五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编31-不等式经典例题选讲（含解析）

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编31-不等式经典例题选讲（含解析）

一、单选题

1．（2022·全国·统考高考真题）已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·浙江·统考高考真题）已知，若对任意，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.

三、解答题

4．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c都是正数，且，证明：

(1)；

(2)；

5．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2)若，则．

6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

7．（2021·全国·高考真题）已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

8．（2020·全国·统考高考真题）已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

9．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求a的取值范围.

10．（2020·山东·统考高考真题）已知函数.

（1）求的值；

（2）求，求实数的取值范围.

11．（2020·江苏·统考高考真题）设，解不等式．

12．（2019·全国·高考真题）已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围.

13．（2019·全国·高考真题）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

14．（2019·全国·统考高考真题）设，且.

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：或.

15．（2018·全国·高考真题）设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围.

16．（2018·全国·高考真题）已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

17．（2018·全国·高考真题）

设函数．

（1）画出的图像；

（2）当，，求的最小值．

参考答案：

1．B

【分析】方法一：求出集合后可求.

【详解】[方法一]：直接法

因为，故，故选：B.

[方法二]：【最优解】代入排除法

代入集合，可得，不满足，排除A、D；

代入集合，可得，不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．

2．D

【分析】将问题转换为，再结合画图求解．

【详解】由题意有：对任意的，有恒成立．

设，，

即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示：

由图可知，，，或，，

故选：D．

3．

【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.

【详解】由题意，设，

则，即，

又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，

所以在方向上的投影，

即,

所以，

当且仅当即时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.

4．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；

（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．

【详解】（1）证明：因为，，，则，，，

所以，

即，所以，当且仅当，即时取等号．

（2）证明：因为，，，

所以，，，

所以，，

当且仅当时取等号．

5．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；

（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.

【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有，

所以，当且仅当时，取等号，所以.

[方法二]：基本不等式

由，，， ，

当且仅当时，取等号，所以.

（2）证明：因为，，，，由（1）得，

即，所以，

由权方和不等式知，

当且仅当，即，时取等号，

所以.

【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；

方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．

6．（1）.（2）.

【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.

【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法

当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

[方法二]【最优解】：零点分段求解法

  当时，．

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得．

综上，的解集为．

（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值

依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，

,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.

[方法三]：分类讨论+分段函数法

 当时，

则，此时，无解．

当时，

则，此时，由得，．

综上，a的取值范围为．

[方法四]：函数图象法解不等式   

由方法一求得后，构造两个函数和，

即和，

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，

由图易知，则．

【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．

方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，

方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；

（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；

方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法

方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；

方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.

7．（1）图像见解析；（2）

【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.

【详解】（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.

8．（1）详解解析；（2）.

【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；

（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．

【详解】（1）因为，作出图象，如图所示：

（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．

所以不等式的解集为．

【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．

9．（1）或；（2）.

【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.

【详解】（1）当时，.

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或.

（2）（当且仅当时取等号），

，解得：或，

的取值范围为.

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.

10．（1）；（2）.

【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；

（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.

【详解】解：（1）因为，

所以，因为，

所以.

（2）因为，

则，

因为，所以，

即，解得.

11．

【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果

【详解】或或

或或

所以解集为：

【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.

12．（1）；（2）

【分析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；

（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.

【详解】（1）当时，原不等式可化为；

当时，原不等式可化为，即，显然成立，

此时解集为；

当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；

当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；

综上，原不等式的解集为；

（2）当时，因为，所以由可得，

即，显然恒成立；所以满足题意；

当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；

综上，的取值范围是.

【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.

13．（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.

【详解】（1）    

当且仅当时取等号

，即：

（2），当且仅当时取等号

又，，（当且仅当时等号同时成立）

又    

【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.

14．(1) ；(2)见详解.

【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.

(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.

【详解】(1) [方法一]【利用函数的凹凸性和琴生不等式求最值】

构造函数，因为是上凹函数，利用琴生不等式有，

所以，变形即得，

当且仅当时，等号成立，即时，等号成立．

[方法二]【建立空间直角坐标系，利用空间向量的几何意义求最值】

如图，建立空间直角坐标系，并设．由知，动点在平面上，又的几何意义表示动点与空间点的距离的平方，且平面的一个法向量为．所以当平面时，取得最小值，其最小值为．

[方法三]【利用基本不等式求最值】

，且．令，则．所以．

当时，取得最小值为，此时．

[方法四]【最优解，利用基本不等式结合二次函数的性质求最值】

设．

因为，

所以．

设，则，此二次函数的对称轴为，故当时，，即当时，取得最小值．

(2)因为，

所以.

根据柯西不等式等号成立条件，当，

即时有：

成立.

所以成立，所以有或.

【整体点评】(1)方法一：琴生不等式和函数的凹凸性体现了整体性的思想的应用；

方法二：利用空间向量的方法体现了数形结合的方法；

方法三：基本不等式求最值要求变形的技巧较高；

方法四：基本不等式+二次函数的方法求最值是常见的求最值的方法.

15．(1)；(2) .

【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．

详解：（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

16．（1）；（2）．

【分析】（1）方法一：将代入函数解析式，求得，利用零点分段法将解析式化为，分类讨论即可求得不等式的解集；

（2）方法一：根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.

【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法

当时，，即，所以不等式等价于或或，解得：．

故不等式的解集为．

［方法二］：【最优解】数形结合法

如图，当时，不等式即为．

由绝对值的几何意义可知，表示x轴上的点到对应的点的距离减去到1对应点的距离．结合数轴可知，当时，，当时，．故不等式的解集为．

（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论

当时，成立等价于当时，成立．

若，则当时，；

若，由得，，解得：，所以，故．

综上，的取值范围为．

［方法二］：平方法

当时，不等式成立，等价于时，成立，即成立，整理得．

当时，不等式不成立；

当时，，不等式解集为空集；

当时，原不等式等价于，解得．

由，解得．故a的取值范围为．

［方法三］：【最优解】分离参数法

当时，不等式成立，等价于时，成立，

即，解得：，而，所以．故a的取值范围为．

【整体点评】（1）方法一：利用零点分段法是解决含有两个以及以上绝对值不等式的常用解法，是通性通法；

方法二：利用绝对值的几何意义解决特殊类型的绝对值不等式，直观简洁，是该题的最优解．

（2）方法一：分类讨论解出绝对值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通法；

方法二：本题将绝对值不等式平方，转化为解含参的不等式，利用是不等式解集的子集求出，虽可解出，但是增加了题目的难度；

方法三：利用分离参数，将不等式问题转化为恒成立最值问题，思想简单常见，是该题的最优解．

17．（1）见解析

（2）

【详解】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．

（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值

详解：（1） 的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．

点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．