2023届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第一次质量检测数学（文）试题含解析

2023届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第一次质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用集合交集的运算求解即可．

【详解】集合，则

故选：B

2．已知复数，且，，则（    ）

A．1 B． C．0 D．

【答案】C

【分析】根据复数的乘法运算及复数相等即可得解.

【详解】，，

，，

解得，，

故选：C

3．已知向量＝(3，1)，＝(2，λ)(λ∈R)，若⊥，则(    )

A．5 B． C． D．10

【答案】B

【分析】向量垂直，它们数量积为零，求出λ即可计算.

【详解】依题意，即，解得，则＝(2，－6)，，

故．

故选：B.

4．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（    ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】讲座前中位数为,所以错；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为，

讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.

故选:B.

5．若变量满足约束条件，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】作出可行域，它表示斜率为，在轴上的截距为的直线，再利用数形结合分析得解.

【详解】由约束条件，作可行域如图中阴影部分，

由题得，它表示斜率为，纵截距为的直线，

当直线经过点时，直线的纵截距最小，此时最小.

联立，解得（0，1），

∴的最小值为.

故选：A

6．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】D

【分析】画出图像，利用抛物线的定义求解即可.

【详解】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，

由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，

解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，

由解得，舍去，

所以.

解法2：在中，，则.

解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.

故选：D.

7．在如图所示的程序框图中，输入，则输出的数等（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据流程图模拟计算后可求输出的值.

【详解】第一次判断后，，

第二次判断后，，

第三次判断后，，

第四次判断后，不成立，故终止循环，

故选：B.

8．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用特殊值法可判断BD选项，判断C选项在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对于B选项，，与题图不符；

对于C选项，当时，，则，与题图不符；

对于D选项，，与题图不符.

排除BCD选项.

故选：A.

9．在正方体中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（    ）

A．平面 B．平面平面

C．平面 D．平面平面

【答案】D

【分析】画出正方体，结合几何体图像，根据线面平行、面面垂直、线面垂直、面面垂直的判定条件判断各选项即可.

【详解】如图，因为，而与平面相交，则A选项不正确；

因为，，所以平面平面，

而平面与平面相交，则B选项不正确；

在矩形中，与不垂直，即与平面不垂直，则C选项不正确；

设的中点为G，因为，所以，

又因为，，所以，

所以平面，所以平面平面，则D选项正确.

故选：D.

10．设正项等比数列的前4项和为90，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式即可求解公比和首项,进而可求.

【详解】设公比为，易得，

由题设知，即，

又，所以，，即，

解得或（舍去），进而，从而.

故选：C.

11．函数的最小值为（    ）

A． B． C．-1 D．0

【答案】C

【分析】根据题意得到为偶函数，由时，，利用导数求得函数的的单调区间，进而求得函数的最小值.

【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，

且满足，所以为偶函数，当时，，

可得，在单调递增，

又由为偶函数，所以在单调递减，单调递增，

所以.

故选：C.

12．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设三棱锥的外接球的半径为，由球的体积得球的半径，当平面平面时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.

【详解】设三棱锥的外接球的半径为，因为，

因为，所以为外接球的直径，

所以，且.

当点到平面距离最大时，三枝锥的体积最大，

此时平面平面，且点到平面的距离，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.

二、填空题

13．等差数列的前n项和为，若，，则_____．

【答案】7

【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质及求和公式即可得到答案

【详解】解：设等差数列的公差为，

由，得，∴，

又，∴，，∴，

故答案为：7

14．从2名教师，3名学生中选出1名教师，2名学生组成辩论队，学生A恰被选中的概率是___________.

【答案】

【分析】利用列举法求解古典概型的概率.

【详解】设教师为甲，乙，学生为A，B，C，则学生A被选中的基本事件是：（甲，），（甲，），（乙，），（乙，），个数为4；

所有的基本事件是：（甲，），（甲，），（甲，），（乙，），（乙，），（乙，），个数为6，故所求概率为.

故答案为：

15．过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______.

【答案】或

或或

【分析】设圆的一般方程为，将3个点的坐标代入方程，利用待定系数法即可求出结果.

【详解】设圆的一般方程为，

若圆过三点，

则，解得，

此时圆的一般方程为；

若圆过三点，

则，解得，

此时圆的一般方程为；

若圆过三点，

则，解得，

此时圆的一般方程为；

若圆过三点，

则，解得，

此时圆的一般方程为；

故答案为：或

或或

三、双空题

16．若是奇函数，则_____，______．

【答案】     ##    

【分析】根据奇函数定义解决即可.

