2023届甘肃省兰州市第一中学高三上学期12月月考数学（文）试题含解析

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2023届甘肃省兰州市第一中学高三上学期12月月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由一元二次不等式的解法求出A，由指数函数的性质求出B，由交集的运算求出．【详解】所以故选：B2．若复数满足，则复数的共轭复数的模为A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】首先求出复数，即可得到复数的共轭复数，利用复数模的计算公式，求得答案．【详解】由于，则，所以复数的共轭复数，则，故答案选B【点睛】本题考查复数四则运算，共轭复数的概念以及复数模的计算公式，属于基础题．3．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于，所以命题为真命题；由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；所以为真命题，、、为假命题.故选：A．4．若，满足则的最小值为A．2 B．10 C．4 D．8【答案】C【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解.【详解】作可行域，如图阴影部分，则直线过点时取最小值4，选C.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.5．若，则（    ）A． B． C．-1 D．3【答案】A【分析】由和角的正切公式可得，再由同角三角函数的平方关系、商数关系及二倍角公式可得，即可得解.【详解】由，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6．执行如图所示的程序框图，输出 的值为A． B． C． D．【答案】A【解析】根据框图，结合条件分支结构和循环结构，即可求出结果.【详解】第一次执行程序后，，第二次执行程序后，，第三次执行程序后，第四次执行程序后，因为不成立，跳出循环，输出，故选A.【点睛】本题主要考查了框图，涉计循环结构和条件分支结构，属于中档题.7．下列函数中最小值为4的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．8．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.9．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A． B． C． D．【答案】C【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】如图所示，直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得.所以内切圆的面积为，所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误．10．在正方体中，点P在侧面及其边界上运动，并且总保持，则动点P的轨迹是　（　　）A．线段B．线段C．中点与中点连成的线段D．中点与中点连成的线段【答案】A【分析】平面，又点在侧面及其边界上运动，故点的轨迹为面与面的交线.【详解】连接，因为，且，所以平面，平面，所以，因为，且，所以平面，平面，所以，且，所以平面，平面，所以，点的轨迹为面与面的交线，故选：A.11．椭圆的左右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆的切线及椭圆定义可得出的等式，从而求得离心率．【详解】由题意，，所以，所以，所以离心率为．故选：C．12．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是．A． B． C． D．【答案】C【分析】令，．判断其奇偶性单调性即可得出．【详解】令，．则，在上为奇函数．，函数在上单调递增．，化为：，即，化为：，，即，解得．实数的取值范围是．故选．【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题13．已知，，若，则______．【答案】【分析】由向量平行的坐标运算即可得出．【详解】，，解得【点睛】若，平行或者共线，则．14．若曲线在处的切线，也是的切线，则______.【答案】2.【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得，的值，进而得到的值.【详解】由，得，曲线在处的切线斜率为，则曲线在的切线方程为，的导数为，设切点为，则，解得，，即有，得.故答案为：2【点睛】本题考查了基本初等函数的导数以及导数的几何意义，属于基础题.15．若等比数列满足，，则的最大值为____．【答案】729【分析】求出基本量，后可得数列的通项，判断、何时成立可得取何值时有的最大.【详解】设公比为，因为，，所以，所以，解得，所以，当时，；当时，，故最大值为，故填.【点睛】正项等比数列的前项积为，其公比为（）（1）若，则当时，有最小值无最大值，且；当时，有最大值，无最小值.（2）若，则当时，有最大值无最小值，且；当时，有最小值，无最大值.16．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为______．【答案】【分析】画出满足题意的图象，可得与原点重合时，四边形面积最小，进而得到答案．【详解】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形的面积最小，则最小，即距离准线最近，故满足条件时，与原点重合，此时，此时四边形面积，故答案为．【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质．三、解答题17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1），，，.（2）依题意，，，，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18．设等差数列的公差为d，d为整数，前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，，，（1）求数列与的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为.【答案】（1）＝2n﹣1，（2）【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项与公差与公比，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【详解】解：（1）有题意可得：，解得（舍去）或，所以＝2n﹣1，．（2）∵，，∴①，②，①﹣②可得，故．【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19．设的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求角的大小；（2）若，试求的最小值．【答案】（1）（2）－2【详解】（Ⅰ）因为，所以，即，则 所以，即，所以 （Ⅱ）因为，所以，即 所以=，即的最小值为20．设数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和，求证：.【答案】（1）；（2）；证明见解析.【分析】（1）利用，进行化简即可得通项公式，注意检验是否满足.（2）由（1）可得，利用裂项相消法求出前n项和，即可证明.【详解】解：（1），①当时，，即， 当时，，②    由①—②可得，即， ∴     当时，，满足上式，∴   （2）由（1）得 ∴，∴21．已知函数．（1）设是函数的极值点，求m的值，并求的单调区间；（2）若对任意的恒成立，求m的取值范围．【答案】（1），在和上单调递增，在上单调递减；（2）.【分析】（1）求得函数的导数，根据是函数的极值点，求得，进而根据导数的符号，即可求解函数的单调区间；（2）由（1）可得，分和两种情况讨论，结合哈市的单调性和极值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，因为是函数的极值点，所以，故，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减．   （2）由（1）可得，当时，，则在上单调递增，又由，所以恒成立； 当时，易知在上单调递增，故存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，则，这与恒成立矛盾，   综上可得，实数m的取值范围.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．(Ⅰ) 求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(Ⅱ) 设直线与曲线相交于两点，求的值．【答案】(1) ;(2)4.【详解】分析：（1）利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）代入建立一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果.详解：(1)∵直线的参数方程为（为参数），∴直线的普通方程为，即，∴直线的极坐标方程：，又∵曲线的极坐标方程为，，，∴，即，∴曲线的直角坐标方程为.(2)∵将直线：代入曲线的极坐标方程：得：，设直线与曲线的两交点的极坐标分别为，，∴， ∴．点睛：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用.23．已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）设，且当，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）分段去绝对值符号，分别求解不等式即可；（2）根据的范围可去掉绝对值符号，分离参数后转化为求解最值问题．【详解】（1）当时，不等式化为：当时，不等式化为，解得：当时，不等式化为，解得：当时，不等式化为，解得：综上，原不等式的解集为（2）由，得，又则不等式化为：得对都成立    ，解得：又，故的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式中的恒成立问题，关键是能够去掉绝对值符号，将问题转化为一元一次不等式的形式，属中档题．旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5