高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课后练习题

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系

1.若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)

A．直线上所有的点都在平面外

B．直线上有无数多个点都在平面外

C．直线上有无数多个点都在平面内

D．直线上至少有一个点在平面内

2.

如图，在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，棱与直线BC1异面的棱有(　　)

A．1条    B．2条

C．3条    D．4条

3．已知直线a，b和平面α满足a∥α，b⊂α，则b与a的位置关系为________．

4.

如图，在长方体ABCD ­ A′B′C′D′的六个表面中，指出AA′在哪些平面内，与哪些平面相交，与哪些平面平行．

5.[2022·河南驻马店高一期末]已知α∥β，若直线m、n分别在平面α、β内，则m、n的关系不可能是(　　)

A．平行    B．相交

C．垂直    D．异面

6．[2022·北京通州高一期末]如图，在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　)

A．点B1∈平面CC1D1D

B．直线B1D1⊂平面CC1D1D

C．直线BC1与直线AA1是相交直线

D．直线B1D1与直线AB是异面直线

7．[2022·江苏盐城高一期中]如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线B1M与AD是异面直线；

②直线AM与BN是异面直线；

③直线BN与A1D1是平行直线；

④直线AM与DD1是相交直线．

其中正确的结论为________．(填序号)

8．如图所示，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？

(1)AM所在的直线与平面ABCD；

(2)CN所在的直线与平面ABCD；

(3)AM所在的直线与平面CDD1C1；

(4)CN所在的直线与平面A1B1C1D1.

9．三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.

(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；

(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．

10．如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E是棱CC1上一点，且CE∶EC1＝1∶2.

(1)试画出过D1，A，E三点的平面截正方体ABCD ­ A1B1C1D1所得截面α；

(2)证明：平面D1AE与平面ABCD相交，并指出它们的交线．

11.(多选)如图，G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有(　　)

12．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？

答案：

1．解析：直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．故选B.

答案：B

2．解析：在直三棱柱ABC ­ A1B1C1的棱所在的直线中，

与直线BC1异面的直线有A1B1，AC，AA1，共3条．

故选C.

答案：C

3．解析：如图所示，a∥α，b⊂α，

则a与b没有公共点，所以a与b异面或平行．

答案：异面或平行

4．解析：由图可知AA′⊂平面AA′B′B，AA′⊂平面AA′D′D，

AA′与平面ABCD、平面A′B′C′D′相交，

AA′∥平面B′BCC′，AA′∥平面CC′D′D.

5．解析：因为α∥β，直线m、n分别在平面α、β内，则m、n无公共点，

所以，m、n平行、垂直或异面，不可能相交．故选B.

答案：B

6．解析：在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，直线B1C1∩平面CC1D1D＝C1，点B1∈B1C1，且B1，C1不重合，即点B1∉平面CC1D1D，A不正确；点D1∈平面CC1D1D，点B1∉平面CC1D1D，即直线B1D1∩平面CC1D1D＝D1，B不正确；直线AA1∥平面BCC1B1，则AA1与平面BCC1B1无公共点，直线BC1⊂平面BCC1B1，所以直线BC1与直线AA1没有公共点，C不正确；直线AB∥平面A1B1C1D1，即直线AB与平面A1B1C1D1无公共点，直线B1D1，A1B1⊂平面A1B1C1D1，则直线B1D1与直线AB没有公共点，又AB∥A1B1，直线A1B1∩B1D1＝B1，即直线B1D1与直线AB不平行，因此直线B1D1与直线AB是异面直线，D正确．故选D.

答案：D

7．解析：在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AD∥BC，BC∥B1C1，

所以AD∥B1C1，B1C1∩B1M＝B1，所以A、D、B1、M四点不共面，

所以直线B1M与AD是异面直线；

同理可得AM与BN是异面直线，BN与A1D1是异面直线，AM与DD1是异面直线；

故正确的有①②.

答案：①②

8．解析：(1)∵A∈平面ABCD，M∉平面ABCD，∴AM所在的直线与平面ABCD相交．

(2)∵C∈平面ABCD，N∉平面ABCD，∴CN所在的直线与平面ABCD相交．

(3)因为在正方体中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AM⊂平面ABB1A1，所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行．

(4)因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交．

9．解析：(1)c∥α.

因为α∥β，所以α与β没有公共点，

又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.

(2)c∥a.

因为α∥β，所以α与β没有公共点，

又γ∩α＝a，γ∩β＝b，

则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，a，b没有公共点．

由于a，b都在平面γ内，

因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.

10．解析：(1)在BC上取一点F，使得CF＝CB，延长AF，DC，D1E交于点G，连结EF，则平面AFED1就是过D1，A，E三点的平面截正方体ABCD ­ A1B1C1D1所得截面α.

(2)证明：∵A∈平面D1AE，A∈平面ABCD，∴平面D1AE∩平面ABCD≠∅，即平面D1AE与平面ABCD相交．延长DC，D1E，设它们交于点G，∵G∈直线D1E，直线D1E⊂平面D1AE，∴G∈平面D1AE.∵G∈直线DC，直线DC⊂平面ABCD，∴G∈平面ABCD.∴AG为平面D1AE与平面ABCD的交线．

11．解析：根据题意，

在A中，MG∥HN且MG＝NH，则四边形MGHN是平行四边形，有HG∥MN，不是异面直线；

图B中，G、H、N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；

在C中，M、N分别是所在棱的中点，所以GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，不是异面直线；

图D中，G、M、N共面，但H∉平面GMN，∴GH与MN异面．

所以图BD中GH与MN异面．故选BD.

答案：BD

12．解析：还原的正方体如图所示：

根据异面直线的判定方法知共有三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.