两年202-2022全国高考数学（理科甲、乙卷）真题按题型分类汇编-填空题（含解析）

两年202-2022全国高考数学（理科甲、乙卷）真题按题型分类汇编-填空题（含解析）

一、填空题

1．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．

2．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．

3．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

4．（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．

5．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．

6．（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．

7．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．

8．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．

9．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为__________．

10．（2021·全国·统考高考真题）已知向量．若，则________．

11．（2021·全国·统考高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

12．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

13．（2021·全国·统考高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

14．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，若，则__________．

15．（2021·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

16．（2021·全国·统考高考真题）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

参考答案：

1．

【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．

【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，

又，，所以，

所以．

故答案为：．

2．

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．

【详解】解：双曲线的渐近线为，即，

不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，

依题意圆心到渐近线的距离，

解得或（舍去）．

故答案为：．

3．.

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．

【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．

故答案为：．

4．##

【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.

【详解】[方法一]：余弦定理

设，

则在中，，

在中，，

所以

，

当且仅当即时，等号成立，

所以当取最小值时，.

故答案为：.

[方法二]：建系法

令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.

则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）

[方法三]：余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

，，

，，

令，则，

，

，

当且仅当，即时等号成立.

[方法四]：判别式法

设，则

在中，，

在中，，

所以，记，

则

由方程有解得：

即，解得：

所以，此时

所以当取最小值时，，即.

5．##0.3

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，

有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.

故答案为：.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为

甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率

故答案为：

6．或或或．

【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；

【详解】[方法一]：圆的一般方程

依题意设圆的方程为，

（1）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（2）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（3）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；

故答案为：或 或 或．

[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）

设

（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，

则，所以圆的方程为；

（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；

（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；

（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．

故答案为：或 或 或．

【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；

方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．

7．

【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；

【详解】解： 因为，（，）

所以最小正周期，因为，

又，所以，即，

又为的零点，所以，解得，

因为，所以当时；

故答案为：

8．

【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为，所以方程的两个根为，

即方程的两个根为，

即函数与函数的图象有两个不同的交点，

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

所以当时，，即图象在上方

当时，，即图象在下方

，图象显然不符合题意，所以．

令，则，

设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，

则切线的斜率为，故切线方程为，

则有，解得，则切线的斜率为，

因为函数与函数的图象有两个不同的交点，

所以，解得，又，所以，

综上所述，的取值范围为．

[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导

=0的两个根为

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

设函数，则，

若，则在上单调递增，此时若，则在

上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数

且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；

若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.

【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．

9．

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

【详解】由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．

10．.

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值

【详解】,

，解得,

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.

11．

【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.

【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，

且，所以四边形为矩形，

设，则，

所以，

，即四边形面积等于.

故答案为：.

12．2

【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.

【详解】由图可知，即，所以；

由五点法可得，即；

所以.

因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，

可得的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.

故答案为：2.

【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.

13．4

【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.

【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.

故答案为：4.

【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.

14．

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．

【详解】因为，所以由可得，

，解得．

故答案为：．

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，

，注意与平面向量平行的坐标表示区分．

15．

【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，，

所以，

所以，解得（负值舍去）.

故答案为：.

16．③④（答案不唯一）

【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体中，，

分别为棱的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥.

故答案为：③④.

【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.