人教A版高中数学必修二单元检测卷 第六章 平面向量及其应用

这是一份人教A版高中数学必修二单元检测卷 第六章 平面向量及其应用，共9页。
平面向量及其应用 章节检测
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a，b夹角为60°，且a＝(1，3)，＝2，则a·b＝(　　)
A．0 B．10 C． D．－
2．[2022·安徽芜湖高一期末]如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)

A．0 B． C． D．
3．已知向量a＝(x，2)，b＝(2，y)，c＝(2，－4)，且a∥c，b⊥c，则 |a－b|＝(　　)
A．3 B． C． D．2
4．[2022·河北沧州高一期末]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，sin B＝sin C cos A，则C＝(　　)
A． B． C． D．
5．[2022·山东济宁高一期末]在△ABC中，＝2，则＝(　　)
A．＝－－ B．＝－
C．＝－＋ D．＝＋
6．[2022·湖南永州高一期末]在△ABC中，BC＝4，AC＝5，·＝10，则AB＝(　　)
A．2 B． C．5 D．
7．[2022·山东聊城高一期末]若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态．已知＝1 N，＝2 N，F1与F3的夹角为120°，则F2的大小为(　　)
A．1 N B． N C． N D．3 N
8．[2022·江苏无锡高一期末]设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝2，a2sin C＝6sin A，则△ABC面积的最大值为(　　)
A． B． C． D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．[2022·山东菏泽高一期中]设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是(　　)
A．＝ B．＝ C．＝ D．与共线
10．[2022·湖南张家界高一期末]下列关于向量的命题中为真命题的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．＋＝0
C．若m＝n，n＝k，则m＝k D．|a＋b|≤|a|＋|b|
11．[2022·河北石家庄高一期末]下列命题中，正确的是(　　)
A．在△ABC中，∠A>∠B是sin A>sin B的充要条件
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是等边三角形
12．[2022·安徽池州高一期末]如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是(　　)

A.∠CAD＝60°
B．A、D之间的距离为15 海里
C．A、B两处岛屿间的距离为15 海里
D．B、D之间的距离为30 海里
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在平面直角坐标系中，A(k，12)，B(4，5)，C(10，k)，若A，B，C三点共线，则正数k＝________．
14．[2022·江苏无锡高一期末]△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C＝60°，a＝1，c＝，则b＝________．
15．[2022·山东菏泽高一期末]△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则此三角形的外接圆半径是________．
16．[2022·湖北鄂州高一期末]如图，在△ABC中，BC＝·＝3，点P为边BC上的一动点，则·的最小值为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)[2022·河北保定高一期末]已知向量a＝(2，x)，b＝(1，2).
(1)若a⊥b，求；
(2)若a∥b，向量c＝(1，1)，求a与c夹角的余弦值．







18．(12分)[2022·湖南衡阳高一期末]已知点A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2).
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若向量⊥(＋t)，求实数t的值．






19．(12分)[2022·江苏淮安高一期末]已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(－1，－1).
(1)求的值；
(2)若向量a＋λb与2a－b夹角为，求实数λ的值．








20．(12分)[2022·广东肇庆高一期末]在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BAD＝60°，AD＝2，BD＝5.
(1)求cos ∠ABD；
(2)若BC＝4，求DC.








21.(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．







22．(12分)[2021·新高考Ⅰ卷]记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.



































答案：
1．解析：由a＝(1，3)可得＝，故a·b＝cos 60°＝×2×＝，故选C.
答案：C
2．解析：正六边形ABCDEF中，因为＝，
所以＋＋＝＋＋＝，故选B.
答案：B
3．解析：∵a∥c，b⊥c，∴
∴即a＝(－1，2)，b＝(2，1)
∴a－b＝(－3，1)，∴|a－b|＝.
答案：B
4．解析：∵sin B＝sin C cos A，∴b＝c cos A，由余弦定理知b＝c·＝，整理得a2＋b2＝c2，故C＝.故选D.
答案：D
5．解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.故选D.

答案：D
6．解析：在△ABC中，BC＝4，AC＝5，
·＝(－)·(－)＝·＝20cos C＝10，
所以cos C＝，
所以AB＝
＝＝.故选B.

