北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性复习练习题

第7讲 函数的奇偶性 期末大总结

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第一部分：必会知识结构导图

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：函数奇偶性的定义与判断

必会题型二：利用奇偶性求值及范围

必会题型三：由奇偶性求函数解析式

必会题型四：抽象函数的奇偶性

必会题型五：奇偶性与单调性综合

第一部分：知识结构导图速看

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

1．函数的奇偶性

(1)奇函数：图像关于原点对称的函数叫奇函数，

f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x) [或f(－x)＋f(x)＝0]；

(2)偶函数：图像关于y轴对称的函数叫偶函数，

f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x) [或f(－x)－(x)＝0]．

2．函数对称性

(1)若函数y＝f(x)对x∈R满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)则函数关于直线x＝a对称；

注意：若对x∈R满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数关于直线x＝对称

[注x＝＝]．

(2)若函数y＝f(x)对x∈R满足f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)则函数关于点(a，0)对称；

注意：若对x∈R满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数关于点(，0)对称

[注x＝＝]．

3．奇偶性的判断方法

(1)定义法：函数的定义域关于原点对称的情况下满足f(－x)＝±f(x)或f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)之一函数有奇偶性．

(2)图像法：函数图象关于原点(y轴)⇔函数为奇(偶)函数

(3)分析法：定义域关于原点对称时，

奇×偶＝奇；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；

(4)复合函数F(x)＝f[g(x)]的奇偶性(有偶则偶，无偶为奇)：

①若g(x)为偶函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数；

②若g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则F(x)为奇函数；

③若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数；

④若g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数．

[名师点睛]分段函数的奇偶性可根据定义分区间讨论也可根据函数图象的对称性加以判断．

4．函数奇偶性的特性

(1)定义域含零的奇函数，必过原点[即f(0)＝0]；

(2)若f(x)是偶函数，f(x)＝f(－x)＝f(|x|)；

(3)奇函数在y轴两侧相对称的区间单调性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间单调性相反；

(4)在原点对称的区间内，奇函数的最大值M与最小值N之和为零．

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：函数奇偶性的定义与判断

1．(2022·北京·北二外附属中学高一期中)下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的单调性、奇偶性确定正确答案．

【解析】的定义域是，是非奇非偶函数，A选项错误．

是偶函数，且在上单调递增，B选项正确．

是偶函数，在上单调递减，C选项错误．

是偶函数，在上单调递减，C选项错误．

故选：B

2．(2022·广东·福田外国语高中高一期中)下列函数是偶函数且在上单调递增的函数是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析选项的奇偶性和在上的单调性即可．

【解析】对于A，为偶函数，又当时，

在递减，故A错误；

对于B，的定义域为R，

，则为奇函数，故B错误；

对于C，为偶函数，且时，

为增函数，故C正确；

对于D，的定义域为，其为偶函数．

当时，为减函数，故D错误．

故选：C．

3．(2022·浙江·镇海中学高一期中)下列判断正确的是(    )

A．函数既是奇函数又是偶函数 B．函数是非奇非偶函数

C．函数是偶函数 D．函数是奇函数

【答案】D

【分析】根据奇偶性的定义和性质，逐项判断即可．

【解析】对于A，，所以，故函数是偶函数，不是奇函数，故A错误；

对于B，函数的定义域为，

所以，则为奇函数，故B错误；

对于C，函数定义域满足，定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶，故C错误；

对于D，函数的定义域为，

所以，则函数是奇函数，故D正确．

故选：D．

4．已知函数.

(1)若函数，判断的奇偶性并加以证明；

(2)当时，先用定义法证明函数在上单调递增；

(3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围

[答案](1)为奇函数，证明见解析；(2)证明见解析；(3)

[分析](1)由奇偶函数定义即可证明；

(2)任取且，结合因式分解证即可；

(3)参变分离得，结合对勾函数求最小值即可求

[详解](1)因为，

定义域为关于原点对称，

且，所以为奇函数.

(2)当时，，

任取且

有.

因为，

所以，即，

所以函数在上单调递增.

(3)，则，

根据对勾函数性质，在单调递增，故当，故对任意，都有恒成立时，.

