第10讲 2023高考热点分类提分复习 超难压轴小题----导数与函数归纳

第10讲 超难压轴小题：
-----导数与函数归类（2）

目录

【题型一】 导数中的“距离”1：利用同底指数和对数关于y=x对称关系（原函数与反函数） 2
【题型二】 导数中的“距离”2：构造型距离 6
【题型三】 导数中的“距离”3：其他距离 8
【题型四】 极值点偏移 10
【题型五】 嵌套函数求参 14
【题型六】 多参型1：复杂讨论型 18
【题型七】 多参型2：凸凹翻转型 21
【题型八】 多参型3:比值代换等代换 23
【题型九】 多参型4：韦达定理型 26
【题型十】 多参型5：“二次”最值型 29






热点题型总结
【题型一】 导数中的“距离”1：利用同底指数和对数关于y=x对称关系（原函数与反函数）
【典例分析】
设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A． B． C． D．
【详解】
如图所示：与直线相交于，关于的对称点在上.则
设，则，故在上单调递减，在上单调递增，，
故恒成立，即恒成立.的导函数，的导函数，
当两条切线与平行时，都有，到直线的距离为.故，当，时等号成立.故选：.


【提分秘籍】
基本规律
同底指数与对数函数，以为例
1. “双飞燕”数据：

2.对称轴不变：注意左加右减和上加下减之间的对应关系。
3.对称轴跟随变化：要注意整体平移后的对称轴变化。




【变式演练】
1.已知,为自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【详解】
函数和函数互为反函数，图像关于对称.令，切线方程为，和直线之间的距离为，故的最小值为，此时，故.
2.若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A． ① B．①②③
C.①②④ D.①④
【详解】
由直线与两曲线分别交于两点可知：
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，可知切线：.
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率.
令，则，令，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故①正确.
，令，由同理可知有，使，令，在处取最小值，即当时，取得最小值，故②正确.
是对勾函数，在上是减函数，，故③错误.
，，故④正确.
故选：C.
3.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A． B． C． D．
【详解】
依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.





【题型二】 导数中的“距离”2：构造型距离
【典例分析】
已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【详解】
实数满足，，
点在直线上，点在曲线上，
的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，
考查曲线平行于直线的切线，，令，
解得，切点为，
该切点到直线的距离，就是所求的直线与曲线间的最小距离，故的最小值为.故选：D




【提分秘籍】
基本规律
适当的选取对应纵横坐标，借助距离了公式和比值转换，可以把复杂问题转化为两曲线（直线）的距离，进而构造函数求导求解。




【变式演练】
1.若实数满足，则的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
解：∵，∴点是曲线上的点，是直线上的点，
∴要使最小，当且仅当过曲线上的点且与平行时．
∵，由得，；由得．
∴当时，取得极小值．由，可得 （负值舍去）
∴点到直线的距离为，故选：A．
2.设.，则的最小值为
A． B．1 C． D．2
【详解】
由题可得：设，所以为上任意一点到上任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为,令，，显然在递减，递增所以，故最小值为


3.已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【详解】
点 看作曲线 上点P；点 看作直线 上点Q；则为 ,由 ，所以，选A.





【题型三】 导数中的“距离”3：其他距离
【典例分析】
已知函数，，若成立，则的最小值是
A． B． C． D．
【详解】
分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．
详解：设，则，，，
∴，令，
则，，∴是上的增函数，
又，∴当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，
，∴的最小值是．



