重庆市璧山中学校2022届九年级上学期半期测试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市璧山中学校2022届九年级上学期半期测试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：抛物线的顶点坐标公式为
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个解为2，则m的值为（ ）
A. 1B. －1C. 2D. －2
3. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. y=3（x+1）2+2B. y=3（x+1）2﹣2
C. y=3（x﹣1）2+2D. y=3（x﹣1）2﹣2
4. 如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A. 10cmB. 16 cmC. 24 cmD. 26cm
5. 我们古代数学家研究过一元二次方程．下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．”意思是一块田是矩形，矩形面积为864，长比宽多12m，如果设宽为xm，则列出的方程为（ ）
A. x（x+12）=864B. x（x+6）=864
C. x（x-12）=864D. x（x-6）=864
6. 在平面直角坐标系中，把点P(5，4)绕原点顺时针旋转90°得到点，则点坐标是（ ）
A. (4，-5)B. (-4，5)C. (4，5)D. (-4，-5)
7. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦，，则等于（ ）.
A. B. C. D.
8. 如图，圆锥的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆锥的高为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 15
9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B，C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB'，则∠BB′C′的度数是（ ）
A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°
10. 使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A. 35B. 30C. 26D. 21
11. 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4
12. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P为AB边上一动点，点B关于P的对称点为E，连接DE，DE的中点为点F，则AF的最小值为（ ）
A. B. C. 3D.
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 若点A（m，－2），B（1，n）关于原点对称，则m+n=____
14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
15. 设A（－2，），B（1，），C（2，）是抛物线上的三点，则，，的大小关系_______（用<符号连接）
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为_____．
17. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△B，C恰好落在AC边的中点处，连接A，取A的中点D，则D的长为_____．
18. 在城镇化建设中，璧山大力发展公园建设，吸引了来自重庆各区县的高度关注，“璧山欢迎您”成为网络高频词条，其中露营基地，古道湾公园和儿童公园成为网红打卡地．2021年某区老年协会分中秋节、国庆节两批人员前往露营基地、古道湾公园、儿童公园游玩，其中中秋节期间安排露营基地、古道湾公园、儿童公园人数之比为4：3：5；国庆节期间安排余下人员的去儿童公园，则去儿童公园人数将达到去这三个公园总人数的．为使去露营基地总人数与古道湾公园总人数之比达到3：4，则老年协会国庆期间安排去古道湾公园人数与该老年协会总人数之比是_____．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 解方程
（1）
（2）
20. 如图，在建立平面直角坐标系的网格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（-1，0）．
（1）把△ABC绕点P旋转180°得到△A’B’C’，作出△A’B’C’；
（2）把△ABC向右平移7个单位长度得到△A″B″C″，作出△A″B″C″；
（3）△A’B’C’与△A″B″C″是否成中心对称？若是，则找出对称中心P’，并写出其坐标；若不是，请说明理由．
21. 如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
22. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
23. 在学习未知函数的时候，我们需要根据函数图象研究其性质．璧山中学某班数学学习兴趣小组开展了对函数的研究．
列表如下，按要求回答以下四个问题：
（1）请求出m=_______，n=________；
（2）根据列表画出函数图象；
（3）说出该函数的性质；
（4）根据图象，直接写出求方程的根．
24. 2021年11月，重庆市相继发现一种新型冠状病毒感染者，璧山区委积极部署防疫工作．璧山区璧泉街道某小区物管为预防业主感染传播购买A型和B型两种3M口罩，购买A型3M口罩花费了2500元，购买B型3M口罩花费了2000元，且购买A型3M口罩数量是购买B型3M口罩数量的2倍，已知购买一个B型3M口比购买一个A型3M口罩多花3元．
（1）求该物业购买A、B两种3M口罩的单价为多少元?
