2022-2023学年江西省南昌市九年级（上）期末数学试卷(解析版)

2022-2023学年江西省南昌市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列方程为一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    有张背面完全相同的卡片，正面分别写有到十个数字，现将这张卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面数字是的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若反比例函数的图象在第一象限内，随的增大而减小，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    将量角器按如图摆放在三角形纸板上，使点在半圆上．点、的读数分别为、，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    规定，若函数，则该函数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.    关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是______．
8.    如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是______．

9.    如图，已知是的直径，弦于，若，，则图中阴影部分的面积为______．

10. 如图是边长为的正方形健康码，为了估计图中黑色部分的总而限，在正方型区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______．

11. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且，的面积为，则的值为______．

12. 如图，点在反比例函数的图象上，点在坐标轴上，若是以为腰的等腰三角形，则的面积为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 本小题分
    解方程：；
    已知抛物线经过点和点，求抛物线的解析式．
14. 本小题分
    年“卡塔尔”世界杯开幕式在海湾球场举行．支参赛队伍通过抽签共分成至八个小组，每一个组积分排名前二的队伍将晋级强．
    “卡塔尔”队被分在组是______事件：从“不可能”、“必然”、“随机”选择一个填空
    分在组的有沙特、波兰、墨西哥和阿根廷四支队伍，请通过列表法或树状图法，求“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级强的概率．
15. 本小题分
    如图，在平行四边形中，，以为直径的圆与相切于点请仅用无刻度直尺按下列要求作图保留作图痕迹．
    
    在图中作出圆心．
    在图中作出的平分线，与圆交于点．
16. 本小题分
    如图，，与相切，切点为，，与相切于点，分别交，于点，若，的长是关于的一元二次方程的两个根．
    求的值；
    求的周长．

17. 本小题分
    如图，在中，，是内任一点，将绕点顺时针旋转，使点与点重合，点的对应点为点．
    求证：；
    连接，若点，，在同一直线上，求的度数．

18. 本小题分
    如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
    求与的值；
    为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．

19. 本小题分
    如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，连接．
    ______，______；
    若，，求图中阴影部分的面积结果保留．

20. 本小题分
    某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为元件，在销售过程中发现：每年的年销售量万件与销售价格元件的关系如图，其中段为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为万元．
    请求出万件与元件之间的函数关系式；
    求出这种电子产品的年利润万元与元件之间的函数关系式；并求出年利润的最大值．

21. 本小题分
    “切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外学习时间情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为，，，四个等级．设学习时间为小时，：，：，：，：，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下问题：
    该校共调查了多少名学生；
    将条形统计图补充完整；
    求出表示等级的扇形圆心角的度数；
    在此次问卷调查中，甲班有人平均每天课外学习时间超过小时，乙班有人平均每天课外学习时间超过小时，若从这人中任选人去参加座谈，试用列表或画树状图的方法求选出的人来自不同班级的概率．
     
22. 本小题分
    如图，在四边形中，，，，为的外接圆．
    如图，求证：是的切线；
    如图，交于点，过点作，垂足为，交于点．
    求证：；
    若，，求的长．

23. 本小题分
    【问题呈现】
    在中，，，点是斜边上的一点，连接，试说明、、之间的数量关系，并说明理由．
    【解决策略】小敏同学思考后是这样做的；如图将绕点逆时针旋转，得到，连接，经过推理使问题得到解决，请回答：
    的形状是______，的形状是______；
    直接写出、、之间的数量关系是______；
    【方法感悟】若条件中出现等线段共端点，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一个三角形中．
    如图，在四边形中，，，，若，，求的长；
    如图，在四边形中，，，若，求，两点之间的最大距离．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、未知数的最高次数为，不符合题意；
B、含有两个未知数，不符合题意；
C、为整式方程，只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是，是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程；未知数的最高次数是；只含有一个未知数．
此题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

3.【答案】 

【解析】解：一共有张卡片，数字是的有张，所以从中任意抽出一张，正面数字是的概率是．
故选：．
根据概率的计算公式计算即可．
本题主要考查了概率的计算，掌握概率公式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数在每一象限内，随的增大而减小，
，
．
故选：．
根据反比例函数的性质得到，然后解不等式即可．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数为常数，的图象为双曲线，当，图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
根据量角器的读数方法可得：．
故选：．
根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得的度数．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当，即时，，
，
当时，该函数的值最小，最小值为；
当，即或时，，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
，
当时，该函数的值最小，最小值为；
综上所述，该函数的最小值为．
故选：．
分两种情况讨论：当，即时，当，即或时，并结合一次函数和二次函数的图象和性质解答，即可．
本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
 

7.【答案】且 

【解析】解：由题意知，，，
解得：，
则的取值范围是且；
故答案为：且．
根据方程有两个实数根，得出且，求出的取值范围，即可得出答案．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，抛物线不在直线的下方，
不等式的解集是，
故答案为：．
根据图象求出抛物线在直线上方的部分对应的的范围即可．
本题考查了二次函数与不等式的关系，关键是利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图象的交点问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的直径，弦于，，
，
，
≌，
，
故图中阴影部分的面积为：．
故答案为：．
利用垂径定理，得出，由得出≌，进而得出图中阴影部分的面积为，即可得出答案．
此题主要考查了垂径定理，得出图中阴影部分的面积为：是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
估计点落入黑色部分的概率为，
估计黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可估计点落入黑色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
反比例函数图象在第二象限，
，
故答案为：．
由于，根据三角形面积公式得到，再根据反比例函数的的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质得到的值．
本题考查了反比例函数的的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为．
 

