2022-2023学年上学期八年级数学期末模拟测试卷（18）

这是一份2022-2023学年上学期八年级数学期末模拟测试卷（18），共27页。试卷主要包含了5cmD．5cm，5～3等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上学期八年级数学期末模拟测试卷（18）
注意事项：
本试卷满分100分，试题共26题．选择6道、填空10道、解答10道..答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、凤凰光学、太极股份和华为集团等就是代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，已知△ABE≌△ACD，点D在AB上，点E在AC上，若AB＝9cm，AE＝4cm，则线段BD的长为（　　）

A．9cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
3．面积为13的正方形的边长是a，则a的值在以下哪个范围内（　　）
A．3.5～3.6 B．3.6～3.7 C．3.7～3.8 D．3.8～3.9
4．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）

A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）
5．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
6．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，它们的图象如图所示．下列结论：
①乙龙舟队先到达终点；
②1.5min时，甲龙舟队处于领先位置；
③当2＜x＜时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；
④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，
其中正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上
7．下列各数3.14，，1.21221221，，2﹣π，﹣2021，中，无理数的个数有 　 　个．
8．已知一次函数y＝x﹣5的函数值随自变量的增大而 　 　．
9．若m的两个平方根为a﹣1和a﹣5，则代数式3m﹣2的值是　 　．
10．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是 　 　（只需写一个，不添加辅助线）．

11．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝　 　．
12．直线y＝x+1与y＝mx+n相交于点P（1，a），则关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　．

13．若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是　 　．
14．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．则此时EC的长度为　 　．

15．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝　 　；
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝　 　；
（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为　 　．

16．已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．
（1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是　 　；
（2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）﹣+|﹣2|；
（2）+﹣（﹣）3．
18．解方程：
（1）16x2﹣49＝0；
（2）2﹣（x+1）3+16＝0．
19．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．

20．已知一次函数的图象经过点（﹣1，2）和点（3，﹣2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，且x1≤x2，请比较y1，y2的大小，并说明理由．
21．用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．

22．已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
求作：点P，使点P在射线AB上，且△ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）

23．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（2，4），B（1，1），C（3，2）三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 　 　；
（2）△ABC的面积为 　 　；
（3）在y轴上作点P，使得PA+PB最小，请求出点P的坐标，并说明理由．

24．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．
（1）小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路；
（2）请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．

25．双十一期间，某电器总公司新进了一批电冰箱和洗衣机共200台，洗衣机是电冰箱数量的2倍少10台，总公司计划将这两种电器调配给下属的甲、乙两个子公司销售，其中120台给甲公司，80台给乙公司，两个子公司销售这两种电器每台的利润（元）如表：

电冰箱
洗衣机
甲公司
500
270
乙公司
420
250
设总公司调配给甲公司x台电冰箱，卖出这200台电器的总利润为y元．
（1）求新进电冰箱和洗衣机各多少台？
（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）年底为了促销，总公司决定仅对甲公司的电冰箱每台让利n元（n＞0）销售，其他利润不变，并且让利后甲公司每台电冰箱的利润仍高于450元，问总公司应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？
26．【方法总结】
以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．
题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在边AB、AC上，∠AED＝∠CFD．
求证：ED＝DF．
分析：作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G、H．根据角平分线的性质，得DG＝DH．
再证明△EGD≌△FHD，得DE＝DF．
反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．
根据上述解题经验，解决下列问题．
【变式迁移】
（1）如图1，四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°求证：AC平分∠DAB．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△CBD沿CD翻折后得到△CED，连接AE．若AC＝4，BC＝3，直接写出AE的长．



答案与解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、凤凰光学、太极股份和华为集团等就是代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．如图，已知△ABE≌△ACD，点D在AB上，点E在AC上，若AB＝9cm，AE＝4cm，则线段BD的长为（　　）

A．9cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【分析】根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到答案．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE＝4cm，
∵AB＝9cm，
∴AB﹣AD＝5（cm），
故选：D．
3．面积为13的正方形的边长是a，则a的值在以下哪个范围内（　　）
A．3.5～3.6 B．3.6～3.7 C．3.7～3.8 D．3.8～3.9
【分析】根据题意可得：a2＝13，从而可得a＝，然后估算出的值的范围，即可解答．
【解答】解：由题意得：
a2＝13，
∴a＝，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵3.62＝12.96，3.72＝13.69，
∴3.6＜＜3.7，
∴a的值在3.6～3.7范围内，
故选：B．
4．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）

