2023届宁夏石嘴山市平罗县平罗中学高三（重点班）上学期第三次月考（12月）数学（理）试题含解析

2023届宁夏石嘴山市平罗县平罗中学高三（重点班）上学期第三次月考（12月）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，若集合，则下列阴影部分可以表示A集合的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用Venn图先判断集合，再在集合中去掉的部分，即可得到答案.

【详解】，是两个集合的公共部分，，在集合 中去掉的部分，即选B.

故选：B.

2．已知（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点一定在（    ）

A．实轴上 B．虚轴上

C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的角平分线上

【答案】D

【分析】设，由可解得，则，复数在复平面上对应的点为，即可判断

【详解】设，则，则，即，，

∴，复数在复平面上对应的点为，一定在第二、四象限的角平分线上，

故选：D

3．短道速滑队进行冬奥会选拔赛（6人决出第一一六名），记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若是真命题，是假命题，是真命题，则选拔赛的结果为（    ）

A．甲第一、乙第二、丙第三 B．甲第二、乙第一、丙第三

C．甲第一、乙第三、丙第二 D．甲第一、乙没得第二名、丙第三

【答案】D

【分析】根据符合命题的真假性进行判断即可求解.

【详解】是真命题意味着为真，q为假（乙没得第二名）且r为真（丙得第三名）；

是真命题，由于q为假，只能p为真（甲得第一名），这与是假命题相吻合；

由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，

故选：D．

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.

【详解】由题意有：，

∴，又，

∴.

故选：A.

5．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，，……，遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意给的定义，结合图形，分别求出a、b、c、d的值即可比较大小.

【详解】对于正四面体，其离散曲率为，

对于正八面体，其离散曲率为，

对于正十二面体，其离散曲率为，

对于正二十面体，其离散曲率为，

则，

所以.

故选：B.

6．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（    ）

A．①④ B．②③ C．①② D．③④

【答案】A

【分析】按题意把四个平面图形翻折成四面体，然后根据空间图形中直线与直线的位置关系判断．

【详解】①对应图1，是平面外一点，在平面内，且不在直线上，因此与是异面直线，①正确；

②对应图2，重合，与是相交直线，②错；

③对应图3，由于由中位线定理得，都与棱平等，从而，③错；

④与图1类似得与是异面直线，④正确．

故选：A．

7．如图，点在半径为2的上运动，.若，则的最大值为（    ）

A．1 B．  C． D．

【答案】B

【分析】将原题转化为线性规划问题，求目标函数最大值即可.

【详解】如图：

，

为基底，则 ，令

则有： ，

问题转化为点C在第一象限的圆周 上运动，求目标函数 的最大值，

显然当直线 与圆相切时，z最大，此时 ；

故选：B.

8．已知函数的导函数的图象如图所示，其中点A和点B分别是的图象的一个最低点和最高点．则下列说法正确的是（    ）

A．将曲线向左平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得到的图象

B．将曲线向左平移个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的即可得到的图象

C．将曲线向左平移单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得到的图象

D．将曲线向左平移单位长度，再将纵坐标缩短为原来的即可得到的图象

【答案】B

【分析】首先求函数的导数，再根据函数图象求函数的解析式，最后根据图象变换规律，判断选项.

【详解】，由题图可知导函数的最小正周期为，则，则，，

当时，函数取得最大值，，，,

因为，所以，所以，

因此将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，再将纵坐标缩短为原来的即可得到的图象.

故选：B．

9．已知函数．若对于任意实数x，都有，则的最小值为（    ）．

A．2 B． C．5 D．8

【答案】C

【分析】由可求得函数图像的对称中心，结合正弦型函数的性质，可求的最小值.

【详解】函数，由可知函数图像的一个对称中心为，

所以有，解得，

由，当时，有最小值5.

故选：C

10．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简题目所给不等式，构造函数，由在区间上恒成立分离常数，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】不妨设，

则，

即，

令

，

则，

∴在单调递增，

对恒成立，

而恒成立，

令，，

则在单调递减，

∴，

∴，

的取值范围是.

故选：A

【点睛】利用导数研究含有参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法，然后通过求函数的最值来求得参数的取值范围.

11．已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先在长方体中还原该三棱锥为，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为，列出方程即可求出结果.

【详解】根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为，且长方体的底面边长为2，高为；

取中点为，上底面中心为，连接，，则，，

因为三角形为直角三角形，所以点为三角形的外接圆圆心，

因此三棱锥的外接球球心，必在线段上，记球心为，设球的半径为，则，

所以有，，

因此，解得，

所以该三棱锥的外接球表面积为.

故选C

【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.

12．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用，判断函数值的大小，即可判断选项.

【详解】，，，

设 ，且，，得，

当和时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

因为，且，

所以，即.

故选：D

二、填空题

13．如图边长为2的正方形ABCD中，以B为圆心的圆与AB，BC分别交于点E，F，若，则阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体的体积等于__________．

【答案】

【分析】阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉一个半球与圆锥，分别计算其体积，然后得到答案.

【详解】在中，

所以，

正方形ABCD绕直线BC旋转一周形成圆柱，圆柱的底面半径，

高，其体积；

直角绕直线BC旋转一周形成与圆柱同底的圆锥，圆锥的底面半径，

高，其体积；

扇形BEF是圆的，绕直线BC旋转一周形成一个半球，球的半径为，

故其体积；

所以阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥，

故其体积．

故答案为：.

