2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷

这是一份2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2022•全国）设集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2∈A}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{1，2} C．{1，4} D．∅
2．（5分）（2022•全国）已知z＝，则z+＝（　　）
A． B．1 C． D．3
3．（5分）（2022•全国）已知向量＝（x+2，1+x），＝（x﹣2，1﹣x）．若∥，则（　　）
A．x2＝2 B．|x|＝2 C．x2＝3 D．|x|＝3
4．（5分）（2022•全国）不等式﹣﹣3＜0的解集是（　　）
A．（﹣1，0）∪（0，） B．（﹣3，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
5．（5分）（2022•全国）以（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线的方程是（　　）
A．y2＝x﹣ B．y2＝x+ C．y2＝2x﹣1 D．y2＝2x+1
6．（5分）（2022•全国）底面积为2π，侧面积为6π的圆锥的体积是（　　）
A．8π B． C．2π D．
7．（5分）（2022•全国）设x1和x2是函数f（x）＝x3+2ax2+x+1的两个极值点．若x2﹣x1＝2，则a2＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（5分）（2022•全国）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）＝f（﹣）＝，则φ＝（　　）
A．2kπ+（k∈Z） B．2kπ+（k∈Z）
C．2kπ﹣（k∈Z） D．2kπ﹣（k∈Z）
9．（5分）（2022•全国）函数y＝（x＞0）的反函数是（　　）
A．y＝（x＞1） B．y＝log2（x＞1）
C．y＝（0＜x＜1） D．y＝log2（0＜x＜1）
10．（5分）（2022•全国）设等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为Sn．令bn＝Sn+2，若{bn}也是等比数列，则q＝（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022•全国）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线y＝2x+1垂直，则C的离心率为（　　）
A．5 B． C． D．
12．（5分）（2022•全国）在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的和能被3整除的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13．（5分）（2022•全国）曲线y＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为　 　．
14．（5分）（2022•全国）已知O为坐标原点，点P在圆（x+1）2+y2＝9上，则|OP|的最小值为 　 　．
15．（5分）（2022•全国）若tanθ＝3，则tan2θ＝　 　．
16．（5分）（2022•全国）设函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）是增函数，若＝，则a＝　 　．
17．（5分）（2022•全国）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝，则异面直线AB1与BC1所成角的大小为 　 　．
18．（5分）（2022•全国）设f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的偶函数．若f（x）+g（x）＝2x，则g（2）＝　 　．
三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（15分）（2022•全国）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＝3sinB，C＝，c＝．
（1）求a；
（2）求sinA．
20．（15分）（2022•全国）设{an}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝（﹣1）nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
21．（15分）（2022•全国）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设X为结束比赛所需要的局数，求随机变量X的分布列及数学期望．
22．（15分）（2022•全国）已知椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），直线y＝x交C于A，B两点，|AB|＝2，四边形AF1BF2的面积为4．
（1）求c；
（2）求C的方程．