【提分秘籍】
基本规律
各种各样的“距离”：
1.水平线“距离”，如【典例分析】
2曲线点到直线距离，如练习2
3.借助函数图像对称性，如练习3




【变式演练】
1.设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
【详解】
设t为在上的零点，则，所以，即点在直线，
又表示点到原点距离的平方，则，
即，
令，可得，
因为，所以，得在上为单调递增函数，
所以当t=0是，，
所以的最小值为.故选：B.
2.已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的所有可能取值构成的集合为__________.
【详解】
解：，则看成点到点的距离的平方，其中点在函数上，点在直线上，
由，得，令，则，，设，
所以函数在点处的切线与直线平行，
所以点到直线的距离，即点到点的距离的最小值，
点到直线的距离为，
所以，
过点且垂直直线的直线方程为，由，得，
当且仅当，即时，，
所以，
所以实数的所有可能取值构成的集合为，故答案为：
3.已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．
【详解】,函数在单调递增，单调递减.。它的图像及关于直线对称的图像如图所示：

分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小.
令，又P在y轴右侧，；
根据两条曲线的对称性，且P，Q处的切线斜率相等，点Q为点关于对称的点，可求得。因此PQ中点坐标为：故答案为：




【题型四】 极值点偏移
【典例分析】
已知函数，若且，关于下列命题：正确的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】,所以函数f(x)在单调递增，在单调递减．f(0)=1
f(1)=0，当x0，所以．即x轴是函数的渐近线，画出草图如下．
．由图可知（1）（4）错，（2）（3）对．选B.



【提分秘籍】
基本规律
1.极值点偏移小题是属于“大题”题型。
2.如果只是做小题，可以考虑画出草图，粗略的可以判断真假．




【变式演练】
1..已知方程有两个不同的实数根，（），则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由题意，，即与在上有两个交点且横坐标分别为，（），
∵，而，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴的极小值也是最小值为，而，，，
∴要使题设成立，则且有.
令，则，
∴，
若且，
∴
∵，，
∴，即在上单调递减，
∴，
∴且当时单调递增，故在右侧存在，使，即，若，
∴，且恒成立，即，故A、B正确；
令且，则，即，
∴，，递减；，，递增；
∴，故单调递增，
∴，即，易知C正确，D错误；
故选：D
2.已知，若，且，则与2的关系为
A． B． C． D．大小不确定
【详解】
由题，,令则有，所以当时，
当时，，所以,在时取得极大值和最大值.
又当趋近于正无穷时,正向趋近于0,且,所以,如果存在
使得,不失一般性令 ,则,，
对于任意的,分别取两点、，
现在比较和的大小. ，
令分子部分为,.
求导有,
当时, ;当时,又，故单调递增且大于0.所以,在 上是单调增函数,且,故,即，因为，，在上单调递减且,所以在点的右侧必能找到一点,使得,且，故，令,则有，故选A．
3.设且，若，则下列结论中一定正确的个数是
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】
，即

，令 时， 时，
， ， ，故 ④对；令 时， ， ， ，即 ，故①对；又 ，故③对；构造
， 递减，
时， ， ， ，故 故②对，所以正确的个数为 ，故选D.





【题型五】 嵌套函数求参
【典例分析】
已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由题意，曲线上存在点，使得，所以．记，若，则，所以，不满足，同理也不满足，所以，所以，所以，所以
记，则，记，因为，所以在上单调递减，因为，所以时，，因为，所以，所以的最大值为故选：D.




【提分秘籍】
基本规律
1.嵌套函数：双坐标系换元转化
2.利用导数数形结合求解




【变式演练】
1.设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．， B．， C．， D．，
解：，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
即函数的取值范围为，，若上存在点，使得成立，则，.又在定义域上单调递增.
所以假设，则（c），不满足.
同理假设，也不满足.
综上可得：.，.
函数，的定义域为，等价为，在，上有解
即平方得，则，
设，则，由得，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，即（1），
当时，（e），则.
则.故选：.
2.已知函数，，记函数g(x)和h(x)的零点个数分别是M ，N，则（ ）
A．若M=1，则N≤2 B．若M=2，则N≥2
C．若M=3，则N=4 D．若N=3，则M=2
【详解】
，
令单调递增，单调递减，
当时，取得最小值，，
当，
在同一坐标系中作出与的图像，如下图所示：


