2022-2023学年广东省佛山市南海区里水镇八年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年广东省佛山市南海区里水镇八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1.    下列各数：，，，，，，其中是无理数的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.    木工师傅想利用木条单位都为：米制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.    在平面直角坐标系中，点所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4.    下列函数中，是一次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    下列说法正确的是(    )

A. 的平方根是 B. 的算术平方根是
C. 的立方根是 D. 的算术平方根是

7.    二元一次方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    甲乙两车从城出发匀速驶向城，在整个行驶过程中，两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图，则下列结论错误的是(    )

A. 乙车比甲车晚出发小时，却早到小时
B. A、两城相距千米
C. 乙车出发后小时追上甲车
D. 甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时

10. 一次函数与，它们在同一坐标系内的图象可能为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 使代数式有意义的取值范围是          ．
12. 若是正比例函数，则的值为______．
13. 已知点与点关于轴对称，则______．
14. 已知，则______．
15. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：
    ；
    ．
17. 解方程组：．
18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
    若与关于轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为：______，______，______；并在这个坐标系内画出．
    计算的面积．

19. 在准备“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐：
    套餐：月租元，市话通话费每分钟元；
    套餐：月租费元，免费市话通话时间分钟，超出部分每分钟元．
    设套餐每月市话话费为 元，套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为分钟．
    分别写出、与的函数关系式．
    月市话通话时间为多长时，两种套餐收费一样？
    小明爸爸每月市话通话时间为分钟，请说明选择哪种套餐更合算？
20. 一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来表，除了医务人员主动请要走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：

甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
现有吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？

21. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
    如图，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______．
    如图，在中，，，，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，，，试猜想，，之间存在的等量关系为______．
    如图，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么第问的结论是否成立？请说明理由．
     
22. 如图，直线与轴，轴分别相交于点，点的坐标，点的坐标为点是第一象限内的直线上的一个动点点不与点，重合．
    求的值；
    在点运动的过程中，求出的面积与的函数关系式．
    若的面积为，求此时点的坐标．

23. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
    已知，求的值．他是这样解答的：
    ，，
    ，，
    ．
    请你根据小明的解析过程，解决如下问题：
    ______；
    化简；
    若，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
无理数有，，共个．
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
不能够成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，
能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，
能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确利用勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限根据各象限内点的坐标特征解答．

解：点在第二象限．
故选B．
 

4.【答案】 

【解析】解：、当时不是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、是一次函数，故此选项符合题意；
D、是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：．
根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．
 

5.【答案】 

【解析】解：．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B.的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.的被开方数中的因数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.的被开方数中的因数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

6.【答案】 

【解析】解：、的平方根是，不符合题意；
B、的算术平方根是，不符合题意；
C、的立方根是，不符合题意；
D、的算术平方根是，符合题意．
故选：．
分别根据平方根、立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是平方根、立方根及算术平方根的定义，熟知以上知识是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
得：，
把代入得：，
则方程组的解为，
故选C
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

8.【答案】 

【解析】解：长方形折叠点与点重合，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
的长是，
故选：．
根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故选项A不合题意；
由图象可知、两城市之间的距离为，故选项B不合题意；
设甲车离开城的距离与的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得，解得，
，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故选项C不合题意；
，，
甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时，故选项D符合题意．
故选：．
观察图象可判断、，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断，再令两函数解析式的差为，可求得，可判断，可得出答案．
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数图象可知，；一次函数的图象可知，两函数解析式均成立；
B、由一次函数图象可知，；即，与次函数的图象可知矛盾；
C、由一次函数图象可知，；即，与次函数的图象可知矛盾；
D、由一次函数图象可知，；即，与次函数的图象可知矛盾．
故选：．
根据一次函数的图象与系数的关系，有由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案．
一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象．
 

11.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为根据正比例函数的定义，可得，即可求解．
【解答】
解：由题意得：且，
解得：．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
则，
故答案为：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得与的值，再代入计算即可．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
则原式


，
故答案为：．
由已知等式得出，代入到原式计算可得．
本题主要考查代数式的求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案是：．
先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：，进而可将阴影部分的面积求出．
本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
 

16.【答案】解：原式
；

原式

． 

【解析】直接利用平方差公式计算，进而得出答案；
直接化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

17.【答案】解：，
得：，
把代入得：，
则方程组的解为． 

【解析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
利用加减消元法求出解即可．
 

18.【答案】     

【解析】解：若与关于轴成轴对称，
则三个顶点坐标分别为：，，；
故答案为：，，；
的面积为：


．
依据轴对称的性质，即可得到三个顶点坐标；
依据割补法进行计算，即可得到的面积．
本题考查了轴对称变换，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
；

令，则，
解得．
故月市话通话时间为分钟长时，两种套餐收费一样；

月市话通话时间为分钟长时，两种套餐收费一样，
小明爸爸每月市话通话时间为分钟，选择两种套餐一样合算． 

【解析】因为佛山移动公司手机资费两种套餐：套餐：月租元，市话通话费每分钟元；套餐：月租费元，免费市话通话时间分钟，超出部分每分钟元，两种方式的费用分别为元和元，则，；
令，解方程即可；
根据的结果即可求解．
此题主要考查了一次函数的应用，需仔细分析题意，建立函数解析式，利用方程或简单计算即可解决问题．
 

20.【答案】解：设甲种货车每辆能装货吨，乙种货车每辆能装货吨，
依题意得：，
解得：．
答：甲种货车每辆能装货吨，乙种货车每辆能装货吨．
设租用甲种货车辆，乙种货车辆，
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或，
共有种租车方案，
方案：租用甲种货车辆，乙种货车辆；
方案：租用甲种货车辆，乙种货车辆；
方案：租用甲种货车辆，乙种货车辆． 

【解析】设甲种货车每辆能装货吨，乙种货车每辆能装货吨，根据两次满载的运输情况表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设租用甲种货车辆，乙种货车辆，根据租用的客车一次运载吨物资且每辆均全部装满货物，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

21.【答案】   

【解析】解：根据图形知，大正方形的面积为：，
大正方形的面积可以这样算：，
，
故答案为：；
由正方形的面积公式得，，
由勾股定理得，，
，
故答案为：；
成立，理由如下：
设直角三角形两条直角边分别为，，斜边为．
，，，
，
．
通过整体和部分求和两种方法对该正方形面积求解可得此题结果；
先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得；
先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得．
此题考查了运用勾股定理解决几何问题的能力，关键是能准确理解题意并列式，运用勾股定理进行推理、求解．
 

22.【答案】解：直线与轴交于点，且点的坐标
，
解得，
；
      
过点作于点，
点是第一象限内的直线上的一个动点
．
点的坐标为
；

的面积为，
，
解得，
将代入得，
 

【解析】直接把点的坐标代入直线求出的值即可；
过点作于点，用表示出的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；
把的面积为代入中关系式，求出的值，把的值代入直线即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：；




；
，
，
，即．
，
．
答：的值为．
根据小明的解答过程即可进行计算；
结合进行分母有理化，再合并即可得结果；
根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
本题考查了分母有理化的应用，能求出的值和正确变形是解此题的关键．