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2022-2023学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期中数学试卷(解析版)

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这是一份2022-2023学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省永州市宁远县九年级（上）期中数学试卷

题号	一	二	三	总分
得分

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

如果反比例函数的图象经过点，则的值是( )

A. B. C. D.

下列方程中是一元二次方程的是( )

A. B. C. D.

下列四组长度的线段中，是成比例线段的是( )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

下列命题中，属于真命题的是( )

A. 两个菱形一定相似 B. 两个等腰直角三角形一定相似
C. 两个矩形一定相似 D. 两个周长相等的三角形一定相似

下列一元二次方程有实数根的是( )

A. B.
C. D.

如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作▱，其中、在轴上，则为( )

A. B. C. D.

两个相邻自然数的积是，则这两个数中，较大的数是( )

A. B. C. D.

当时，反比例函数和一次函数的图象大致是( )

A. B.
C. D.

同一时刻，同一地点，在阳光下影长为米的小王身高为米，一棵树的影长为米，则这棵树的高度为( )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是( )

A. B. C. D.

如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使∽的是( )

A.
B.
C.
D.

已知实数，满足，则的值为( )

A. B. C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

与中，，若，则的周长是______．
方程的解是______ ．
研究发现，近视镜的度数度与镜片焦距米成反比例函数关系，小明佩戴的度近视镜片的焦距为米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为米，则小明的近视镜度数可以调整为______度．
在比例尺为：的地图上，量得上海市到杭州市两地的距离是厘米，那么上海到杭州的实际距离是______千米．
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染______个人．
如图，小红把梯子斜靠在墙壁上，梯脚距墙米，小红上了两节梯子到点，此时点距墙米，长米，则梯子的长为______米．

关于的方程有两个相等的实数根，则______．
在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

本小题分
用适当的方法解下列方程：
；
．
本小题分
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高．

本小题分
将一条长为的铁丝剪成两段，分别弯成两个正方形．
若这两个正方形的面积之和为，分别求这两段铁丝的长．
这两个正方形的面积之和能否为？若能，分别求这两段铁丝的长；若不能，请说明理由．
本小题分
已知反比例函数的图象位于第二、四象限，正比例函数图象经过第一、三象限，求的整数值．
本小题分
已知关于的一元二次方程：．
求证：这个方程总有两个实数根；
若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
本小题分
通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，指标达到或超过时为认真听讲阶段，学生注意力指标随时间分钟变化的函数图象如图所示．当和图象是线段，当时是反比例函数的一部分．
求点对应的指标值；
李老师在一节课上讲一道数学综合题需分钟，他能否经过适当安排使学生在认真听讲阶段进行讲解，请说明理由．

本小题分
如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
求证：；
设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
联结，当与相似时，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值．
【解答】
解：根据题意，得，即，
解得，．
故选：．

2.【答案】

【解析】解：该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
B.该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C.该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．

3.【答案】

【解析】解：、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意．
故选：．
如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对选项一一分析，排除错误答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．

4.【答案】

【解析】解：、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定相似，是假命题，不符合题意；
B、两个等腰直角三角形一定相似，正确，是真命题，符合题意；
C、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定相似，是假命题，不符合题意；
D、两个周长相等的三角形可能形状、大小不一样，不一定相似，是假命题，不符合题意．
故选：．
利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．

5.【答案】

【解析】解：、，
这里，，，
，
此方程没有实数根，不符合题意；
B、，
这里，，，
，
此方程没有实数根，不符合题意；
C、，
这里，，，
，
此方程没有实数根，不符合题意；
D、，
这里，，，
，
此方程有实数根，符合题意．
故选：．
找出各方程中，，的值，计算出根的判别式的值，判断即可．
此题考查了根的判别式，弄清根的判别式与方程解的情况是解本题的关键．

6.【答案】

【解析】解：设的纵坐标是，则的纵坐标也是．
把代入得，，则，即的横坐标是；
同理可得：的横坐标是：．
则．
则．
故选：．
设的纵坐标是，则的纵坐标也是，即可求得、的横坐标，则的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解、的纵坐标是同一个值，表示出的长度是关键．