A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）
【分析】先过B作BC⊥AO于C，则根据等边三角形的性质，即可得到OC以及BC的长，进而得出点B的坐标．
【解答】解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，则
∵△AOB是等边三角形，
∴OC＝AO＝1，
∴Rt△BOC中，BC＝＝，
∴B（1，），
故选：D．

5．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，

∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，
∴24﹣S正方形C＝6+10，
∴S正方形C＝8．
故选：C．
6．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，它们的图象如图所示．下列结论：
①乙龙舟队先到达终点；
②1.5min时，甲龙舟队处于领先位置；
③当2＜x＜时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；
④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，
其中正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【分析】解决图象类问题，首先需要理解x轴，y轴所表示的含义，再根据图象解决问题即可．
【解答】解：如图，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，
①由图可知，甲队到达终点用时5min，乙队到达终点用时4.5min，故乙队比甲队先到达终点，故①符合题意；
②由图可知，当时，甲队的图象在乙队上方，即甲队处于领先位置，故②符合题意；
③由图可设y1＝k1x，已知y1＝k1x过点（5，1050），
∴5k1＝1050，解得，k1＝210，
∴y1＝210x（0≤x≤5）；
当0≤x≤2时，y2＝k2x，过点（2，300），
∴2k2＝300，解得k2＝150，
∴y2＝150x；
当2＜x≤4.5时，设y2＝kx+b，过点（2，300），（4.5，1050），
∴，解得，
∴y2＝300x﹣300；
∴．
则当时，甲队的速度为210m/min，乙队的速度为300m/min，即乙队的速度比甲队的速度快，故③不符合题意；
④当0≤x≤2时，210x﹣150x＝105，解得x＝；
当时，210x﹣（300x﹣300）＝105，解得；
当时，300x﹣300﹣210x＝105，解得x＝4.5．
综上，在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，故④符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上
7．下列各数3.14，，1.21221221，，2﹣π，﹣2021，中，无理数的个数有 　2　个．
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【解答】解：，
无理数有2﹣π，，共有2个．
故答案为：2．
8．已知一次函数y＝x﹣5的函数值随自变量的增大而 　增大　．
【分析】根据一次函数性质直接得到答案．
【解答】解：∵y＝x﹣5中，k＝＞0，
∴函数值y随自变量x的增大而增大，
故答案为：增大．
9．若m的两个平方根为a﹣1和a﹣5，则代数式3m﹣2的值是　10　．
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出a﹣1+a﹣5＝0，求出a即可．
【解答】解：∵a﹣1和a﹣5是一个正数m的两个平方根，
∴a﹣1+a﹣5＝0，
a＝3，
a﹣1＝2，
∴m＝4，
3m﹣2＝3×4﹣2＝10，
故答案为：10．
10．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是 　AD＝CF（或AC＝DF）　（只需写一个，不添加辅助线）．

【分析】利用“HL”判断直角三角形全等的方法解决问题．
【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，
∴当添加AD＝CF或AC＝DF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
故答案为：AD＝CF（或AC＝DF）．
11．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝　3　．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：∵点A（m，3）向下平移2个单位，向左平移1个单位后得到点B（1，n），
∴m﹣1＝1，3﹣2＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴m+n＝3，
故答案为：3．
12．直线y＝x+1与y＝mx+n相交于点P（1，a），则关于x，y的二元一次方程组的解为 　　．

【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
【解答】解：根据函数图可知，
函数y＝x+1与y＝mx+n的图象交于点P的坐标是（1，a），
把x＝1，y＝a代入y＝x+1，可得：a＝1+1＝2，
解得：a＝2，
故关于x，y的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
13．若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是　76°　．
【分析】先根据角平分线的性质、三角形的内角和定理求出等腰三角形两底角的度数和．再根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出顶角的度数．
【解答】解：

∵∠BOC＝128°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣128°＝52°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝104°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣104°＝76°．
.故答案为：76°．
14．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．则此时EC的长度为　3cm　．

