

故选：C．

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a，b，c的关系是正确判断的关键．

【考点3】实际问题与二次函数

【例3】（2022·全国·九年级期末）如图，等边的边长为，动点P从点A出发，以每秒的速度，沿A→B→C→A的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），，则y关于x的函数的图象大致为（       ）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】过C作CD⊥AB于点D，然后可得cm，cm，则分①当点P在AB上时，即时，②当时，即点P在线段BC上时，③当时，即点P在线段CA上，进而问题可求解．

【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于点D，

则cm，cm，

当点P在AB上时，，cm，cm，

∴，

该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线；

当时，即点P在线段BC上时，cm；

则，

∴该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为；

当 时，即点P在线段CA上，此时，cm，

则，

∴该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线；

故选：C．

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题关键是分情况讨论，求出函数关系式．

举一反三

一、选择题（共4小题）

1．（2022·全国·九年级期末）二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（       ）

A．向下，直线x=－3，(－3，1) B．向上，直线x=3，(3， 1)

C．向下，直线x=－3，(－3，－1) D．向上，直线x=3，(－3，1)

2．（2022·全国·九年级期末）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

3．（2022·全国·九年级期末）小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（       ）

A．12 B．11 C．6 D．3

4．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（       ）

A． B．

C． D．

二、填空题（共4小题）

5．（2022·全国·九年级期末）在平面直角坐标．若点A，B是抛物线上两点，若点A，B的坐标分别为则m______n（填“＞”“＜”“＝”）

6．（2022·全国·九年级期末）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．

7．（2022·全国·九年级期末）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．

8．（2022·辽宁·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：

①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）

二、简答题（共2小题）

9．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．

(1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）．

(2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标．

(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．

①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．

②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？

（参考数据：，）

10．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

实战演练

一、选择题（共4小题）

1．（2022·全国·九年级期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ）．

A． B． C． D．

2．（2022·全国·九年级期末）如图，是二次函数的图象，则下列结论正确的个数有（       ）

①；②；③二次函数最小值为；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（2022·全国·九年级期末）如图，点P，Q从边长为2的等边三角形的点B出发，分别沿着，两边以相同的速度在的边上运动，当两点在边上运动到重合时停止．在此过程中，设点P，Q移动过程中各自的路程为x，所得的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（       ）

A．B．C．D．

4．（2022·山东日照·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（共4小题）

5．（2022·全国·九年级期末）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．

6．（2022·全国·九年级期末）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．

7．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．

8．（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线，，，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点；②抛物线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．

三、简答题（共2小题）

9．（2022·全国·九年级期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．

(1)求抛物线的表达式．

(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

10．（2022·青海西宁·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．

(1)求抛物线解析式；

(2)连接BE，求的面积；

(3)拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．