12.【答案】或 

【解析】解：过点作于点，
点在反比例函数的图象上，
，
．
当时，，，
，
；
当时，
点，
，
．
故答案为：或．
过点作于点，根据点在反比例函数的图象上可知，故可得出，再分和两种情况进行讨论．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题的关键．
 

13.【答案】解：，
，
，
或，
，；
把，代入得，
解得：，
抛物线的解析式为． 

【解析】利用因式分解法求解即可．
把，代入，解方程组即可得到结论．
本题考查了解一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握解一元二次方程的方法，待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．
 

14.【答案】随机 

【解析】解：“卡塔尔”队被分在组是随机事件，故答案为：随机；
把沙特、波兰、墨西哥和阿根廷四支队伍分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级强的结果有种，
“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级强的概率为．
由随机事件的定义即可得出结论；
画树状图，共有种等可能的结果，其中“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级强的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率以及随机事件．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】解：如图，圆心即为所求；
如图，即为所求．
 

【解析】延长与圆相交于，连接交于点，根据平行四边形的性质得到，则，而，所以，然后根据切线的性质得到经过圆心，从而可判断点为圆心；
连接、，它们相交于点，延长交于点，利用和为等腰直角三角形得到平分，所以，所以平分．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和切线的性质．
 

16.【答案】解：，与相切，
，
，的长是关于的一元二次方程的两个根，
方程有两个相等的实数根，
，
整理得：，
解得：，
则的值为；
当时，原方程为，
解得：，即，
，与相切，与相切，
，，
的周长． 

【解析】根据切线的性质得到，得到方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式列式计算即可；
根据切线长定理得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、一元二次方程根的判别式，掌握切线长定理是解题的关键．
 

17.【答案】证明：将绕点顺时针旋转，
≌，
；
解：，，
，
，
将绕点顺时针旋转，
，，，
，
，
． 

【解析】由旋转的性质可直接得到；
由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：把代入，
得，
，
一次函数解析式为．
把代入，得．
．
把代入，得．
的值为，的值为．
解：当时，．
．
为轴上的一动点，
．
，．
，
，
或，
或． 

【解析】把代入，先求解的值，再求解的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
先求解由为轴上的一动点，可得由，建立方程求解即可．
本题考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：四边形是的内接四边形，，
，
是的直径，
，
；
故答案为：，；
连接，

，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
阴影部分的面积．
根据圆内接四边形的性质得到，根据是的直径，得到，根据三角形的内角和即可得到结论；
连接，，根据三角形的内角和得到，由圆周角定理得到，推出是等腰直角三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：当时，设，
将点代入，得，
；
当时，设分别将点，代入，得：
，
解得：，
；

当时，，
当时，


，
当时，
，
随增大而增大，
当时，有最大值为万元，
当时，
，
当时，有最大值为万元．
，
年利润的最大值为万元． 

【解析】依据待定系数法，即可求出万件与元件之间的函数关系式；
分两种情况进行讨论，结合函数的性质解答即可．
本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．
 

21.【答案】解：共调查的中学生数是：人，

类的人数是：人，如图：



根据题意得：，

设甲班学生为，，乙班学生为，，，

一共有种等可能结果，其中人来自不同班级共有种，
人来自不同班级． 

【解析】根据类的人数和所占的百分比即可求出总数；
求出的人数从而补全统计图；
用的人数除以总人数再乘以，即可得到圆心角的度数；
先设甲班学生为，，乙班学生为，，根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】证明：如图，连接，，．
在和中，，
≌，
，
平分，
．
又，
，
是的切线．
证明：如图，连接．
，
．
又，
．
，
．
，
，
．
解：在和中，，
≌，
，．
设，在中，，，，
，即，
，
． 

【解析】连接，，，由，，可证出≌，利用全等三角形的性质可得出，即平分，利用垂径定理可得出，结合可得出，由此即可证出是的切线；
连接，由圆内接四边形对角互补结合可得出，由同角的余角相等可得出，结合可得出，再利用等角对等腰可证出；
由，，可证出≌，利用全等三角形的性质可求出，的长，设，在中，利用勾股定理可求出的值，此题得解．
本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定义、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：利用全等三角形的性质及垂径定理，找出；利用等角的余角相等及圆周角定理，找出；在中，利用勾股定理求出的长．
 

23.【答案】直角三角形  等腰直角三角形   

【解析】【解决策略】解：将绕点逆时针旋转，得到对应的，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是直角三角形，
故答案为：直角三角形，等腰直角三角形；
≌，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
【方法感悟】
过点作，交的延长线于，连接，如图，

，
是直角三角形，
由可知≌，
，，
，
，
，，
，，
；
将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，如图，

，
，，
是等边三角形，
，
，
当，，三点共线时，最大，
、两点之间的最大距离是．
【解决策略】
由旋转的性质得出是等腰直角三角形，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
由全等三角形的性质得出结论；
【方法感悟】
过点作，交的延长线于，连接，证出，由勾股定理可得出答案；
将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，则，证出，求出的最大值可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．