答案：B
7．解析：因为＝1 N，＝2 N，F1与F3的夹角为120°，
根据余弦定理，可得F1与F3的合力为

＝＝ N，
因为三个力处于平衡状态，合力为0，
所以F2的大小为 N．故选B.
答案：B
8．解析：因为a2sin C＝6sin A，
所以由正弦定理可得a2c＝6a，得ac＝6，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，4＝a2＋c2－12cos B，
所以4＋12cos B＝a2＋c2≥2ac＝12，当且仅当a＝c时取等号，
所以cos B≥，
所以sin B＝≤＝，
所以ac sin B≤×6×＝，当且仅当a＝c时取等号，
所以△ABC面积的最大值为，故选B.
答案：B
9．解析：因点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则O是AC中点，即有＝，A正确；
平行四边形对角线长不一定相等，则与不一定相等，B不正确；
点A，O，B不共线，C不正确；
平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有与共线，D正确．故选AD.
答案：AD
10．解析：易知B，C，D正确，对A，两个向量的模相等，但两个向量的方向不一定相同，则A错误．故选BCD.
答案：BCD
11．解析：对于A：若sin A>sin B，而＝，即a>b，故A>B，
同理，若A>B，即a>b，而＝，故sin A>sin B，
所以∠A>∠B是sin A>sin B的充要条件，故A正确；
对于B：由锐角△ABC知：A＋B>，即>A>－B>0，则sin A>sin ＝cos B，故B正确；
对于C：由题设得sin A cos A＝sin B cos B，可得sin 2A＝sin 2B，又A，B∈(0，π)，则2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰或直角三角形，故C错误；
对于D：由题设，cos B＝＝，即ac＝a2＋c2－b2，
又b2＝ac，所以ac＝a2＋c2－ac，故(a－c)2＝0，即a＝c，
又B＝60°，所以a＝b＝c，故△ABC必是等边三角形，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：由题意可知CD＝30，∠ADC＝90°＋15°＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝90°－∠BCA＝90°－60°＝30°，
所以∠CAD＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－105°－30°＝45°≠60°，故A错误；
∠ADB＝15°＋45°＝60°，
在△ACD中，由正弦定理得＝，得AD＝＝15(海里)，故B正确；
在Rt△BCD中，因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝CD＝30≠30(海里)，故D错误；
在△ABD中，由余弦定理得，
AB＝
＝ ＝15(海里)，故C正确．故选BC.
答案：BC
13．解析：由题意可得＝(4－k，－7)，＝(6，k－5) ，因为A，B，C三点共线，所以∥，进而(4－k)(k－5)＝－42⇒k2－9k－22＝0⇒k＝－2 或k＝11，
因为k>0 ，所以k＝11.
答案：11
14．解析：因为在△ABC中，C＝60°，a＝1，c＝，
所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
所以7＝1＋b2－2b cos 60°，b2－b－6＝0，
(b＋2)(b－3)＝0，
得b＝－2(舍去)，或b＝3.
答案：3
15．解析：由余弦定理得cos A＝＝＝－，
因为A∈(0，π)，所以sin A＝＝，
设外接圆半径为R，由正弦定理得＝＝2R，解得R＝.
答案：
16．解析：由题意，设＝λ，λ∈，
所以＝＋＝－＋＝－λ＋，＝(1－λ).
又BC＝3，·＝3，
所以·＝(－λ＋)·(1－λ)＝－λ(1－λ)2＋(1－λ)·
＝9(λ2－λ)＋3(1－λ)＝9λ2－12λ＋3
＝9(λ－)2－1，
当λ＝时，·取得最小值－1.
答案：－1
17．解析：(1)因为a⊥b，所以a·b＝0，
即2×1＋2x＝0，解得x＝－1，
所以a＋b＝(3，1)，
故＝.
(2)因为a∥b，所以2×2－x＝0，解得x＝4，则a＝(2，4).
因为a·c＝6，＝2，＝，
所以cos 〈a，c〉＝＝，
即a与c夹角的余弦值为.
18．解析：(1)因为点A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2)，
所以＝(3，1)－(2，－1)＝(1，2)，
＝(1，－2)－(2，－1)＝(－1，－1)，
所以cos 〈，〉＝＝－.
(2)因为点A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2)，
所以＝(3，1)－(2，－1)＝(1，2)，
＝(1，－2)－(2，－1)＝(－1，－1)，
所以＋t＝(1，2)＋t(－1，－1)＝(1－t，2－t)，
又因为⊥(＋t)，
所以·(＋t)＝1－t＋4－2t＝0，
解得t＝.
19．解析：(1)因为a＝(1，－2)，b＝(－1，－1)，
所以2a－b＝2(1，－2)－(－1，－1)＝(3，－3),
所以＝＝3；
(2)a＋λb＝(1，－2)＋λ(－1，－1)＝(1－λ，－2－λ)，
所以＝，(a＋λb)·(2a－b)＝3(1－λ)＋(－3)×(－2－λ)＝9，
又向量a＋λb与2a－b夹角为，
所以(a＋λb)·(2a－b)＝·cos ，
即×3×＝9，
即(1－λ)2＋(－2－λ)2＝9，解得λ＝1或λ＝－2.
20．解析：(1)如图，

由正弦定理，得＝，
所以＝，
解得sin ∠ABD＝，
所以cos ∠ABD＝＝.
(2)因为sin ∠ABD＝，∠ABC＝90°，
所以cos ∠DBC＝，
由余弦定理，得DC2＝BD2＋BC2－2BD·BC cos ∠DBC＝25＋16－2×5×4×＝17，
所以DC＝.
21．解析：(1)因为2sin C＝3sin A，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，
cos C＝＝，所以，C为锐角，则sin C＝＝，
因此，S△ABC＝ab sinC＝×4×5×＝；
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得cos C＝
＝＝