14．已知在数列中，，，则数列的通项为__________．

【答案】

【分析】利用已知化简可得，然后再由等差数列的定义可得答案..

【详解】根据，可得，

由得，

所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，

整理得，所以.

故答案为：.

15．已知函数满足， 若函数与图像的交点为，则它们的纵坐标之和等于___．

【答案】4044

【分析】由函数则函数关于点对称，知函数关于点对称，又也关于点对称，关于点对称性即可求出纵坐标之和.

【详解】函数满足知，

函数关于点对称，

又也关于点对称

故函数与图像的交点也关于点对称

所以成对出现，且关于点对称

所以

故答案为：4044.

16．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则的最小值为_____．

【答案】

【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上切点分别满足切线方程来列方程组，得到与满足的关系式，将原式中的替换，再利用基本不等式求最小值即可.

【详解】曲线在点A处的切线可写作

设该切线在曲线上的切点为，

则有，消去t得

则

当且仅当，即时取得该最小值.

故答案为：.

三、解答题

17．已知数列的各项均为正数的等比数列，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等比数列的通项公式求解即可；

（2）由（1）可得，再分类讨论结合分组并项求和法求解即可

【详解】（1）设公比为，由题意得

解得

（2）

当为偶数时，，

当为奇数时，；

．

18．如图，在三棱锥中，，且，为的中点，点在棱上，，若是边长为1的等边三角形，且.

(1)证明：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用等腰三角形与勾股定理证得与，从而由线面、面面垂直的判定定理证得平面平面；

（2）依题意建立空间直线坐标系，求得平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示求得，从而求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1），为中点，，

又在中，，，，，，

又，平面，平面，

平面，平面平面.

（2）如图，在中，过点作的垂线交于点，

由（1）知，，，故以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

则，，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，故，

所以，

故直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.

19．已知数列与的前项和分别为，，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)，若恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用与的关系求出和，证明是等差数列，即可求出数列的通项公式.

（2）化简，利用裂项相消法求出，再利用数列的单调性即可求出的取值范围.

【详解】（1）由题意， ，

在数列中，

当时，，

解得或．

∵

∴．

∵

∴．

两式相减得．

∴．

∵，

∴．

即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，

∴

即

（2）由题意及（1）得，，

在数列中，

在数列中，

∴．

∴．

∵恒成立，

∴．

∴的取值范围为

20．如图，在直线三棱柱中，己知，，，D为棱AC的中点.

(1)求证：平面；

(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，交于点O，连接OD，可得为的中位线，从而可得线线平行，根据线面平行的判定即可得到结果.

（2）以D为坐标原点，以DA，BD所在直线分别为x，y轴，以过点D且垂直平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，根据法向量结合二面角余弦值公式即可得到结果.

【详解】（1）

连接，交于点O，连接OD，则O为的中点，

∵D为AC的中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）

由（1）知点到平面的距离与点C到平面的距离相等.

∵，D为AC的中点，∴，

连接，则，

∴.

如图，以D为坐标原点，以DA，BD所在直线分别为x，y轴，以过点D且垂直平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，，.

设平面的法向量为，

则，故，取，则，故，

设平面的法向量为，

则，故，取，则，得.

∴，

∴平面与平面的夹角的余弦值为.

21．如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线，该曲线段为函数（， ，）的图像，且图像的最高点为．赛道的后一段为折线段，为保证参赛队员的安全，限定．

(1)求实数和的值以及、两点之间的距离；

(2)试求折线段的最大值．

【答案】(1)，，、两点之间的距离为

(2)

【分析】（1）根据图像最高点求出，利用周期求出，再利用两点距离公式即可求解、两点之间的距离.

（2）首先利用三角函数表示处折线段的长度，再利用辅助角公式即可求解最大值.

【详解】（1）图像的最高点为，且，所以.根据图像可知，则，，解得，所以的解析式为，令，得即的坐标为.所以.

综上，，，、两点之间的距离为

（2）在中，设，因为，故，由正弦定理可得，所以，设折线段的长度为，则，所以的最大值为，此时.即折线段的最大值为.

22．已知函数，当时，．

(1)求的取值范围；

(2)求证：（）．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由导数法对、分类讨论是否满足即可；

（2）由（1）结论，当时，恒成立，即可得，即可列项得，

构造，由导数法证，则有，即，最后结合对数运算性质即可证

【详解】（1）由题意得．

令，则．

∴函数在区间上单调递增，

则函数的最小值为．

①当，即时，可得，

∴函数在上单调递增．

又，∴恒成立．

②当，即时，函数的最小值为<0，

且存在，当时，．

又，∴当时，，

这与时，相矛盾．   

综上，实数a的取值范围是．

（2）由（1） 得当时，不等式恒成立，

∴．

令，得．  

∴．  

令，则，

时，，为上的增函数；

时，，为上的减函数；

∴，则．

∴，   

∴

=

<=

．

∴．

【点睛】方法点睛：证明数列累乘不等式，可通过不等式两边取对数，转换成累加不等式的证明，接着一般可结合题中结论，通过对数列通项放缩，达到证明目的