2023届江西省上高二中高三上学期第四次月考数学（文）试题含解析

2023届江西省上高二中高三上学期第四次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出集合A，B，利用交集定义可求结果．

【详解】，，

因此．

故选：A

2．已知复数（为虚数单位），则（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算法则化简，进而由模长公式即可求解.

【详解】，则.

故选：A.

3．已知命题，命题，则下列判断正确的是（    ）

A．是真命题 B．q是真命题

C．是真命题 D．是真命题

【答案】C

【分析】先根据基本不等式判断命题的真假，根据指数函数的单调性判断命题的真假，再根据命题的命题与逻辑连接词关系判断选项.

【详解】命题：当时，，根据基本不等式可得，当且仅当即时等号成立，因为当时，故等号不成立，命题为真命题；

命题：因为在定义域内为增函数，故，命题为假命题，为真命题.

故选：C

4．已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期是

B．函数的最大值为

C．函数的图象关于点对称

D．函数在区间上单调递增

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换化简，利用正弦型函数的性质依次判断即可.

【详解】由，

故函数的周期，A错误；

函数的最大值为2，B错误；

由，故不是对称中心，C错误；

当时，，由于在

单调递增，故函数在单调递增，D正确.

故选：D

5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据古典概型的概率公式计算即可

【详解】解：从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件总数，

设A={所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著}

则

∴

故选：A．

6．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A．77 B．88 C．99 D．110

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质，计算出等差数列的基本量，即可利用等差数列的求和公式求解.

【详解】，得，解得，

，得，解得，

故，

.

故选：B

7．执行如图的程序框图，输出的值是（    ）

A．0 B． C． D．-1

【答案】A

【分析】根据程序框图理解可得：输出的S的值为有关余弦值求和问题，在解题的过程中，把握住余弦函数的周期性的应用，从而求得结果.

【详解】根据题中所给的框图，可知输出的S的值：

故选：A

8．如图，在中，，，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量加减法的线性运算即可求解.

【详解】，，

，

而，所以，

.

故选：B

9．将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面的同侧，则异面直线B1C与OA所成的角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据圆柱的性质做出异面直线所成角的平面角，根据线段长度关系求解异面直线夹角的余弦值.

【详解】设点在下底面圆周上的射影为点B，连接，

则，连接，

因为长为，长为，圆柱的底面半径为1，

则，

因为，

所以△BOC为等边三角形，

则，则，

所以即为直线B1C与OA所成的角，

因为，

所以，

则，

则，

则.

故选：D.

10．把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍， 纵坐标不变， 得到函数的图象. 若函数在上恰有 3 个零点， 则正数 的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据图象变换求得，再以为整体结合正弦函数分析运算.

【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到，

再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，

∵，，则，

令则，，

若函数的图象在上恰有3个交点，则.

故正数的取值范围是.

故选：B.

11．设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设构造且在上递减，进而转化为在上恒成立求参数范围即可.

【详解】由题设，且，

令且，则，故在上递减，

所以恒成立，即在上恒成立，

而在上值域为，

所以.

故选：A

【点睛】关键点点睛：已知条件构造，在上递减.

12．函数，则的图象在内的零点之和为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】由题可知函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，利用数形结合及函数的对称性即得.

【详解】由可得，

则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，

又函数与函数的图象都关于点对称，

作出函数与函数的大致图象，

由图象可知在内有四个零点，则零点之和为4．

故选：B.

二、填空题

13．已知向量满足，且，则__________．

【答案】

【分析】根据的坐标求出，然后将平方后求出，最后将平方即可求.

【详解】因为，所以，

，所以，

所以，.

故答案为：.

14．已知函数 ，若正实数满足，则的最小值为____

【答案】##

【分析】本题先判断函数为奇函数，且R上单调递增，则由得，利用基本不等式解决.

【详解】因为函数为奇函数，且在定义域上单调递增，

又，

则 ，

所以 ，即，且，

所以

当且仅当 ，即时取等号，

所以的最小值为.

故答案为：

15．已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为____________．

【答案】

【分析】根据给定的条件，利用双曲线定义结合余弦定理计算作答.

【详解】令双曲线C的半焦距为c，即，又，，则，

中，，由余弦定理得，

即，整理得，

所以C的离心率．

故答案为：

16．已知直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，，则球的表面积为___________．

【答案】

【分析】设和外接圆的圆心为，，则球心为的中点，在中由正弦定理可求得其外接圆半径，结合球的性质可求球的半径，进而求得其表面积．

【详解】设和的外心分别为D，E．由球的性质可得三棱柱的外接球的球心O是线段的中点，连接，设外接球的半径为R，的外接圆的半径r，因为，由余弦定理可得， 由正弦定理可得，所以，

而在中，可知，即，

因此三棱柱外接球的表面积为．

故答案为：．

三、解答题

17．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．

(1)求；

(2)若，求面积的最大值．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换求出，再利用同角公式计算作答．

（2）利用（1）中信息及均值不等式，再由三角形面积定理计算作答．

【详解】（1）在中，，由余弦定理得，

，整理得，由正弦定理得：

，而，解得

（2）由（1）知，而，则，当且仅当时取等号，

于是得，

所以当时，面积取得最大值．

18．某学校共有1000名学生参加数学知识竞赛，其中男生200人.为了了解该校学生在数学知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间.将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示.