2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2022•全国）设集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2∈A}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{1，2} C．{1，4} D．∅
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】先求出集合B，再利用交集运算求解即可．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，
∴B＝{x|x2∈A}＝{﹣1，﹣，﹣，﹣2，﹣，1，，，2，}，
则A∩B＝{1，2}，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2022•全国）已知z＝，则z+＝（　　）
A． B．1 C． D．3
【考点】复数的运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：∵z＝＝＝，
∴z+＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3．（5分）（2022•全国）已知向量＝（x+2，1+x），＝（x﹣2，1﹣x）．若∥，则（　　）
A．x2＝2 B．|x|＝2 C．x2＝3 D．|x|＝3
【考点】向量相等与共线．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由已知可得x+2）（1﹣x）﹣（1+x）（x﹣2）＝0，计算即可．
【解答】解：∵∥，＝（x+2，1+x），＝（x﹣2，1﹣x）．
∴（x+2）（1﹣x）﹣（1+x）（x﹣2）＝0，
∴﹣2x2+4＝0，∴x2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查两向量共线的坐标运算，属基础题．
4．（5分）（2022•全国）不等式﹣﹣3＜0的解集是（　　）
A．（﹣1，0）∪（0，） B．（﹣3，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】将分式不等式化简，求解即可．
【解答】解：不等式﹣﹣3＜0，
即1﹣2x﹣3x2＜0，x≠0，
即3x2+2x﹣1＞0，x≠0，
解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的解法，属于基础题．
5．（5分）（2022•全国）以（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线的方程是（　　）
A．y2＝x﹣ B．y2＝x+ C．y2＝2x﹣1 D．y2＝2x+1
【考点】抛物线的性质；抛物线的标准方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由抛物线的焦点坐标及抛物线的准线方程可得p的值，进而求出顶点的坐标，可得抛物线的方程．
【解答】解：以（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线中p＝1，
所以顶点坐标为焦点与准线与x轴的交点的中点的横坐标为，
即该抛物线的方程为：y2＝2（x﹣）＝2x﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的平移及抛物线的方程的求法，属于基础题．
6．（5分）（2022•全国）底面积为2π，侧面积为6π的圆锥的体积是（　　）
A．8π B． C．2π D．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】对应思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由已知列式求得r与l，再由勾股定理求圆锥的高，然后代入圆锥体积公式求解．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意可得，解得r＝，l＝，
∴圆锥的高h＝．
∴圆锥的体积是V＝．
故选：B．
【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）（2022•全国）设x1和x2是函数f（x）＝x3+2ax2+x+1的两个极值点．若x2﹣x1＝2，则a2＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；配方法；构造法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】先求出f′（x）＝3x2+4ax+1，又x1和x2是函数f（x）＝x3+2ax2+x+1的两个极值点，则x1和x2是方程3x2+4ax+1＝0的两根，再利用韦达定理可解．
【解答】解：∵函数f（x）＝x3+2ax2+x+1，
∴f′（x）＝3x2+4ax+1，
又x1和x2是函数f（x）＝x3+2ax2+x+1的两个极值点，
则x1和x2是方程3x2+4ax+1＝0的两根，
故x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
又x2﹣x1＝2，
则＝﹣4x1x2＝4，
即＝4，
则a2＝3，
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数极值问题，属于中档题．
8．（5分）（2022•全国）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）＝f（﹣）＝，则φ＝（　　）
A．2kπ+（k∈Z） B．2kπ+（k∈Z）
C．2kπ﹣（k∈Z） D．2kπ﹣（k∈Z）
【考点】正弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由题意，可得函数f（x）的一条对称轴为x＝0，即φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．再检验选项，可得结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ），f（）＝f（﹣）＝，
∴函数f（x）的一条对称轴为x＝0，即sinφ＝1或sinφ＝﹣1，故φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．
∴sin（+φ）＝sin（﹣+φ）＝①．不妨k＝0时，
φ＝时，①不成立；当φ＝﹣时，①成立，
故φ＝2kπ﹣（k∈Z），
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
9．（5分）（2022•全国）函数y＝（x＞0）的反函数是（　　）
A．y＝（x＞1） B．y＝log2（x＞1）
C．y＝（0＜x＜1） D．y＝log2（0＜x＜1）
【考点】反函数．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】根据x的范围求出y的范围，再反解出x，然后根据反函数的定义即可求解．
【解答】解：由y＝（x＞0）可得：＝log2y，
因为x＞0，所以＞0，则y＞1，
所以原函数的反函数为y＝（x＞1）．
故选：A．
【点评】本题考查了求解函数的反函数的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
10．（5分）（2022•全国）设等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为Sn．令bn＝Sn+2，若{bn}也是等比数列，则q＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由题意可知，a1＝1，a2＝q，，再结合等比数列的性质，即可求解．
【解答】解：由题意可知，a1＝1，a2＝q，，
∵bn＝Sn+2，若{bn}也是等比数列，
∴，即（3+q）2＝（1+2）（3+q+q2），即2q2﹣3q＝0，解得q＝或q＝0（舍去）．
故选：B．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
11．（5分）（2022•全国）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线y＝2x+1垂直，则C的离心率为（　　）
A．5 B． C． D．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率，进而求出a，b的关系，再求离心率的值．
【解答】解：由双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的方程可得渐近线方程为y＝±x，
由题意可得＝，
所以双曲线的离心率e＝＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质的应用及直线相互垂直的性质的应用，属于基础题．
12．（5分）（2022•全国）在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的和能被3整除的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】基本事件总数n＝＝84，1，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9刚好被3除，若要使选取的三个数字和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，由此能求出结果．
【解答】在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，
基本事件总数n＝＝84，
∵1，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9刚好被3除，
∴若要使选取的三个数字和能被3整除，
则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，
∴这3个数的和能被3整除的不同情况有：
＝30，
∴这3个数的和能被3整除的概率为P＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13．（5分）（2022•全国）曲线y＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为　x﹣y﹣1＝0　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】导数的概念及应用．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由f（x）＝xlnx，得
，
∴f′（1）＝ln1+1＝1，
即曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，
则曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
整理得：x﹣y﹣1＝0．
故答案为：x﹣y﹣1＝0．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．
14．（5分）（2022•全国）已知O为坐标原点，点P在圆（x+1）2+y2＝9上，则|OP|的最小值为 　2　．
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；直线与圆；坐标系和参数方程；数学运算．
【分析】由圆的参数方程可得P的坐标，再由两点间的距离公式写出|OP|，结合三角函数求最值．
【解答】解：如图，

