2023届北京师范大学附属实验中学高三第七次大单元（月考）数学试题含解析

这是一份2023届北京师范大学附属实验中学高三第七次大单元（月考）数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届北京师范大学附属实验中学高三第七次大单元（月考）数学试题 一、单选题1．设全集，集合，，则集合A． B．C． D．【答案】B【分析】根据集合补集与交集定义求结果.【详解】 ， 所以 故选B【点睛】本题考查集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基本题.2．若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角的终边在第二象限，＝＜0，A不符；＝＜0，B不符；＝＜0，C不符；＝＞0，所以，D正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．3．若复数，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先根据复数除法法则得代数形式，再根据复数几何意义得结果.【详解】＝，对应的点为（），在第四象限故选D【点睛】本题考查复数除法法则以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.4．已知等差数列满足，则中一定为0的项是A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差数列通项公式即可得到结果.【详解】由得，，解得：，所以，，故选A【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题.5．椭圆与双曲线的离心率之积为，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为A． B． C． D．【答案】C【分析】运用椭圆和双曲线的离心率公式，可得关于a，b的方程，再由双曲线的渐近线方程，即可得到结论．【详解】椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝，离心率为，设双曲线的离心率为e则，得，双曲线中，即，又，所以，得，双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为倾斜角分别为，.故选C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于易错题．6．若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据函数在上单调，可知，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知，最后计算可知结果.【详解】因为在上单调，所以，则，由此可得.因为当，即时，函数取得极值，欲满足在上存在极值点，因为周期，故在上有且只有一个极值，故第一个极值点，得，又第二个极值点，要使在上单调，必须，得.综上可得，的取值范围是.故选：C【点睛】思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得，即可.7．已知菱形中，，为中点，，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用菱形的性质，由向量加法、数乘的几何意义可得、，再应用向量数量积的运算律列方程求参数.【详解】菱形中，，因为，又，，所以，可得.故选：B8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的倍的正四棱锥，现将一个棱长为的正方体铜块，熔化铸造一些高为的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（   ）个该金字塔模型（不计损耗）？A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得出正四棱锥的高和底面边长，再结合体积运算求解.【详解】在正四棱锥中，令，连接，则正四棱锥的高为 设正四棱锥的底面边长为a，则，即∴正四棱锥的体积为则可得，则该铜块最多能铸造出4个该金字塔模型故选：B.9．已知符号函数，则函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】函数的零点个数可转化为方程解的个数，从而解方程即可.【详解】时；时；时．．．当时令，即，解得>1成立；当时令，即，解得，成立；当时令，即，无解．综上可得解得或．所以函数的零点个数为2．故选：B.10．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，(其中，，n!=1×2×3×…×n，0!=1)，现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出后代入得cos1=sin可得答案，即与最接近.【详解】所以cos1== sin=sin，由于与最接近，故选：B 二、填空题11．已知，，成等比数列，且，则_______．【答案】4【分析】利用等比中项可得＝16，结合对数运算性质可得结果.【详解】解：依题意，得：＝16，所以， ＝4故答案为4【点睛】本题考查了等比数列的性质，对数的运算性质，考查计算能力.12．已知向量，同时满足条件①，②的一个向量的坐标为_____ .【答案】【解析】利用向量的共线列出方程，利用向量的模转化求解即可.【详解】解：设，由得：，，由得，，把代入，得，，化简，得：，解得，取，则，所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量共线以及向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.13．设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____．【答案】3【分析】根据双曲线几何条件列方程解得离心率.【详解】依题意，得：2a＝c－a，即a＝，所以，离心率故答案为3【点睛】本题考查双曲线离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.14．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义；由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f（x）是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是f（x）的一个周期为k的周期点.若，下列各值是f（x）周期为1的周期点的有______.①0；②；③；④1.【答案】①③【分析】根据题意中周期点定义，分别求出当、、、时的函数周期，进而得出结果.【详解】①时，，周期为1，故①正确；②时，，所以不是的周期点.故②错误；③时，，周期为1，故③正确；④时，，不是周期为1的周期点，故④错误.故答案为：①③. 三、双空题15．在中，，则_______；_________.【答案】     6     【分析】利用余弦定理可得c值，由平方关系得到，借助 可得结果.【详解】解：由余弦定理，得：＝36，所以，c＝6，由得：，所以， ＝【点睛】本题考查余弦定理，平方关系，以及三角形的面积公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 四、解答题16．已知圆O：，直线l过点A（0，4）.(1)若直线l与圆O相切，求直线l的方程(2)若直线l与圆O于E，F两点，且，求直线l的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先设出直线，利用圆心到直线的距离，求解直线方程；（2）首先判断是等边三角形，可知圆心到直线的距离，即可求解直线方程.