【详解】因为是奇函数，

所以其定义域关于原点对称，

由可得，，

所以，解得，

所以函数的定义域为，

因为在处有定义，即，

所以，解得，

故答案为：；

四、解答题

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)证明：；

(2)记的面积为S，若，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）将两边平方，可得，利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得，进而证明结论；

（2）由三角形面积公式可推得，结合余弦定理即可求得答案.

【详解】（1）证明：将两边平方，

得，

即，

由正弦定理可得，

所以，，所以，

所以，即．

（2）由，解得，

且，

所以．

由余弦定理可得，

即，所以．

18．如图，在四棱锥中，底面，， ，，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四边形.

（1）求证：平面平面；

（2）当时，求四棱锥的体积.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）要证平面平面，只需证明平面，即可求得答案；

（2）由（1）可知，，即，可得，结合已知，根据椎体体积公式，即可求得答案.

【详解】（1）为平行四边形.

且

，

点为的中点

，

，，

又底面，

得

，平面

平面

又平面，

平面平面

（2）由（1）可知

，即，

又由题可知，

又由底面，平面，

可得，

平面，

又

点到平面的距离为，

【点睛】本题主要考查了求证面面垂直和求椎体体积，解题关键是掌握面面垂直判断定理和椎体体积公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

19．近年来，国民经济的增长和社会结构的变化推动宠物饲养成为很多人精神消费的主要方式，使得近几年中国宠物市场规模逐年增长，下表为2016～2020年中国宠物市场规模y（单位：千亿元），其中2016～2020年对应的年份代码x依次为1～5．

(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年中国宠物市场规模．

参考数据：，，，．

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】(1)说明见解析

(2)，市场规模为3.632千亿元

【分析】（1）根据参考数据、参考公式计算相关系数，即可得出结论；

（2）根据参考数据计算，再由直线过求出，即可得出回归直线方程，代入可预测2022年中国宠物市场规模.

【详解】（1）由题意得，，，，，

，

∴．

因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；

（2）由（1）得，

，

所以y关于x的线性回归方程为，

2022年对应的年份代码为7，代入，

得，

所以预测2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元．

20．已知函数.

(1)若，求的极值.

(2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求出函数的定义域与导数导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）对参数分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值（最值），从而得到不等式，即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）解：因为定义域为，

所以，

当时，，，令得

当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的极小值为，无极大值.

（2）解：因为，

①若，当时恒成立，所以在上单调递增

要使方程在上有解，则

即 得 ，因为，所以.

②若，当时恒成立，所以在上单调递减，

此时不符合条件.

③若，当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

此时，，要使方程在上有解，则需，

解得，所以.

综上可知，的取值范围为

21．椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线：与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】（1）；（2）证明见解析，.

【解析】（1）由左焦点到P点的距离及离心率可求解；

（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得和，把用和表示化简可得出答案.

【详解】（1），设左焦点，

∴，解得，

，，由，

∴椭圆方程为.

（2）由（1）可知椭圆右顶点，

设，，∵以为直径的圆过，

∴即，∴，

∵，，

∴①

联立直线与椭圆方程：

，整理得

∴，，

∴，

，代入到①

，

∴，

∴，即，

∴或，

当时，：，∴恒过

当时，：，∴恒过，但为椭圆右顶点，不符题意，故舍去，

∴恒过.

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，第二问关键点是由韦达定理得到和，利用和表示，考查了学生分析问题、解决问题和运算能力，属于中档题.

22．曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线，的交点分别为，（，异于原点），当斜率时，求的取值范围.

【答案】(1) 的极坐标方程为，的极坐标方程为.(2)

【分析】(1)由题意首先将参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程即可；

(2)利用(1)中求得的极坐标方程和极坐标的几何意义将原问题转化为三角函数求值域的问题，结合三角函数的性质可得的取值范围.

【详解】（1）由消得，即

将，，代入，得

的极坐标方程为，的极坐标方程为.

（2）设直线的极坐标方程为，，，

联立方程可得，

所以

又，则有，即

综上的取值范围为

【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

23．已知、、为正数，且满足.证明：

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用三元基本不等式证明不等式；

（2）利用二元基本不等式证明不等式.

【详解】证明：（1）∵、、为正数，，

∴   

，  

∴；  

（当且仅当时取等）

（2）由；；

，

将上述三个不等式相加得：，  

又,,，

同理，将上述三个不等式相加得：，   

而，∴，当且仅当时，等号成立.

【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法. 要根据已知条件灵活选择方法证明.