2023届宁夏银川市第一中学高三上学期第四次月考数学（理）试题含解析

这是一份2023届宁夏银川市第一中学高三上学期第四次月考数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届宁夏银川市第一中学高三上学期第四次月考数学（理）试题 一、单选题1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意明确图中阴影部分表示的含义，即可根据集合的运算求得答案.【详解】由题意知：图中阴影部分表示，而 ，故，故选：D．2．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．故选B．【解析】复数的运算；复数的代数表示以及几何意义. 3．等比数列中，，，则与的等比中项为（    ）A．8 B．10C． D．【答案】C【分析】直接根据等比中项的性质得到答案.【详解】与的等比中项满足：，故.故选：C4．设是直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】解：对于A：若，，则或与相交，故A错误；对于B：若，，由面面垂直的判断定理可得，故B正确；对于C：若，，则或，故C错误；对于D：若，，则或或与相交，故D错误．故选：B．5．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；若幂函数在上是减函数，则，解得或故必要性不成立因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A6．图中阴影部分的面积是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用定积分可计算得出阴影部分区域的面积.【详解】由图可知，阴影部分区域的面积为.故选：C.7．已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的导数，就，分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】，其中当时，，故在上单调递减，此时在内无最值.当时，若，则，若，则，故在上为增函数，在上为减函数，故在处取最大值，故选：A.8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三视图画出三棱锥原图，利用可得结果.【详解】根据三视图可得几何体是有一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，DA⊥平面ABC ，所以故选：B.9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AD是∠A的平分线，，，则的最小值是（    ）A．6 B． C． D．10【答案】C【分析】首先根据等面积法建立的等量关系，再利用不等式“乘1法”求最小值即可.【详解】如下图所示：由题意可得，AD是∠A的平分线，则.则，，而,代入化简得，，即.则，当且仅当，即时，等号成立.故最小值为.故选：C10．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段 上，即可求出的取值范围，即可得解．【详解】解：如图，为圆心，连接，则，因为点在线段上且，则圆心到直线CD的距离，所以，所以，则，即的取值范围是,．故选：D．11．已知，，，，则（    ）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根据角度范围得到，，计算，得到答案.【详解】，，，故，故；，，，，故，；，，故.故选：C12．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用作差法可得，令可得，进而可推出，从而得解【详解】因为，又，所以，所以，所以；令，则恒成立，所以在递增，所以，所以又，所以，所以，又，所以，即；所以，故选：B 二、填空题13．函数在处的切线与直线平行，则实数________．【答案】1【分析】求导得到导函数，根据平行得到，解得答案.【详解】，，，.故答案为：114．已知向量,满足，且，则向量,的夹角为______.【答案】【分析】由得，再根据平面向量的夹角公式可得结果.【详解】由，得，所以，即，所以，又因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律，考查了平面向量的夹角公式，属于基础题.15．已知函数，将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.已知在上恰有5个零点，则的取值范围是__________.【答案】【分析】求得，换元转化为在上恰有5个不相等的实根，结合的性质列出不等式求解.【详解】，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得．故答案为：．16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为________．【答案】【分析】计算，的外接圆半径为，确定底面积最大时体积最大，，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【详解】，故.设的外接圆半径为，则，解得，三棱锥的高是，故底面积最大时体积最大， 对，，当离最远时，面积最大，此时在的垂直平分线上，，如图所示：为中点，连接，，设，则，设，，当时，即时，，函数单调递减；当时，即时，，函数单调递增.当，即时，面积最大为，此时.故答案为： 三、解答题17．己知数列的前项和为，且，________________．请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2) 【分析】（1）确定数列是首项为，公差为1的等差数列，利用等差数列和等比数列公式分别计算三种情况得到答案.（2）确定，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1），所以，即，所以数列是首项为，公差为1的等差数列．若选①：由，得，即，所以，解得．所以，即数列的通项公式为．若选②：由，，成等比数列，得，则，所以，所以．若选③：因为，所以，所以，所以．（2），则，则，，两式相减得：，故．18．如图1是半圆（以为直径）与组合成的平面图，其中，图2是将半圆沿着直径折起得到的，且半圆所在平面与所在平面垂直，点是的中点．(1)求证：；(2)若，求二面角的平面角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)2 【分析】（1）证明平面得到答案.（2）过点做的垂线交于点，连接，确定为二面角的平面角，计算得到答案.【详解】（1）是半圆的直径，故，，即，平面平面，且平面平面，平面，故平面，又平面，故，，平面，平面，平面，平面，故；（2）为直径且点是的中点，为等腰直角三角形，点为的中点，，平面与平面且平面平面，故平面，平面，故，则过点做的垂线交于点，连接，，故平面，平面，故，故为二面角的平面角，因在中，，.即二面角的平面角的正切值为2．19．如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．(1)将十字形的面积表示为的函数；(2)为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？【答案】(1).(2) 【分析】（1）首先利用表示出面积表达式，再利用三角函数替换，结合的范围即可.（2）对面积表达式利用二倍角公式以及降次公式化简，再结合辅助角公式即可化简，最后结合角的范围求出最值.【详解】（1）设为十字形的面积，则，又圆的直径为，则，因为，所以，所以.从而.故.（2）.其中.所以当，即时,最大,且最大值为.20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，.(1)点M在线段PC上，，求证：平面MQB；(2)在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由已知，连接AC交BQ于N﹐连接MN，由可知，所以，又因为，所以，然后利用线面平行的判定定理即可完成证明；（2）由已知，可通过计算得到并利用线面垂直的判定定理得到平面PQB，平面ABCD，然后点Q为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，先求解出平面MOB的一条法向量，然后设直线PD和平面MQB所成角为，借助可直接进行求解.【详解】（1）证明：连接AC交BQ于N﹐连接MN，因为，所以，所以，所以，又，所以，因为平面MQB，平面MQB，所以平面MQB；（2）连接BD，由题意都是等边三角形，因为Q是AD中点，所以，又，平面PQB，所以平面PQB，，在中，，所以，所以平面ABCD，以点Q为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，由，可得，所以.设平面MOB的法向量，.可取，则，直线PD的方向向量，设直线PD和平面MQB所成角为，则即直线PD和平面MQB所成角的大小为.21．已知函数（）(1)当时，有两个实根，求取值范围；(2)若方程有两个实根，且，证明：【答案】(1)取值范围是(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数求得的单调区间，由此求得的取值范围.（2）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，解得或导数证得不等式成立.【详解】（1）的定义域为，，在上单调递增，所以的取值范围是.（2）的定义域为，有两个不相等的实数根，令，由（1）知在上递增，则，则有两个不相等的零点，，，.要证，只需证，即证，即证，，故只需证，不妨设，令，则只需证，只需证，令，，所以，即当时，成立.所以，即，所以.【点睛】利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，划归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来求所构造函数的取值范围来证得不等式成立.22．已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）直线的参数方程消去参数，即得的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；（2）将直线的参数方程代入，利用直线的参数方程的几何意义，可得，结合韦达定理，即得解.【详解】（1）由（t为参数），可得l的普通方程为；由曲线C的极坐标方程及可得，整理得，所以曲线C的直角坐标方程为．（2）易知点M在直线 l 上，将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得，即，设P，Q对应的参数分别为，则，因为，所以．23．已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)若，则；(2)．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换证明不等式，注意等号成立条件；（2）应用三元柯西不等式证明不等式即可.【详解】（1）由知：，则，当且仅当时等号成立.所以得证.（2）由，当且仅当，即时等号成立，所以得证.