高中数学解析几何总结(非常全)

高中数学解析几何

第一部分:直线

一、直线的倾斜角与斜率

1. 倾斜角α

(1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。

(2)范围：

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

（1）.倾斜角为的直线没有斜率。

（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过和两点的直线的斜率为，

  则当时，；当时，；斜率不存在；

二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0)

注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为；

2.斜截式：若已知直线在轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为，斜率为，则直线方程：；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过和两点，且（则直线的方程：；

注意：①不能表示与轴和轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在轴，轴上的截距分别是，（）则直线方程：；

注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

      2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a

5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：；（不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数是否为0才能确定。

②指出此时直线的方向向量：，，         （单位向量）；直线的法向量：；（与直线垂直的向量）

三、两条直线的位置关系

设两直线的方程分别为：或；当或时它们相交，交点坐标为方程组或解；

注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：

对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如

②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。

③对于来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。

四、两直线的交角

（1）到的角：把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角；它是有向角，其范围是；

注意：①到的角与到的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线与的夹角：是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是；

（3）设两直线方程分别为： 或

①若为到的角，或；

②若为和的夹角，则或；

③当或时，；

注意：①上述与有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。

②直线到的角与和的夹角：或；

五、点到直线的距离公式：

1.点到直线的距离为：；

2.两平行线，的距离为：；

六、直线系：

（1）设直线，，经过的交点的直线方程为（除去）；

如：①，即也就是过与的交点除去 的直线方程。

②直线恒过一个定点               。

注意：推广到过曲线与的交点的方程为：；

（2）与平行的直线为；

（3）与垂直的直线为；

七、对称问题：

（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于的对称点

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程；

Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线关于点对称的直线的方程。

（2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点关于直线对称的坐标。

②直线关于直线对称：（设关于对称）

Ⅰ、若相交，则到的角等于到的角；若，则，且与的距离相等。

Ⅱ、求出上两个点关于的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设为所求直线直线上的任意一点，则关于的对称点的坐标适合的方程。

如：求直线关于对称的直线的方程。

八、简单的线性规划：

（1）设点和直线，

①若点在直线上，则；②若点在直线的上方，则；

③若点在直线的下方，则；

（2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式，

①当时，则表示直线上方的区域；

表示直线下方的区域；

②当时，则表示直线下方的区域；

表示直线上方的区域；

注意：通常情况下将原点代入直线中，根据或来表示二元一次不等式表示平面区域。

（3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：①当时，将直线向上平移，则的值越来越大；

直线向下平移，则的值越来越小；

②当时，将直线向上平移，则的值越来越小；

直线向下平移，则的值越来越大；

如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数取得最小值的最优解有无数个，则为         ；

第二部分：圆与方程

2.1圆的标准方程：圆心，半径

特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.

2.2点与圆的位置关系：

 1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 d＞r；(3)点在圆内 d＜r．

 2.给定点及圆.

①在圆内    ②在圆上

③在圆外

2.3 圆的一般方程： .

当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.

当时，方程表示一个点.

当时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程表示圆的充要条件是：且且.

圆的直径系方程：已知AB是圆的直径

2.4 直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，(

(1)；(2)；（3）。

2.5 两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；

    外离          外切         相交      内切       内含

2.6 圆的切线方程：

1. 直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）
2. 圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：.

一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2.

 特别地，过圆上一点的切线方程为.

若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.

2.7圆的弦长问题：1.半弦、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：

2.弦长公式（设而不求）：

第三部分:椭圆

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

（时为线段，无轨迹）。

2．标准方程： 

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）

②焦点在y轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（0,  ±c）   

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②一般形式表示：或者    

二．椭圆的简单几何性质：

  1.范围

  （1）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

  （2）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

   2.对称性

       椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

     3.顶点

  （1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）

  （2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

  4．离心率

  （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，
记作e（），     

e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（）

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：

②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：

小结一：基本元素

（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），  特征三角形

（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）

（3）基本线：对称轴（共两条线）

5．椭圆的的内外部

（1）点在椭圆的内部.

（2）点在椭圆的外部.

6.几何性质

（1） 焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：

（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）

（3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：其中

7直线与椭圆的位置关系：

(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：

联立消y得：

联立消x得：

(2)弦中点问题:斜率为k的直线l与椭圆交于两点是AB的中点，则：

(3)弦长公式：

第四部分：双曲线

补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长；

（2）其标准方程为其中C≠0；

（3）离心率；

（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；

（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；

（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；

7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数

第五部分：抛物线知识点总结

1. 直线与抛物线的位置关系

直线，抛物线，，消y得：
（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，

      Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；

      Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；

      Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线：   抛物线，

①　联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

1. 相交弦AB的弦长

或 

b. 中点, ，

②　点差法：

设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

将两式相减，可得

1. 在涉及斜率问题时，
2. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，

   即，

同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）