令x+1＝3cosθ，y＝3sinθ，得x＝3cosθ﹣1，y＝3sinθ，即P（3cosθ﹣1，3sinθ），
∴|OP|＝＝，
则当cosθ＝1时，|OP|有最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆的应用，考查圆的参数方程，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）（2022•全国）若tanθ＝3，则tan2θ＝　　．
【考点】二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由已知直接利用二倍角的正切求解．
【解答】解：由tanθ＝3，得tan2θ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
16．（5分）（2022•全国）设函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）是增函数，若＝，则a＝　3　．
【考点】函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先利用指数幂的运算化简求出a，再利用指数函数的单调性求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），
∴＝＝＝，
∴3a2﹣10a+3＝0，
∴a＝3或a＝，
∵函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）是增函数，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查指数函数的单调性和指数幂的运算，属于基础题．
17．（5分）（2022•全国）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝，则异面直线AB1与BC1所成角的大小为 　90°　．
【考点】异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．
【解答】解：如图所示，分别取BC、B1C1的中点O、O1，由正三棱柱的性质可得AO、BO、OO1，两两垂直，
建立空间直角坐标系．
则A（，0，0），B（0，，0），B1（0，，），
C1（0，﹣，）．
∴＝（﹣，，），＝（0，﹣1，），
∴cos＜，＞＝0，
∴异面直线AB1与BC1所成角的大小为90°．
故答案为：90°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，属中档题．
18．（5分）（2022•全国）设f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的偶函数．若f（x）+g（x）＝2x，则g（2）＝　　．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由函数的奇偶性的定义和指数的运算性质，解方程可得所求值．
【解答】解：由f（x）是定义域为R的奇函数，可得f（﹣2）＝﹣f（2）；
由g（x）是定义域为R的偶函数，可得g（﹣2）＝g（2）．
若f（x）+g（x）＝2x，则f（2）+g（2）＝4，①
又f（﹣2）+g（﹣2）＝﹣f（2）+g（2）＝．②
①+②可得2g（2）＝，
即有g（2）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，体现了方程思想和数学运算等核心素养，属于基础题．
三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（15分）（2022•全国）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＝3sinB，C＝，c＝．
（1）求a；
（2）求sinA．
【考点】正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．
（2）根据（1）的结论，以及正弦定理，即可求解．
【解答】解：（1）∵sinA＝3sinB，
∴由正弦定理可得，a＝3b，
∴由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC，即7＝9b2+b2﹣3b2，解得b＝1，
∴a＝3．
（2）∵a＝3，C＝，c＝，
∴＝．
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．
20．（15分）（2022•全国）设{an}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝（﹣1）nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）由已知条件可得：（1+d）2＝1+5d，求得d＝3，然后求通项公式即可；
（2）由（1）可得：，则+（﹣1）2k（6k﹣2）＝3，然后分两种情况讨论：①当n为偶数时，②当n为奇数时，然后求和即可．
【解答】解：（1）已知{an}是首项为1，公差d不为0的等差数列，
又a1，a2，a6成等比数列，
则（1+d）2＝1+5d，
即d2﹣3d＝0，
又d≠0，
即d＝3，
则an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；
（2）由（1）可得：，
则+（﹣1）2k（6k﹣2）＝3，
则当n为偶数时，，
当n为奇数时，Sn＝Sn﹣1+bn＝＝，
即．
【点评】本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了捆绑求和法，属基础题．
21．（15分）（2022•全国）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设X为结束比赛所需要的局数，求随机变量X的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由题意分别求得三局、四局、五局比赛甲获胜的概率，然后相加可得甲获胜的概率；
（2）由题意可知X的取值为3，4，5，计算相应的概率值可得分布列，进一步计算数学期望即可．
【解答】解：（1）由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为，
比赛四局且甲获胜的概率为，
比赛五局且甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为＝．
（2）随机变量X的取值为3，4，5，
则，
×，
，
所以随机变量X的分布列为：
X
3
4
5
p（X）