【分析】由折叠可得AF＝AD＝10cm，在直角三角形ABF中，由勾股定理可求BF，再由折叠得到DE＝EF，将问题转化到直角三角形EFC中，设未知数，建立方程，求出结果．
【解答】解：由折叠得：AF＝AD＝BC＝10cm，
在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，
∴BF＝＝6（cm），
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），
设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x，
在在Rt△EFC中，由勾股定理得：
x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴EC＝3cm，
故答案为：3cm．
15．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝　20°　；
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝　70°　；
（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为　＜m＜17　．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，AN＝CN，根据三角形内角和定理计算即可；
（3）根据三角形的周长公式得到△AEN的周长＝BC，根据三角形的三边关系、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B＝20°；
（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，
∵∠ADF＝∠AMF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；
（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，
当∠BAC＝90°时，BC＝＝，
在△ABC中，AB＝8，AC＝9，
∴＜BC＜9+8，
∴＜m＜17．
故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）＜m＜17．
16．已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．
（1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是　（2，0）　；
（2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是　﹣1　．
【分析】（1）解析式变形为y1＝k（x﹣2），即可得到无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过点（2，0）；
（2）由题意可知，y1的图象始终在y2上方，得到两函数不相交，平行，即可得出k＝﹣1．
【解答】解：（1）∵y1＝kx﹣2k＝k（x﹣2），
∴当x＝2时，y1＝0，
∴这个点的坐标是（2，0），
故答案为（2，0）；
（2）∵无论x取何值，y1＞y2，
∴y1的图象始终在y2上方，
∴两个函数的图象即两条直线平行，
∴k＝﹣1，
故答案为﹣1．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）﹣+|﹣2|；
（2）+﹣（﹣）3．
【分析】（1）直接利用算术平方根的定义以及立方根的定义、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用算术平方根的定义以及立方根的定义、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝7﹣1+2﹣
＝8﹣；

（2）原式＝﹣3++
＝﹣2．
18．解方程：
（1）16x2﹣49＝0；
（2）2﹣（x+1）3+16＝0．
【分析】（1）通过移项、系数化为1、开平方进行求解；
（2）通过移项、开立方进行求解．
【解答】解：（1）移项，得16x2＝49；
系数化为1，得x2＝，
开平方，得x＝；
（2）移项，得﹣（x+1）3＝﹣2﹣16，
合并同类项，得﹣（x+1）3＝﹣18，
系数化为1，得（x+1）3＝18，
开立方，得x+1＝，
解得x＝﹣1．
19．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．

【分析】（1）利用已知得出∠1＝∠EAC，进而借助SAS得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出∠ABD＝∠2＝30°，再利用三角形的外角得出得出即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
20．已知一次函数的图象经过点（﹣1，2）和点（3，﹣2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，且x1≤x2，请比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据一次函数y＝﹣x+1的性质即可判断．
【解答】解：（1）根据题意，设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣1，2）和（3，﹣2）代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+1；
（2）∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
当x1≤x2时，y1≥y2．
21．用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．

【分析】设出长方形的长和宽，根据长方形的面积列不等式组确定x的取值范围，再确定长方形面积的取值范围即可得出答案．
【解答】解：不可能，理由如下：
因为正方形的面积400cm2，所以正方形的边长为20cm，
设长方形的长为3xcm，宽为2xcm，根据题意得，
，
解得x≤，
所以S长方形＝3x•2x＝6x2≤6×（）2＝＜300，
即：长方形纸片的面积不可能是300cm2．
22．已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
求作：点P，使点P在射线AB上，且△ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）

【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况画出图形即可．
【解答】解：如图，点P1，P2，P3 即为所求．

23．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（2，4），B（1，1），C（3，2）三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 　（2，﹣4）　；
（2）△ABC的面积为 　　；
（3）在y轴上作点P，使得PA+PB最小，请求出点P的坐标，并说明理由．

【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
（3）作点B关于y轴的对称点B2，连接AB2，与y轴的交点即为所求，利用待定系数法求出AB2所在直线解析式，然后求出x＝0时y的值即可得出点P的坐标，根据轴对称的性质和两点之间线段最短即可说明理由．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（2，﹣4）．

故答案为：（2，﹣4）；
（2）△ABC的面积为2×3﹣×1×2×2﹣×1×3＝，
故答案为：；
（3）如图所示，点P即为所求，
点B关于y轴的对称点B2坐标为（﹣1，1），
设AB2所在直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴AB2所在直线解析式为y＝x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴点P坐标为（0，2），
根据轴对称的性质知PB＝PB2，
由两点之间线段最短知PA+PB2最小，
∴PB+PA最小．
24．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．
（1）小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路；
（2）请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．

【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝，BC＝，AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°；
（2）过A点作AD⊥BE于D，过C作CE⊥DB于E，

