2023年中考数学一轮复习 考点21 勾股定理

2023年中考数学一轮复习

考点21  勾股定理

一、选择题

1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）

A．5，11，12 B．2，3，4

C．4，6，7 D．3，4，5

2．一个直角三角形的两条直角边边长分别为3和4，则斜边上的高为（ ）

A．5 B．3.

C．2.4 D．2

3．已知a，b，c是一个三角形的三边长，如果，则这个三角形的面积为（  ）

A．8 B．6

C．5 D．4

4．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（  ）

A． B．

C． D．

5．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形

6．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．50.5寸 B．52寸C．101寸 D．104寸

7．如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（　　）

A．从点P向北偏西45°走3km到达l 

B．公路l的走向是南偏西45° 

C．公路l的走向是北偏东45° 

D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l

8．如图所示，方格中有A、B、C、D、E五个格点，以这5个格点中的3个点为顶点画三角形，其中直角三角形有（　　）

A．1 B．2

C．3 D．4

9．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　）

A．5 B．25

C．105 D．35

10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）

A．直角三角形的面积 

B．最大正方形的面积 

C．较小两个正方形重叠部分的面积 

D．最大正方形与直角三角形的面积和

二、填空题 

11．若两组勾股数从小到大依次是3，4，a和5，b，13，则a+b的值是　17　．

12．如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝　　．

13．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝10m，CD＝5m，则这块土地的面积为 　　．

14．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 　　寸．

15．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 　　m．（边缘部分的厚度忽略不计）

16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 　　时，能使DE＝CD？

三、解答题

17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D．求：

(1)AC的长；

(2)CD的长.

18．在所给的格点图中，每个小正方形的边长都是1．

(1)图1中有四条线段a，b，c，d，则能构成一个直角三角形三边长的三条线段是______（只填序号）．

(2)在图2中画出一个，使其三边长分别为，，5，三个顶点都在格点上，并求出你画出的的面积．

19.如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，

(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）

(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有__个．

(3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____．

20.如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的B处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．

21．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．

(1)应用场景——在数轴上画出表示无理数的点．

如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是_____．

(2)应用场景——解决实际问题．

如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推6m至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．

参考答案 

一、选择题

1~5  DCBAB      6~10 CACBC

二、填空题

11. 17     12. 45°    13.37.5m2    14. 25     15. 25     16. 5或11

三、解答题

17. 解：(1)在中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，cm.

(2) ∵ ，

 cm．

18.解：(1)a  b  d

(2)如图所示．所画的面积．

19. 解：(1)∵SABED =，

SABED =，

∴，整理得.

(2)3    (3)7.5

20.解：∵牧童先由A点去河边，再从河边直接返回家中，∴牧童的行走路线为AF+BF，

∵A点关于河岸l的对称点为D，∴AF=DF，

∴AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD.∵A点距离河岸l为4km，

∴AD=4×2=8（km），∵AC=7km，∴

DC=AD+AC=8+7=15（km）.根据题意可知∠C=90°，BC=8km，∴

（km）.

答：牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．

21.解：(1)

(2)设秋千绳索AB的长度为x m.由题意可得AC=AB=x m，四边形DCFE为矩形，BE=1m，DC=6m，CF=4m，DE=CF=4m，∴DB=DE-BE=3m，AD=AB-BD=（x-3）m，在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2，即（x-3）2+62=x2，

解得x=7.5，即AC的长度为7.5m，

答：绳索AC的长为7.5m.