（2）由于实际需要，该物业决定再次购买这两种3M口罩，恰逢市场对这两种3M口罩的单价进行调整，A型3M口罩单价比第一次购买时提高了a%（a<100），A型3M口罩数量比第一次多购进2a%，B型3M口罩的单价比第一次购买时提高了a%，B型3M口罩数量比第一次少购进3a%，如果此次购买A型和B型两种3M口罩的总费用为6000元，求a的值．
25. 如图，抛物线的图象与x轴交于点A点和B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，连接BC．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的一动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点P和Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．
26. 如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．
（1）发现问题：线段EF，CF之间数量关系为_____；∠EFC的度数为_____；
（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．
答案
1-12 BCCCA ACBAB BC
13. -1
14. 15
15.
16.
17.
18. 3：20
19. 【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
20. 解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，A''B''C''即为所求；
（3）如图，P'（2.5，0）．
21. （1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA=90°，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
即OD⊥CE，
∴直线CD是⊙O的切线，
即直线CD和⊙O的位置关系是相切；
（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，
∴OC=2+3=5，OD=3，
在Rt△CDO中，
由勾股定理得：CD=4，
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE=EB，∠CBE=90°，
设DE=EB=x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，
则（4+x）2=x2+（5+3）2，
解得：x=6，
即BE=6．
22. （1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．
∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5．
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7．
23. （1）-3，3
（2）解：如图所示：
（3）解：由（2）中函数图像可知，该函数图像：
①关于原点对称；
②再x=1时取得最大值3，在x=-1时取得最小值-3；
③当-11时，y随x的增大而减小；
（4）解：如图：将y=3x的图像画出，
∵，
∴由图可知：当x=1或x=-1时，函数图像相交，
∴原方程的根为：，．
24. 【小问1详解】
解：设该物业购买A种3M口罩的单价为y元，则B种3M口罩的单价为（y＋3）元，
由题意得，，
解得，y＝5，
经检验y＝5是原方程解，
则y＋3＝8，
答：该物业购买A种3M口罩的单价为5元，B种3M口罩的单价为8元．
【小问2详解】
解：第一次购买A型3M口罩（个），
第一次购买B型3M口罩（个），
第二次A型3M口罩单价为元，A型3M口罩数量为个，第二次B型3M口罩的单价为元，B型3M口罩数量为个，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：a的值为50．
25. 【小问1详解】
将点B(3，0)、C(0，3)代入抛物线中，
得，
得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
由题意可设点M的坐标为，设直线BC的解析式为，
把点(3，0)代入，中，
得：0=3k+3，解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
∵MNy轴，
∴点N的坐标为，
∴.
∴当时，；
【小问3详解】
由（2）可得：当m=时，点N的坐标为，
∵点P和Q在抛物线的对称轴上，
∴可设点P坐标为(2，n)，点Q坐标为(2，t)，
当P点在Q点上方时，
∵四边形MNPQ为菱形，
∴MN=PQ=PN=QM，
∴PN=，PQ=，
解得：或 ，
∴或，
∴Q点坐标为或，
同理当Q点在P点上方时，可求得或 ，
∴Q点坐标为或，
综上所述，在抛物线的对称轴上存在点P和Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为或或或
26. （1）EF＝CF，120°；
（2）结论成立．
理由：如图2中，取AB中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．
∵BM＝MA，BF＝FD，
∴MF∥AD，MF＝AD，
∵AN＝ND，
∴MF＝AN，MF∥AN，
∴四边形MFNA是平行四边形，
∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，
在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，
∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，
在△AEN和△ACM中，
∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，
∵∠MAC＝∠EAN，
∴∠AMC＝∠ANE，
又∵∠FMA＝∠ANF，
∴∠ENF＝∠FMC，
在△MFC和△NEF中，，
∴△MFC≌△NEF（SAS），
∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，
∵NF∥AB，
∴∠NFD＝∠ABD，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°
∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．
（3）如图3中，作EH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝6，
在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，
∴DE＝AD＝1，
在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，
∴EH＝ED•sin60°＝，
DH＝ED•cs60°＝，
在Rt△EHG中，EG＝＝．
x
……
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
……
y
……
m
0
n