2023年中考数学一轮复习 考点14 二次函数

2023年中考数学一轮复习

考点14  二次函数

一、选择题

1．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＞0 B．a＞1

C．a≠1 D．a＜1

2．抛物线yx2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（　　）

A．yx2+x

B．yx2﹣4

C．yx2+2021x﹣2022

D．y＝﹣x2+x+1

3．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1

C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3

4.．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（　　）

A．b＞0 B．c＜0

C．a+b+c＞0 D．3a+c＝0

5.已知二次函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是　　

A．无实数根

B．有两个相等实数根

C．有两个异号实数根

D．有两个同号不相等实数根

6．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　）

A．1 B．2

C．3 D．4

7．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）D

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

8．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，

甲：若b＝5，则点P的个数为0；

乙：若b＝4，则点P的个数为1；

丙：若b＝3，则点P的个数为1．

下列判断正确的是（　　）C

A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对

9．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（　　）

A．4，﹣1 B．，﹣1

C．4，0 D．，﹣1

10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个

C．3个 D．2个

故选：C．

二、填空题

11．二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为 　　　　．

12．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 　　　．

 13．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x时，函数值y的最小值为1，则a的值为 　　　　．

14．已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是　　　　．

15．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为yx2+bx+c，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为　　米．

三、解答题

16．某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

17．如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．

（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？

（2）矩形框架ABCD面积的最大值为

　　平方厘米．

18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；

（3）设点P（a，y1），Q（2，y2）在抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．

19．2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即）．

求：（1）点A的坐标；

（2）该抛物线的函数表达式；

（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）

（参考数据：1.73）

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参考答案

一、选择题

1~5  BDDDD   6~10DDCDC

二、填空题

11. （﹣1，4）   12. 1或     13. ﹣1  14. （3，0）  15. 10

三、解答题

16. 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

由所给函数图象可知：，

解得，

故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；

（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，

∵y＝﹣20x+500，

∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）

＝﹣20x2+760x﹣6500

＝﹣20（x﹣19）2+720，

∵﹣20＜0，

∴当x＜19时，w随x的增大而增大，

∵13≤x≤18，

∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，

∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．

17. 解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，

∴x•144，

解得x＝12或x＝18，

∴AB＝12cm或AB＝8cm，

∴AB的长为12厘米或8厘米；

（2）150

18. 解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为直线x1；

（2）抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，可得y′＝ax2﹣2ax+3﹣3|a|，

∵抛物线的顶点落在x轴上，

∴△＝（2a）2﹣4a（3﹣3|a|）＝0，解得a或a．

（3）①当a＞0时，则原抛物线开口向上，若y1＞y2，则点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，

∴|a﹣1|＞|2﹣1|，即|a﹣1|＞1，

∴a﹣1＞1或a﹣1＜﹣1，

解得a＞2或a＜0，

∵a＞0，∴a＞2；

②当a＜0时，则原抛物线开口向下，

若y1＞y2，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，

∴|a﹣1|＜|2﹣1|，即|a﹣1|＜1，

∴﹣1＜a﹣1＜1，

解得0＜a＜2，

∵a＜0，故此情况不成立，

综上，a的取值范围为a＞2．

19. 解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，∴A（0，4）．

（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，

∵A（0，4），

∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a．

∴抛物线的解析式为：y（x﹣4）2+12．

（3）在Rt△CDE中，，CD＝2.5，

∴CE＝1.5，DE＝2．

∴点D的纵坐标为﹣1.5，

令（x﹣4）2+12＝﹣1.5，

解得，x＝4+39.19或x＝4﹣31.19（不合题意，舍去），

∴D（9.19，﹣1.5）．

∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．

∴OC的长约为7.2米．