7.【答案】

【解析】解：设这两个数中，较大的数是，则较小的数是，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
这两个数中，较大的数是．
故选：．
设这两个数中，较大的数是，则较小的数是，根据这两个自然数的积是，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：当时，反比例函数的图象在二四象限，同时一次函数的图象经过第一、二、四象限；
当时，反比例函数的图象在一三象限，同时一次函数的图象经过第一、二、三象限．
故选B．
根据一次函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．

9.【答案】

【解析】解：设高度为米，
因为太阳光可以看作是互相平行的，
由相似三角形：，
解得：．
故选：．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题考查相似形的知识，解题的关键在于将题目中的文字转化为数学语言再进行解答．

10.【答案】

【解析】解：，
，
，
所以．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．

11.【答案】

【解析】解：、当时，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
B、当时，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出∽，故此选项符合题意；
D、当时，即，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

12.【答案】

【解析】解：，则原方程换元为，
，
解得：，，
即或不合题意，舍去，
．
故选：．
设，则原方程换元为，可得，，即可求解．
本题考查了高次方程，解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．

13.【答案】

【解析】解：，
∽，
，
，
，
的周长是，
故答案为：．
由根据“三边成比例的两个三角形相似”证明∽，再由“相似三角形周长的比等于相似比”得，而，即要求得，即的周长是．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确理解和运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：，
．
．
故答案为：．
先求得的值，然后利用平方根的定义求解即可．
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：设函数的解析式为，
度近视眼镜镜片的焦距为米，
，
解析式为，
当时，度，
答：小明的近视镜度数可以调整为度，
故答案为：．
设函数的解析式为，由时，可求，进而可求函数关系式，然后把代入解析式即可求得答案．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：设上海到杭州的实际距离是厘米，
根据题意得，：：，
解得，
厘米千米．
即上海到杭州的实际距离是千米．
故答案为：．
根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式即可求得上海到杭州的实际距离．要注意统一单位．
本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换是解决问题的关键．

17.【答案】

【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则，
即：，
则，
解得：，不合题意，舍去．
答：每轮传染中平均一个人传染了个人．
故答案为：．
设平均一人传染了人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，列方程求解．
此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

18.【答案】

【解析】解：因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即∽，则，
设梯子长为米，则，
解得，．
即梯子的长为米，
故答案为：．
根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点三者构成的直角三角相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

19.【答案】

【解析】解：关于的方程，即有两个相等的实数根，
，即，
解得：．
故答案为：．
根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于，进而建立方程，求出的值即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．

20.【答案】

【解析】解：由表格可得：，，，
如图所示：作，，，，
，
∽，
则与相似比的值是．
故答案为：．
根据表格求出，，的长，由题意画出与相似，且面积最大，求出相似比即可．
此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．

21.【答案】解：，
，，，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，．

【解析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．

22.【答案】解：，，
∽，
，
在中，
，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
答：树高是．

【解析】先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上小明同学的身高即可求得树高．
本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得∽．

23.【答案】解：设其中一段铁丝的长为，则另一段铁丝的长，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，；
当时，，．
答：这两段铁丝的长分别为，．
这两个正方形的面积之和不能为，理由如下：
设其中一段铁丝的长为，则另一段铁丝的长，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
即这两个正方形的面积之和不能为．

【解析】设其中一段铁丝的长为，则另一段铁丝的长，根据弯成的两个正方形的面积之和为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其代入及中，即可求出这两段铁丝的长；
这两个正方形的面积之和不能为，设其中一段铁丝的长为，则另一段铁丝的长，根据弯成的两个正方形的面积之和为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即这两个正方形的面积之和不能为．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．

24.【答案】解：根据题意，得，
解这个不等式组，得，
的整数值为．

【解析】根据反比例函数的性质得，解得，根据正比例函数的性质得，所以得，然后找出此范围内的整数即可．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数，当，图象分布在第一、三象限；当，图象分布在第二、四象限．也考查了正比例函数的性质．

25.【答案】证明：

，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；

解：，
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为．

【解析】先计算，化简得到，易得，然后根据的意义即可得到结论；
利用求根公式计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．

26.【答案】解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，
解得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
，
即对应的指标值为；
设当时，的解析式为，将、代入得，
解得，
的解析式为；
当时，，
解得，
由得反比例函数的解析式为，
当时，，
解得，
当时，注意力指标都不低于，
指标达到为认真听讲，
而，
李老师能经过适当的安排，
使学生在认真听讲时，进行讲解．