北京市海淀区首都师范大学第二附属中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下面四个图形中，是轴对称图形的是（　　）

2．（3分）一个三角形的两边长分别为3和5，则下列数据中，不能作为第三边长的是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．9

3．（3分）如图，已知∠1+∠2+∠3＝240°，那么∠4的度数为（　　）

A．60° B．120° C．130° D．150°

4．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（　　）

A．75° B．95° C．105° D．115°

5．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）

A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm

7．（3分）阅读下面材料：

已知线段a，b．

求作：Rt△ABC，使得斜边BC＝a，一条直角边AC＝b．

作法：

（1）作射线AD、AE，且AE⊥AD．

（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线AE于点C．

（3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线AD于点B．

（4）连接BC．则△ABC就是所求作的三角形．

上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（　　）

A．HL B．SAS C．AAS D．SSA

8．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

9．（3分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（　　）

A．36° B．30° C．45° D．40°

10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　）

A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④

二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝60度，则△ABC的周长为　   　．

12．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，则∠B＝　   　°．

13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD＝　   　．

14．（3分）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝　   　°．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 　   　．

16．（3分）如图，在等腰△ABC中，底边BC的长为5cm，面积是20cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 　   　cm．

17．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是　   　．

18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，再以点B为圆心，BC长为半径作呱，交直线MN于点E，则∠BEC的度数为 　   　．

三、解答题（本大题共8个小题，19-23每题5分，24-26题每题7分，共46分）

19．（5分）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．

20．（5分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．

21．（5分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，AB＝5，AE＝2，求ED长度．

22．（5分）如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．

23．（5分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）．

（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）直接写出点C1的坐标；

（3）若P（a，a﹣1）是△ABC内部一点，点P关于y轴对称点为P'，且PP′＝6，求点P'的坐标．

24．（7分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．

（1）求证：△DBN≌△DCM；

（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．

25．（7分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．

小明同学经过认真思考后认为，可以通过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．

（2）【类比探究】

老师引导同学继续研究：

①等边△ABC边长为2，如图2当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．求DE的长并证明．

②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，请在图3中补全图形，并证明DE长度保持不变．

26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，作直线l垂直x轴于点P（a，0），已知点A（1，1），点B（1，5），以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限△ABC关于直线l对称的图形是△A'B'C'．给出如下定义：如果点M在△A'B'C'的内部或边上，那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”．

（1）当a＝0时，在点D（﹣，3），E（﹣2，2），F（﹣3，4）中，△ABC关于直线l的“称心点”是 　   　；

（2）当△ABC的边上只有1个点是△ABC关于直线l的“称心点”时，直接写出a的值；

（3）点H是△ABC关于直线l的“称心点”，且总有△HBC的面积大于△ABC的面积，求a的取值范围．