必会题型二：利用奇偶性求值及范围

1．定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则的解集为(    )

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】由条件结合偶函数的性质求，判断函数在区间上的单调性，通过分类讨论，结合函数的性质解不等式求其解集．

【解析】因为函数是偶函数，在上单调递减，且，

所以，且在区间上单调递增，

当或时，，当时，，

又当，可化为，所以，

当时，不等式可化为，所以，

所以不等式的解集为或．

故选：D．

2．(2022·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习)已知函数是定义在上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据奇函数的性质，求出的值，再结合解析式，判断出单调性，然后利用奇偶性以及单调性即可求解．

【解析】因为是定义在上的奇函数，则必有，代入中，得．

又因为当时，均为减函数，则为上的减函数，由奇函数对称性可知，当时，也是减函数，则在上为减函数．由可得，，即，因为

在上为减函数，则有，解得，即．

故选：D

3．(2022·江苏·常州田家炳高中高一期中)已知是定义在上的偶函数，则__________．

【答案】0

【分析】根据偶函数的定义域对称，，即可列方程求解的值，即可求的值．

【解析】已知是定义在上的偶函数，所以

且，所以，则，结合，解得，所以．

故答案为：0．

4．(2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中)已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并证明．

【答案】(1)

(2)在上为增函数，证明见解析

【分析】(1)根据奇函数的性质，结合代入法进行求解即可；

(2)根据单调性的定义进行判断证明即可．

【解析】(1)根据题意，是奇函数，则有，

则有，解可得b＝0；∴．

∵，∴，解可得a＝2，∴；

(2)在上为增函数；证明如下：设，

则，

∵，则有，，，，

则有，即．∴在上为增函数．

必会题型三：由奇偶性求函数解析式

1．(2022·甘肃·玉门油田第一中学高一期中)已知定义在上的奇函数，当时，，那么当时，的解析式为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，则，由条件可求出的解析式，再利用奇函数的性质可求出的解析式

【解析】当时，，则，

又因为是定义在上的奇函数，

所以．

故选：A

2．(2020·河南·鹤壁市鹤山区高级中学高一阶段练习)若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则(    )

A．11 B．6 C．10 D．12

【答案】A

【分析】利用函数的奇偶性得到关于函数和的另一个式子，将所得式子和已知式子相加可得函数的解析式，从而可得的值．

【解析】因为，所以，

因为是R上的偶函数，是R上的奇函数，

所以，，

所以可得．

所以，即，所以，

故选：A．

3．(2022·黑龙江·虎林市高级中学高一期中)已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为_________．

【答案】

【分析】根据定义域的对称性，求得，再结合函数的奇偶性和题设条件，得到，即可求解．

【解析】由题意，定义在上的奇函数，

可得，解得，

又由当时，，

所以,

故答案为：．

4．(2022·上海·复旦附中高一期中)函数是定义在R上的奇函数，且，，则__________．

【答案】

【分析】根据奇函数的定义，求解函数的解析式．

【解析】∵函数是定义在R上的奇函数，    ∴

，则

又，    

∴，将0代入可得，0也满足该式，

∴，．

故答案为：．

必会题型四：抽象函数的奇偶性

1．[多选](2022·江苏省响水中学高一期中)定义在上的函数满足，当时，，则函数满足(    )

A． B．是奇函数

C．在上有最大值 D．的解集为

【答案】AB

【分析】由抽象函数满足，令可得，利用奇偶性，单调性的定义可推导函数的奇偶性和单调性，可求函数在区间上的最大值，利用单调性解不等式可得解集．

【解析】因为定义在R上的函数满足，

令，得，即 ，A正确，

令，得，即，函数为奇函数，B正确，

设，则，，

由题，，即，

所以，函数在R上单调递减，所以C错误，

不等式可化为，由在R上单调递减，所以，即，不等式解集为，D错误．

故选：AB．

2．(2022·海南·海口中学高一期中)已知函数的定义域为，且满足：，，，则(    )

A． B．

C．为偶函数 D．为奇函数

【答案】C

【分析】利用赋值法令，求得，判断A; 令，可求得，继而求出，判断B; 令,可推得，判断C；举特例说明，可判断D．

【解析】令，则，即有，

则，A错误；

令，则，

令，则，即，

则，B错误；

令，则，即，

故，为偶函数,C正确；

令，则，即，

由于，故不是奇函数，D错误，

故选：C．

3．[多选](2022·浙江台州·模拟预测)已知定义在上的函数，满足：，，，则(    )

A．函数一定为非奇非偶函数

B．函数可能为奇函数又是偶函数

C．当时，，则在上单调递增

D．当时，，则在上单调递减

【答案】BC

【分析】对于AB：令，结合奇偶性的定义即可求解；对于CD：利用单调性的定义结合已知条件求解即可

【解析】对于AB：令，则，

所以或，

当时，

令，则 ，

则，

所以此时既是奇函数又是偶函数；

故A错误，B正确；

对于C：当时，，则，

又，

所以，则，

设，则，则，

所以，

由于，

取，得，

所以，

则当时，，则，

所以，

则在上单调递增，故C正确；

对于D： 设，则，则，

所以，

则在上单调递增，故D错误；

故选：BC

4．(2022·辽宁·凤城市第一中学高一期中)定义在上的函数满足：，，，且当时，．

(1)判断函数的奇偶性并证明；

(2)判断函数的单调性并证明；

(3)若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)函数在上是减函数，证明见解析

(3)