当时，作出函数的图像如下图所示：
记，则的零点转化为和，
对于A选项：若时，即有1个零点，即有1个交点，所以或，
（1）当时，有1个根，且，所以的根的情况是：在时，有2个根，在时，有1个根；
（2）当时，有1个根，，所以没有根，
所以若时，h(x)的零点个数或；所以，故A选项成立；
对于B选项：若时，即有2个零点，即有2个交点，所以或，
（1）当时，有2个根，且，所以的根的情况是：在时，有2个根，当时，有2个根，在或时，有1个根，当时，没有根；
（2）当时，有2个根，且或，所以没有根，
所以若时，h(x)的零点个数或或；所以，故B选项不正确；
由图示可知和不可能有3个零点，所以，若或这种情况不存在；
所以当时，若时，或；若时，或或；若或的情况不存在；
和的情况与的情况类似，
故选：A.

3.已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
当时，，；
当时，，，
综上，对.
有两个零点，即方程有两个根，
即方程有两个根，不妨设.易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.令.
.令，
，令.时，；时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，.
函数的值域为，即的取值范围是.故选：.




【题型六】 多参型1：复杂讨论型
【典例分析】
已知、，且，对任意均有，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】，故与的符号相同，
当时，；当时，.所以，与的符号相同.
，
令，所以，当时，恒成立，令，可得，，.
，分以下四种情况讨论：
对于A选项，当，时，则，当时，，不合乎题意，A选项错误；
对于B选项，当，时，则，
若，若、、均为正数，
①若，则，当时，，不合乎题意；
②若，则，当时，，不合乎题意.
③若、、都不相等，记，则当时，，不合乎题意.
由上可知，，当时，若使得恒成立，则，如下图所示，

所以，当，时，且，时，当时，恒成立；
对于C选项，当，时，则，
①若时，则当时，，不合乎题意；
②当时，构造函数，其中，，
函数在上单调递增，则，.
当时，由于，则，不合乎题意，C选项错误；
对于D选项，当，时，则，此时、、为正数.
①当、、都不相等时，记，当时，，不合乎题意；
②若，则，当时，，不合乎题意；
③当时，，当时，， 不合乎题意.
所以，D选项错误.
故选：B.




【提分秘籍】
基本规律
“多参”求最值或者范围，属于综合难题，没有特别有规律的方法，大多数需要选取适当的函数，利用导数分类讨论，属于难题



【变式演练】
1.设a，b是正实数，函数，.若存在，使成立，则的取值范围为_________.
【详解】∵存在，使成立，∴，得；
令；∴；
∵，，，令，即时，递增；时，递减；
①若，即在上单调递减；
∴，对恒成立；
②若，即，在上先递减后递增；
∴，∴，，即，
综上的取值范围为.故答案为：.
2.对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.
【详解】令，则，即，∴单调递增，
∴当时，，即在上递减，而当时，，故不满足；
当时，若得，即，
∴时，，即递减；当时，，即递增；若令，即，
则：①当，即，恒成立；
∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，
∴时，，有，，则；
当，即，，得，
∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，
∴时，，有，，则；
∴综上：，即的最小值为.故答案为：.
3.已知函数，若且，则的取值范围为
A． B． C． D．
【详解】根据绝对值的几何意义，有，且，故，化简得，，令，，故函数在上单调递增，所以.




【题型七】 多参型2：凸凹翻转型
【典例分析】
已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
解：由题干条件可知：等价于，
令，，则 ， ，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.
令，，则，当时，此题无解，所以，
则，当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.
若成立，只需，即，即，
两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，
令，本题即求的最大的正整数.
恒成立，则在上单调递减，
，，，
所以的最大正整数为9.。故选：C.



【提分秘籍】
基本规律
凸凹翻转型常见思路，如下图





【变式演练】
1.已知实数，满足，则的值为
A． B． C． D．

【详解】
设，，则
，
令，(m)=m0,m>1,(m)