由图可知：AD＝BE，BD＝CE，∠ADB＝∠BEC＝90°，
在△ADB和△BEC中，
，
∴△ADB≌△BEC（SAS），
∴∠ABD＝∠BCE，
在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC＝180°，
∴∠BCE+∠EBC＝180°﹣∠BEC＝90°，
∴∠ABD+∠EBC＝90°，
∵D，B，E三点共线，
∴∠ABD+∠EBC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠ABD+∠EBC）＝90°．
25．双十一期间，某电器总公司新进了一批电冰箱和洗衣机共200台，洗衣机是电冰箱数量的2倍少10台，总公司计划将这两种电器调配给下属的甲、乙两个子公司销售，其中120台给甲公司，80台给乙公司，两个子公司销售这两种电器每台的利润（元）如表：

电冰箱
洗衣机
甲公司
500
270
乙公司
420
250
设总公司调配给甲公司x台电冰箱，卖出这200台电器的总利润为y元．
（1）求新进电冰箱和洗衣机各多少台？
（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）年底为了促销，总公司决定仅对甲公司的电冰箱每台让利n元（n＞0）销售，其他利润不变，并且让利后甲公司每台电冰箱的利润仍高于450元，问总公司应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？
【分析】（1）设新进电冰箱a台，洗衣机（2a﹣10）台，根据电冰箱和洗衣机共200台，洗衣机是电冰箱数量的2倍少10台列出方程，解方程即可；
（2）设总公司调配给甲公司x台电冰箱，则配给乙公司电冰箱（70﹣x）台，配给甲公司洗衣机（120﹣x）台，配给乙公司洗衣机（10+x）台，根据题意列出函数解析式，并列出不等式组求自变量的取值范围；
（3）甲公司的电冰箱每台让利n元后用与（2）相同的方法列出函数解析式，然后根据函数的性质，求最值即可．
【解答】解：（1）设新进电冰箱a台，洗衣机（2a﹣10）台，
根据题意得：a+2a﹣10＝200，
解得：a＝70，
此时2a﹣10＝130，
答：新进电冰箱70台，洗衣机130台；
（2）设总公司调配给甲公司x台电冰箱，则配给乙公司电冰箱（70﹣x）台，
配给甲公司洗衣机（120﹣x）台，配给乙公司洗衣机（10+x）台，
由题意知，y＝500x+420（70﹣x）+270（120﹣x）+250（10+x）＝60x+63400，
∵，
解得0≤x≤70，
∴y关于x的函数关系式为y＝60x+63400（0≤x≤70）；
（3）由题意得：y＝（500﹣n）x+420（70﹣x）+270（120﹣x）+250（10+x）＝（60﹣n）x+63400，
∵500﹣n＞450，
∴n＜50，
∴60﹣n＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝70时，y有最大值，
∴总公司配给甲公司电冰箱70台，洗衣机50台，配给乙公司80台洗衣机，总利润达到最大．
26．【方法总结】
以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．
题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在边AB、AC上，∠AED＝∠CFD．
求证：ED＝DF．
分析：作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G、H．根据角平分线的性质，得DG＝DH．
再证明△EGD≌△FHD，得DE＝DF．
反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．
根据上述解题经验，解决下列问题．
【变式迁移】
（1）如图1，四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°求证：AC平分∠DAB．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△CBD沿CD翻折后得到△CED，连接AE．若AC＝4，BC＝3，直接写出AE的长．


【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD，由“AAS”可证△CDF≌△CBE，可得CE＝CF，由角平分线的性质可得结论；
（2）由勾股定理可求AB的长，由面积法可求CH的长，由“AAS”可证△ACG≌△ACH，可得AG＝AH＝，CG＝CH，由“HL”可证Rt△CEG≌Rt△CBH，可得EG＝BH＝，即可求解．
【解答】证明：（1）如图1，过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠FDC+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠FDC，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CEB＝∠CFD＝90°，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CE＝CF，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴AC平分∠DAB；
（2）如图2，过点C作CH⊥AB于H，过点C作CG⊥AE，交AE的延长线于G，连接BE，

∵AC＝4，CB＝3，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CH，
∴3×4＝5CH，
∴CH＝，
∴AH＝＝＝，
∴BH＝，
∵将△CBD沿CD翻折后得到△CED，
∴EC＝BC，∠B＝∠DEC，BE⊥CD，
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴BD＝AD＝CD＝DE，
∴∠AEB＝90°，∠DAC＝∠DCA，
∴AE∥CD，
∴∠GAC＝∠ACD＝∠DAC，
又∵∠G＝∠AHC＝90°，AC＝AC，
∴△ACG≌△ACH（AAS），
∴AG＝AH＝，CG＝CH，
又∵CE＝CB，
∴Rt△CEG≌Rt△CBH（HL），
∴EG＝BH＝，
∴AE＝AG﹣EG＝．