【分析】(1)根据所给关系式令，即可求出，再，即可得到与的关系，即可判断；

(2)利用定义法证明，根据所给关系式及奇偶性得到，再结合时，即可证明；

(3)根据函数的单调性与奇偶性得到，参变分离可得，令，，求出，再令，求出，即可求出参数的取值范围．

【解析】(1)解：为奇函数，

证明：因为的定义域为，且对，，，

令，则，则；

令，则；即，

所以函数是奇函数．

(2)解：在上是减函数，

证明：设且，由已知及(1)有，

则．

当时，，所以当时，有，

所以，即，所以函数在上是减函数．

(3)解：由，则，

由于函数为奇函数，则，

由于函数在上为减函数，则，则，

令，，

由已知，有在区间上单调递增，则，

令，，显然在区间上单调递增，则，

故，解得，即．

必会题型五：奇偶性与单调性综合

1．[多选](2021·浙江·高一期中)已知函数，则下列描述一定正确的是(    )

A．为奇函数 

B．为偶函数

C．在R上是增函数 

D．的解集为

【答案】ACD

【分析】利用函数奇偶性的定义判断出为奇函数，A正确，B错误；

求出在上单调递增，结合函数奇偶性得到在R上是增函数，C正确；

根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到D正确．

【解析】定义域为R，且，

故为奇函数，A正确，B错误；

当时，开口向上，对称轴为，

在上单调递增，

根据为奇函数，得到在R上是增函数，C正确；

因为为奇函数，故变形为，

又在R上是增函数，所以，

解得：，D正确．．

故选：ACD

2．已知定义在的函数是奇函数，且对任意两个不相等的实数，都有．则满足的的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数为奇函数得到，确定函数的定义域和单调性，将不等式转化为，根据函数的单调性结合定义域得到答案．

【解析】时，，

是奇函数，故，

函数关于点中心对称，取得到得到．

，故，

故函数在上单调递减，根据中心对称知函数在上单调递减．

，即，

故，故，解得；

考虑定义域：，解得．

综上所述：

故选：B

3．(2022·山东泰安·高三期中)函数的部分图象大致为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性与特殊的函数值对选项逐一判断，

【解析】由题意得，则是偶函数，故B，C错误，

，故D错误，

故选：A

4．定义在上的奇函数满足，且函数在上单调递减，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】由为奇函数，然后说明为奇函数，又在上单调递减，由奇函数性质可知在整个实数上单调递减，构造不等式，利用单调性解之即可．

【解析】因为为上的奇函数，

所以，

由，则

，

所以也为奇函数，

又函数在上单调递减，

由对称性可知，在上递减，

又因为，

所以

所以，

即，

所以，

故答案为：．

5．(2022·北京市第十七中学高一期中)已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)确定函数的解析式；

(2)用定义证明在上是增函数；

(3)解不等式

【答案】(1)(2)证明见解析(3)

【分析】(1)先由函数的奇偶性得到，然后由求解；

(2)利用函数单调性定义证明；

(3)将，转化为，利用单调性求解．

【解析】(1)由题意可得，解得

所以，经检验满足奇函数．

(2)证明：设，

则，

，

，且，则，

则，即，

所以函数是增函数．

(3)，

，

是定义在上的增函数，

，得，

所以不等式的解集为．

6．(2022·河北·石家庄二中高一阶段练习)已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求m，n的值；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)，；

(2)单调递增，证明见解析；

(3)．

【分析】(1)利用与求出m，n的值；

(2)利用定义法证明函数的单调性；

(3)转化为，结合第二问求出，分，与三种情况，结合函数的单调性，求出，列出不等式，求出实数k的取值范围．

【解析】(1)函数是定义在上的奇函数，

所以，解得：，

故，

又，故，解得：，

(2)在上的单调递增，理由如下：

由(1)得：，

任选，且，

故

，

因为，且，

所以，

故，

故，所以，

故单调递增；

(3)因为对任意的，总存在，使得成立，所以，

因为在上单调递增，所以，

当时，，所以恒成立，符合题意；

当时，在上单调递增，故，

所以，解得：，与取交集得：；

当时，在上单调递减，故，

所以，解得：，与取交集得：，

综上：实数k的取值范围是．