广西桂林、崇左市2022-2023学年高三数学（理）上学期联合调研考试（一模）试题（Word版附答案）

2023年高考玉林、贵港、贺州市联合调研考试

数学（理科）

注意事项：

1. 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

2. 答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上。

3. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合，集合，则A∩B=

A． （—∞，—1]∪[2，+∞）   B． （—1，2）    C． [—1，2]   D．

2. 在区间[—2，2]内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为

A．        B．

C．        D．

3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．      B．

C．       D．

4. 已知双曲线的右焦点为F（2，0），过F和P（0，2b）两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为

A．   B．   C．   D．

5.的展开式中的系数为

A． 40   B． —40    C． 80    D． —80

6. 已知正项等比数列{}，为与的等比中项，则

A．   B．    C．    D． 2

7. 已知函数，则下列说法正确的是

A． f（x）的一条对称轴为

B． f（x）的一个对称中心为（—，0）

C． f（x）在[，]上的值域为[—，2]

D． f（x）的图象可由的图象向右平移个单位得到

8. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与1交于点D，若，则P=

A． 1    B．   C． 2     D． 3

9. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度，若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：）

A． 10分钟    B． 9分钟   C． 8分钟   D． 7分钟

10. 若函数是奇函数，则

A． —1   B．   C．    D．1

11.如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为

A．   B． 1     C．    D． 4

12. 已知a，b，，则

A．  B．  C．   D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知i为虚数单位，若，则___________。

14. 若钝角△ABC中，，则△ABC的面积为___________。

15. 近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，增长率达到21%以上。考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素。据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：

根据表中数据，可求得y关于x的线性回归方程为，则m的值为___________。

16. 已知棱长为8的正方体中，平面ABCD内一点E满足，点P为正方体表面一动点，且满足，则动点P运动的轨迹周长为___________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》共60分。

17.（本小题12分）

4月23日是“世界读书日”。读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界。为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动。 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测。通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：

（1）若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”

①完成下列2×2列联表

②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；

（2） 若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”。现从这100名学生中的男生“阅读达人’中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这三人中得分在[90，100]内的人数为X，求X的分布列和数学期望。

附：，其中

18.（本小题12分）

已知数列{}的前n项和为

（1）证明：数列{}为等差数列；

（2），求λ的最大值。

19.（本小题12分）

在三棱锥P—ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所成角为，点M为线段PO上一动点。

（1）求证：；

（2）是否存在点M，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点M的位置，若不存在，请说明理由。

20.（本小题12分）

已知椭圆过两点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P，Q（均不与点A重合）两点，记直线AP，AQ，l的斜率分别为k1，，k，若，求△FPQ的周长。

21.（本小题12分）

已知函数

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若关于x的方程有两个不同的实根，证明：。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.【选修4—4；坐标系与参数方程】（本小题10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|。

23. 【选修；不等式选讲】（本小题10分）

已知函数

（1）当时，求f（x）的最小值；

（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围。

理科数学参考答案

1—12：CBAAA    BCDAA     BA

13. 1    14.    15.2.8           16、

17.解：（1）由题中表格可得2×2列联表如下

由题意得

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关.

（2）根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取。[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，

所以，X的取值为0，1，2

所以X的分布列为；

所以X的数学期望是。

18. 解：（1）

∴

∴

∴

又∵，∴

所以数列是以为首项和公差的等差数

（2）由（1）知：

所以

∴

∴

又满足上式

∴

因为

所以

所以

记

则只需

又f（n）在（1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

又因为

所以

所以

所以的最大值为—3.

19.（1）证明；连接AO

∵O为BC中点，△ABC为等边三角形

∴

∵点P在底面ABC上的射影为点O

∴PO⊥面ABC

∴

由

AO面APO，PO面APO

得BC⊥面APO

∵AM面APC

∴

（2）由已知及（1）可知，OB，OA，OP两两互相垂直

∴OB，AO，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系

则A（0，—3，0），B（，0，0）

∵BO为PB在底面ABC上的射影

∴∠PBO为PB与面ABC所成角，

∴，∴

∴P（0，0，3），假设符合题意的点M存在，且设

设为面PAB的法向量，则

∵

∴，令，则

设为面MAB的法向量，则

∵

∴，令，则

∵二面角的余弦值为

∴。

∴，化简得

解得（舍）

符合题意，此时点M为PO的中点。

20.【解】（1）将A（—2，0），B（，）代入椭圆C：中，

得

故椭圆C方程为

（2）设直线

由

得

又，

故

由k，得，得，

故或。

①当时，直线l，过定点A（—2，0），与已知不符，舍去；

②当时，直线l，过定点（—1，0），即直线l过左焦点，此时，符合题意。

所以△FPO的周长为。

21. 解：（1）由题知：，其定义域为（0，+∞）。

∴。

令，则

∴。在上单调递增

∴

∴

设，

所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减。

。

（2）设

设，则，易知在R上单调递增

要使方程有两个不同的实根，则函数存在1个零点。。。。6分

所以函数在上存在2个零点，设为，且，则且

所以即

要证，即证

即证

设，设

所以

所以在（0，1）单调递减

所以，即

故。

所即。

22. 解：（1）由得

∴

∴

∴

所以曲线C的直角坐标方程为。

（2）设直线l的参数方程为（m为参数）

将l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得

∴

23.解：（1）化简得：

当时

当时等号成立，所以的最小值为2；

（2）由基本不等式，

当且仅当，即时，等号成立

又因为

当且仅当，等号成立。

所以，

注：第17—23题提供的解法供阅卷时评分参考，考生其它解法可相应给分。