(1)求的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)若样本中属于“高分选手”的男生有10人，完成下列列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关.

参考公式：，其中.

【答案】(1)，670分

(2)表格见解析，有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关

【分析】（1）根据频率分布直方图特点得到关于的方程，解出，再利用平均数计算公式得到平均数值即可；

（2）根据题意计算相关数据，填写联表中数据，再代入公式，计算卡方值，最后得出结论.

【详解】（1），解得

平均数估计值为（分）

（2）由题意可知， 样本中男生有人，则女生有80人，属于“高分选手”的有人，其中男生10人，

则高分中女生为人，不属于“高分选手”的男生为人，不属于“高分选手”的女生为人，

因此，得到列联表如下：

因此，的观测值，

所以有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关

19．如图，四面体中，是的中点.

(1)当在线段上移动时，判断与是否垂直，并说明理由；

(2)若，当是线段的中点时，求到平面的距离.

【答案】(1)，理由见解析

(2)

【分析】（1）可判断，根据线面垂直来证明异面直线垂直即可；

（2）利用三棱锥体积转换法求解到平面的距离.

【详解】（1）解：，理由如下：

连接，，

∵，，，

∴．

∴，又是的中点

∴．

∵，∴，且，平面．

∴平面，又平面．

∴．

（2）解：由，，可得，

∵是的中点，∴．

由（1）知，且，

∴，．

可得．

又，，平面

∴平面．

当是线段中点时到平面的距离与到平面的距离相等．

因为是线段中点，所以到平面的距离为，

由题可知，

设到平面的距离为h，，

由，

即

∴．

即到平面的距离为．

20．已知函数，其中.

(1)求函数的单调区间；

(2)设，若对任意的，恒成立，求的最大值.

【答案】(1)当时，在上单调递增，无单调递减区间；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)

【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求导，通过讨论a的正负判断导函数在定义域内有无零点，无零点时原函数在定义域内单调，有零点时再通过导函数确定各区间的单调性；

（2）原不等式恒成立等价于原函数的最大值小于等于0成立，由第一问的单调区间求得原函数的最大值，记为关于a的函数，再通过对新函数求导判断单调性，得到满足新函数小于等于0的自变量a的最大整数值即可.

【详解】（1），定义域为

当时，，在上递增.

当时，，在上递增.

当时，令，得；令，得.

即在上递增，在上递减.

综上：当时，在上单调递增，无单调递减区间；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）在上恒成立，

等价于.

由（1）得，

当时，在上单调递增，无最大值，

故此时原不等式无法恒成立；

当时，在上单调递增，在上单调递减，

则此时

即须成立.

记函数，且

则

即在单调递增.

因为，

所以满足的a的最大整数值为.

综上：的最大值为.

21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线与抛物线C交于A，B两点，在抛物线C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别于y轴交于M，N两点，且，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；

【分析】（1）首先设抛物线，再代入即可.

（2）首先联立抛物线和直线得到，设，，，根据题意得到，再利用根系关系即可得到答案.

【详解】（1）∵平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，

设抛物线，

因为经过点，所以

故抛物线的方程为．

（2）如图所示：

由可得，

设，，

∵，∴，且，．

设抛物线C上存在点，使得直线，分别于y轴交于M，N两点，

且，则，．

，

∴，即，，

故存在点，使得成立．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)已知点，，点是曲线上任一点，求面积的最小值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用消参法即可求得曲线的普通方程，化简根据即可求得直线的直角坐标方程；

（2）设点的坐标为，求出及点到直线的距离的最小值，即可得出答案.

【详解】（1）解：曲线的参数方程（为参数）消去参数，

得；          

化简，得，

即，

由得直线的直角坐标方程为；

（2）解：，

设点的坐标为，

∴点到直线的距离，

当时，，

则面积的最小值是．

23．已知函数.

(1)当a＝1时，解关于x的不等式；

(2)已知，若对任意R，都存在R，使得成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2) .

【分析】(1)绝对值函数化为分段函数，分段求解不等式可得不等式的解集；

(2)将原问题转化为函数值域之间的包含关系问题，求出函数值域后，列出不等式可得实数a的取值范围.

【详解】（1）当时，，

则，

当时，由，得；

当时，恒成立；

当时，由≤6，得.

综上，的解集为.

（2）∵对任意R，都存在R，使得，

∴.

又，，

∴，解得或，

∴实数a的取值范围是.