高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算复习练习题

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义

1.[2022·湖北武汉高一期末]已知i是虚数单位，复数z1＝－3＋2i，z2＝1－4i，则复数z＝z1＋z2在复平面内表示的点位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

2．复数满足(a＋3i)＋(2－i)＝5＋bi，则a＋b＝(　　)

A．－4    B．7

C．－8    D．5

3．[2022·山东济宁高一期末]已知复数z1＝1＋2i，z2＝2－i，则＝________．

4．计算：

(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；

(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i).

5.[2022·江苏响水中学高一期中]设2(z－)＋12＝3(z＋)＋8i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为(　　)

A．2i      B．2

C．－2i    D．－2

6．已知z1，z2∈C，且＝＝1，＝，则＝(　　)

A．1      B．

C．    D．2

7．A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB为________．

8．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离．

9．已知复数z1＝a＋3i(a∈R)，z2＝3－i，且z1－z2为纯虚数．

(1)求a；

(2)若＝，且z－z1为实数，求z.

10．已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，求这个正方形的第4个顶点对应的复数．

11.[2022·江苏如皋一中高一期末]已知复数z1＝－2i，z2＝cos θ＋isin θ，则的最大值为(　　)

A．1      B．

C．    D．3

12．已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：

(1)点C，D对应的复数；

(2)平行四边形ABCD的面积．

答案：

1．解析：由复数加法运算可知

z＝z1＋z2＝－3＋2i＋1－4i＝－2－2i，

在复平面内表示的点坐标为(－2，－2)，所以所在象限为第三象限．

所以选C.

答案：C

2．解析：因为(a＋3i)＋(2－i)＝5＋bi，

即(a＋2)＋2i＝5＋bi，所以，解得，

所以a＋b＝5.故选D.

答案：D

3．解析：因为复数z1＝1＋2i，z2＝2－i，

所以z1－z2＝－1＋3i，＝.

答案：

4．解析：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)

＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2；

(2)原式＝(－1＋i)＋ ＋(1＋i)

＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.

5．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，

由2(z－)＋12＝3(z＋)＋8i可得12＋4bi＝6a＋8i，所以，，解得a＝b＝2，

因此，复数z的虚部为2.故选B.

答案：B

6．解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，

因为＝＝1，所以a2＋b2＝c2＋d2＝1，

因为＝，

所以(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2＝2＋2ac＋2bd＝2，

所以2ac＋2bd＝0，

所以＝

＝＝，故选B.

答案：B

7．解析：由复数的加、减法的几何意义可知，

当|z1＋z2|＝|z1－z2|时，∠AOB＝90°.

答案：直角三角形

8．解析：向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.

∵＝－，∴向量对应的复数为

(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.

∴A，B两点间的距离为

|－8－2i|＝＝2.

9．解析：(1)∵复数z1＝a＋3i，z2＝3－i，

∴z1－z2＝(a－3)＋4i，

又∵z1－z2为纯虚数，

∴a－3＝0，解得a＝3.

(2)由(1)知z1＝3＋3i ，z2＝3－i.

设z＝a＋bi，

∵＝，∴＝，即：a2＋b2＝10.

∵z－z1为实数，∴z－z1＝(a－3)＋(b－3)i.

∴b－3＝0，解得b＝3，∴a＝±1，

∴z＝1＋3i或z＝－1＋3i.

10．解析：设复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i在复平面上分别对应点A(1，2)，B(－2，1), C(－1，－2)，

设正方形的第四个顶点对应的坐标是D(x，y)，则其对应的复数为x＋yi，则＝，

又＝(x－1，y－2)，＝(1，－3)，

∴(x－1，y－2)＝(1，－3)，

∴x－1＝1，y－2＝－3，

∴x＝2，y＝－1.

故这个正方形的第四个顶点对应的复数是2－i.

11．解析：因为z1＝－2i，z2＝cos θ＋isin θ，

所以z1＋z2＝cos θ＋i(sin θ－2)，

所以＝

＝

＝，

当sin θ＝－1时，max＝3.故选D.

答案：D

12．解析：(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，

所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.

又＝＋，

所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.

因为＝，

所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1).

设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，

所以解得

故点D对应的复数为5.

(2)因为·＝||||cos B，

所以cos B＝＝＝，

即sin B＝.

||＝＝，||＝＝，

于是S＝||||sin B＝××＝7，

故平行四边形ABCD的面积为7.