【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程是，经过圆的圆心，所以直线与圆不相切，所以不成立，当直线的斜率存在时，设直线，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得：，所以直线的方程是；（2）由（1）知当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，不满足条件，所以设直线，由条件可知是等边三角形，圆心到直线的距离，即，解得：，所以直线的方程是.17．已知等比数列的公比，满足：.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）法一：利用等比数列的通项公式和前项和公式的定义得到关于基本量的方程组，解之即可求得；法二：利用等比数列的性质和前项和公式的定义依次转化得到关于的方程组，解之即可求得；（2）法二：分类讨论的通项公式，注意当为偶数时，为奇数，从而利用分组求和法可求得.【详解】（1）法一：因为是公比的等比数列，所以由，得，即，两式相除得，整理得，即，解得或，又，所以，故，所以，法二：因为是公比的等比数列，所以由得，即，则，故，解得或（舍去），故，则，所以.（2）当为奇数时，，当为偶数时，，所以.18．如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，.(1)求证：BF∥平面CDE；(2)求二面角的余弦值；(3)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析(2)(3)存在点； 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；（2）证得，，两两垂直，从而建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；（3）设，求得平面的法向量为，若平面平面，则，从而解得的值，找到Q点的位置.【详解】（1）取的中点，连结，，因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，且,又因为,且，所以,,所以四边形是平行四边形，所以,因为平面,平面，所以平面；（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，平面，则，故，，两两垂直，所以以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，为平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，由，，得，令，得.所以.如图可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（3）结论：线段上存在点，使得平面平面.证明如下：设，所以.设平面的法向量为，又因为，所以，，即，若平面平面，则，即，解得.所以线段上存在点，使得平面平面，且此时.19．现有下列三个条件：①函数的最小正周期为；②函数的图象可以由的图象平移得到；③函数的图象相邻两条对称轴之间的距离.从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.已知向量，，，函数.且满足_________.（1）求的表达式，并求方程在闭区间上的解；（2）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，求的值.【答案】（1）不能选②，，或或；（2）.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求得，根据其性质，可以判断不可能选②，结合①③的条件，可以求得，得到函数解析式，根据三角函数值以及角的范围，确定出方程的解；（2）结合（1），求得，根据正弦定理以及题中条件，求得，根据平方关系求得，结合诱导公式以及三角形内角和，求得的值.【详解】（1）因为，，所以.若满足条件①：，所以，故.因为，无法由的图象经过平移得到的图象，因此不能选②.若满足条件③：因为，所以，故，即.综上，无论选条件①或③，所求.因为，所以.又，所以，所以或或，即或或.所以方程在闭区间上的解为或或.（2）由（1）知，所以，，即，.因为，所以，，.又，由正弦定理，得，整理得.因为，所以，所以.又，得，所以.20．设函数，其中．（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或【分析】（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数，，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围．【详解】（Ⅰ）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以.                                            此时，则.由，解得.                               当x变化时，与的变化情况如下表所示：    00↘极小值↗极大值↘ 所以在，上单调递减，在上单调递增.   所以有极小值，有极大值.         （Ⅱ）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.                                    对函数求导，得.                   由，解得，.                      当x变化时，与的变化情况如下表所示：    00↘极小值↗极大值↘ 所以在，上单调递减，在上单调递增.    又因为，，，，所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.                                           即当或时，函数在区间上有两个零点.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21．已知椭圆W：的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（n，0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）(1)当，且直线轴时，求四边形ACBD的面积；(2)设，直线CB与直线相交于点M，求证：A，D，M三点其线.【答案】(1)4(2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得，再根据方程得，进而解得坐标，最后根据四边形形状求面积；（2）先考虑特殊情形：直线的斜率不存在，具体求出坐标，即得结果，再考虑直线的斜率存在情况，设，，再用坐标表示，以及，最后利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简得.【详解】（1）由题意，得，解得，所以椭圆方程为.当，及直线轴时，不妨设,，且，.所以，，显然此时四边形为菱形，所以四边形的面积为.（2）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，代入椭圆的方程，得，，易得的方程为.则,,,所以，即三点共线.当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立方程消去y，得.由题意，得恒成立，故，.直线的方程为.令，得.又因为，，则直线，的斜率分别为，，所以.上式中的分子 ，所以.所以三点共线.【点睛】方法点睛：在证明，，三点共线的问题中，解决的常用方法有以下三种：（1）首先通过三点中的任意两点求得直线方程，然后将第三个点代入，若满足直线方程则三点共线，否则三点不共线；（2）分别根据三点中的两点求斜率，例如与，若斜率相等则三点共线，否则三点不共线；（3）别根据三点中的两点求向量，例如与，若两个向量共线则三点共线，否则三点不共线.