数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课时训练

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　)

A．22    B．20

C．10    D．11

2．如图，ABC ­ A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C ­ AA′B′B的体积是(　　)

A．    B．

C．    D．

3．[2022·湖南衡阳高一期中]若正三棱锥的底面边长为2，其体积为，则该正三棱锥的侧棱长为________．

4．[2022·福建厦门高一期中]如图为正四棱锥P ­ ABCD，PO⊥平面ABCD，BC＝3，PO＝2.

(1)求正四棱锥P ­ ABCD的体积；

(2)求正四棱锥P ­ ABCD的表面积．

5.[2022·河北沧州高一期末]已知四棱锥P ­ ABCD的高为4，其底面ABCD水平放置时的斜二测画法直观图A′B′C′D′如图所示，已知A′B′＝C′D′＝3，A′D′＝B′C′＝2，则四棱锥P ­ ABCD的体积为(　　)

A.16      B．18

C．20     D．24

6．[2022·江苏镇江高一期末]斜三棱柱ABC ­ A1B1C1中，侧面BB1C1C的面积为S，侧棱AA1到侧面BB1C1C的距离为a，则该斜三棱柱的体积为(　　)

A．Sa    B．Sa

C．Sa    D．Sa

7．(多选)[2022·山东潍坊高一期末]已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则(　　)

A．正四棱台的高为2

B．正四棱台的斜高为

C．正四棱台的表面积为20＋12

D．正四棱台的体积为

8．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．

9．正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积．

10．[2022·湖南师大附中高一期中]如图，在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，底面ABC是正三角形，AB＝AA1＝2，BC边上的中点为D.

(1)求四棱锥C1 ­ A1B1BA的体积；

(2)求三棱柱ABC ­ A1B1C1截去三棱锥C1 ­ ACD后所得几何体的表面积．

11.[2022·广东汕头高一期末]斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓(yùn)都”或“壍(qiàn)堵”：其上底是一矩形，下底是一线段．有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤(mào)为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是________．

12．[2022·河北师范大学附中高一期中]学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD ­ A1B1C1D1挖去四棱锥O ­ EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，

(1)计算制作该模型所需原料的质量；

(2)计算该模型的表面积(精确到0.1).

参考数据：≈3.61，≈3.87，≈4.12.

答案：

1．解析：所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.

故选A.

答案：A

2．解析：∵V三棱锥C ­ A′B′C′＝V三棱柱ABC ­ A′B′C′＝，

∴V四棱锥C ­ AA′B′B＝1－＝.

答案：C

3．解析：由题意得，正三棱锥的底面边长为2，

由正弦定理知，底面三角形外接圆半径为×＝，

底面三角形面积为×2×2×＝，

设三棱锥的高为h，

又因三棱锥体积为＝××h，所以三棱锥的高为h＝ ，

所以侧棱长为 ＝3.

答案：3

4．解析：(1)根据题意，得VP ­ ABCD＝·SABCD·OP＝×3×3×2＝6.

(2)如图所示，作BC的中点E，连接OE，PE，

则PE＝＝ ＝，

故正四棱锥P ­ ABCD的表面积S＝4S△PBC＋SABCD＝4×＋AB·BC＝24.

5．解析：由题意可知，四边形ABCD为矩形，因为直观图中A′B′＝C′D′＝3，A′D′＝B′C′＝2，

所以AB＝3，AD＝4，所以矩形ABCD的面积为3×4＝12，

所以四棱锥P ­ ABCD的体积为×4×12＝16.故选A.

答案：A

6．解析：在斜三棱柱ABC ­ A1B1C1的一侧补上一个三棱柱ACD ­ A1C1D1，使之成为一个平行六面体AA1D1D ­ BB1C1C，如图，

显然，它的体积为V＝aS，所以斜三棱柱ABC ­ A1B1C1的体积为V＝aS.故选C.

答案：C

7．解析：对于A，∵正四棱台上下底面对角线长为2，4，

∴正四棱台的高h＝ ＝，A错误；

对于B，正四棱台的斜高h′＝ ＝，B正确；

对于C，∵正四棱台侧面积为4××(2＋4)×＝12，上下底面面积分别为4，16，

∴正四棱台的表面积S＝4＋16＋12＝20＋12，C正确；

对于D，正四棱台的体积V＝(4＋＋16)×＝，D正确．故选BCD.

答案：BCD

8．解析：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，

体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，

∴a2＝200，b2＝56，∵该直四棱柱的底面是菱形，

∴AB2＝()2＋()2＝＝＝64，

∴AB＝8.

∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.

∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20.

∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40.

9．解析：正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，

则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．

∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，

∴EE1＝13 cm.

在直角梯形EOO1E1中，

O1E1＝A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm，

∴O1O＝＝12(cm).

故该正四棱台的体积为

V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3).

10．解析：(1)设A1B1边上的中点为E.连接C1E，C1E⊥A1B1，

又平面A1B1C1⊥平面A1B1BA，平面A1B1C1∩平面A1B1BA＝A1B1，则C1E⊥平面A1B1BA，

即C1E为四棱锥C1 ­ A1B1BA的高，C1E＝＝.

所以四棱锥C1 ­ A1B1BA的体积V＝S·C1E＝(2)2·＝.

(2)由题意得AD＝＝，C1D＝＝，AC1＝＝4，

从而AD2＋C1D2＝AC，所以AD⊥DC1，

所以S△ADC1＝··＝，

所以(＋2)·2＋(2)2＋(2)2＋(2)2＋(2)2＋＝6＋4＋8＋2＋＋＝18＋3＋.

所以三棱柱ABC ­ A1B1C1截去三棱锥C1 ­ ACD后所得几何体的表面积为3＋＋18.

11．解析：过A作AM⊥EF，垂足为M，连接MD，过B作BN⊥EF，垂足为N，连接CN，如图所示

则三棱柱ADM ­ BCN为直棱柱，三棱锥E ­ ADM与三棱锥F ­ BCN全等，

由题意得AB＝3，BC＝2，EF＝6，△BCN底边BC上的高为5，

所以S△BCN＝S△ADM＝×2×5＝5，

所以该几何体的体积V＝S△BCN×AB＋2××S△BCN×NF＝5×3＋2××5×＝20.

答案：20

12．解析：(1)因为E，F，G，H，分别为所在矩形各棱的中点，所以四边形EFGH为菱形．

由AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm，得EF＝FG＝GH＝HE＝.

又因为O为长方体的中心，所以四棱锥O ­ EFGH的高h＝3.

SEFGH＝4×6－4××2×3＝12，

VO ­ EFGH＝×12×3＝12.

∴该模型体积为

VABCD ­ A1B1C1D1－VO ­ EFGH＝6×6×4－12＝144－12＝132 cm3.

∵3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，

∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8 g.

(2)记平面ABCD的中心为O′，连接OO′，O′B，O′E，

则OO′＝2，O′B＝3＝OH，OE＝＝.

由题意知，四棱锥O ­ EFGH的四个侧面为全等三角形．

在等腰△OEH中，取OH的中点M，连接EM，

EM＝＝ ＝ ，

所以S△OEH＝×3× ＝.

∴该模型表面积为

SABCD ­ A1B1C1D1－SEFGH＋4S△OEH＝6×6×2＋6×4×4－12＋4×

＝156＋6≈180.7(cm2).