则随机变量X的数学期望为E．
【点评】本题主要考查事件的独立性，离散型随机变量及其分布列，分布列的均值的计算等知识，属于基础题．
22．（15分）（2022•全国）已知椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），直线y＝x交C于A，B两点，|AB|＝2，四边形AF1BF2的面积为4．
（1）求c；
（2）求C的方程．
【考点】直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）由对称性知|OA|＝，不妨取点A在第一象限，先求得点A的坐标，再利用四边形AF1BF2的面积为4，可得c的值；
（2）设椭圆C的方程为＝1（a＞b＞0），代入点A的坐标，并结合c＝，求得a2，b2的值，即可．
【解答】解：（1）由对称性知，|OA|＝|AB|＝，
不妨取点A在第一象限，设A（x，y），则，解得x＝，y＝2，
因为四边形AF1BF2的面积为4，
所以2וy•|F1F2|＝2•2c＝4，
所以c＝．
（2）设椭圆C的方程为＝1（a＞b＞0），
由（1）知，A（，2），
代入椭圆方程有＝1，
又c＝＝，
所以a2＝9，b2＝6，
故椭圆C的方程为．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

3．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
4．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（　　）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
5．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
6．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
7．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是　π　．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cos2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
8．等比数列的性质
【等比数列】
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）． 注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．

例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝　　．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
【等比数列的性质】
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
9．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：

＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．

2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
12．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
13．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
14．向量相等与共线
向量相等与共线
15．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
16．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

18．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱

③圆柱的特征及性质

圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：


2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．

圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥

③圆锥的特征及性质

与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：


3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．

圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台

③圆台的特征及性质

平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
19．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
20．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

21．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
22．直线与椭圆的综合
v．
23．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程
y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上
x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形


顶点
（0，0）
（0，0）
对称轴
x轴
焦点在x轴长上
y轴
焦点在y轴长上
焦点
（，0）
（0，）
焦距
无
无
离心率
e＝1
e＝1
准线
x＝﹣
y＝﹣
24．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

25．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
26．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
27．离散型随机变量及其分布列
【考点归纳】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．

2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
28．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．

2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
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