初中数学北师大版八年级下册第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组4 一元一次不等式综合训练题

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【典例1】（2019•汉阳区期末）记R（x）表示正数x四舍五入后的结果，例如R（2.7）＝3，R（7.11）＝7，R（9）＝9，
（1）R（π）＝ 3 ，R（3）＝ 2 ；
（2）若R（12x﹣1）＝3，则x的取值范围是 7≤x＜9 ．
（3）R（R(x+2)2）＝4，则x的取值范围是 4.5≤x＜6.5 ．
【点拨】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式即可得到结果．
【解析】解：（1）R（π）＝3，R（3）＝2，
故答案为：3，2；
（2）∵R（12x﹣1）＝3，
∴2.5≤12x﹣1＜3.5，
解得：7≤x＜9，
故答案为：7≤x＜9；
（3）∵R（R(x+2)2）＝4，
∴3.5≤R(x+2)2＜4.5，
∴7≤R（x+2）＜9，
∴R（x+2）＝7或R（x+2）＝8，
∴6.5≤x+2＜8.5，
∴4.5≤x＜6.5，
故答案为：4.5≤x＜6.5．
【典例2】（2019•昌图县模拟）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣2，﹣1，0}＝﹣1；max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}=a(a≥-1)-1(a＜-1)根据以上材料，解决下列问题：
若max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}，则x的取值范围为 23≤x≤92 ．
【点拨】由max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}得5-3x≤32x-6≤3，解之可得．
【解析】解：∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}＝3，
∴5-3x≤32x-6≤3，
∴23≤x≤92，
故答案为23≤x≤92．
【典例3】（2019•金牛区校级月考）对x，y定义一个新运算T，规定：T（x，y）=ax+by2x+y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a×0+b×12×0+1=b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组T(2m，5-4m)≤4T(m3-2m)＞P恰好有5个整数解，则实数P的取值范围 -163≤P＜-113 ．
【点拨】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出p的范围．
【解析】解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，
∴a-b2+(-1)=-2，4a+2b2×4+2=1，
解得：a＝1，b＝3，
T（2m，5﹣4m）=2m+3(5-4m)4m+5-4m≤4，解得m≥-12，
T（m，3﹣2m）=m+3(3-2m)2m+3-2m＞P，解得m＜9-3p5，
∵关于m的不等式组T(2m，5-4m)≤4T(m3-2m)＞P恰好有5个整数解，
∴4＜9-3p5≤5，
∴-163≤P＜-113，
∴实数P的取值范围是-163≤P＜-113，
故答案为：-163≤P＜-113．
【典例4】（2019•西湖区校级月考）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．
（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范围是 ﹣4≤a＜﹣3 ．
（2）如果[y+12]=4，满足条件的所有正整数y有 7，8 ．
【点拨】（1）根据已知符号[a]表示不大于a的最大整数得出即可；
（2）根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集，再得出答案即可．
【解析】解：（1）∵[a]＝﹣3，
∴﹣4≤a＜﹣3，
故答案为：﹣4≤a＜﹣3；
（2）∵[y+12]=4，
∴4≤y+12＜5，
解得：7≤y＜9，
∴所有正整数y有7，8，
故答案为：7，8．
【典例5】（2019•岳麓区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2关联方程是 ③ （填序号）．
（2）若不等式组x-12＜11+x＞-3x+2的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 2x﹣2＝0
（写出一个即可）．
（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x-mx-2≤m的关联方程，试求出m的取值范围．
【点拨】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【解析】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x=13，
②解方程23x+1＝0得：x=-32，
③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，
解不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2得：34＜x＜72，
所以不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2的关联方程是③，
故答案为：③；
（2）解不等式x-12＜1得：x＜1.5，
解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，
则不等式组的解集为0.25＜x＜1.5，
∴其整数解为1，
则该不等式组的关联方程为2x﹣2＝0．
故答案为：2x﹣2＝0．
（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，
解方程3+x＝2（x+12）得x＝2，
解不等式组x＜2x-mx-2≤m得m＜x≤m+2，
∵方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x-mx-2≤m的关联方程，
∴1≤m＜2．
巩固练习
1．（2019•大石桥市期末）对于非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当m为非负整数时，若m-12≤x＜m+12，则[x]＝m，如：[6.4]＝6，[6.5]＝7，……根据以上材料，若[5x+3]＝5，则x应满足的条件是 0.3≤x＜0.5 ．
【点拨】根据“四舍五入”到个位的定义，根据不等式组即可解决问题．
【解析】解：由题意：5-12≤5x+3＜5+12，
解得0.3≤x＜0.5，
故答案为0.3≤x＜0.5．
2．（2019•大兴区期末）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[x+23]＝﹣5，则整数x的取值是 ﹣17，﹣16，﹣15 ．
【点拨】根据题意得出﹣5≤x+23＜-4，进而求出x的取值范围，进而得出答案．
【解析】解：∵[m]表示不大于m的最大整数，
∴﹣5≤x+23＜-4，
解得：﹣17≤x＜﹣14，
∴整数x为﹣17，﹣16，﹣15，
故答案为﹣17，﹣16，﹣15．
3．（2019•丹阳市期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+byx+2y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，侧如：T（1，0）=a×1+b×01+2×0=a．已知T（1，﹣1）＝1，T（5，﹣2）＝4，若关于m的不等式组T(2m，5-m)＜2T(4m，1-2m)≥12p恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 5＜p≤7 ．
【点拨】已知两对值代入T中计算求出a与b的值，然后根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可．
【解析】解：∵T（1，﹣1）＝﹣1，T（5，﹣2）＝4，
∴a-b1-2=1，5a-2b5-4=4，
解得：a＝2，b＝3，
∵T(2m，5-m)＜2T(4m，1-2m)≥12p，
∴m+1510＜22m+32≥12p，
∴m＜5m≥p-32，
∵有3个整数解，
∴1＜p-32≤2，
∴5＜p≤7，
故答案为5＜p≤7．
4．（2019•雁塔区校级期中）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如：[1.6]＝1，[π]＝3，[2.8]＝﹣3等[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x≤[x]+1．根据以上所述，则满足[x]＝2x﹣1的所有x的和为 1.5 ．
【点拨】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．
【解析】解：∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，
∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，
解得，0＜x≤1，
∵2x﹣1是整数，
∴x＝0.5或x＝1，
∴0.5+1＝1.5
故答案为：1.5．
5．（2019•西湖区校级月考）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．
（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范围是 ﹣4≤a＜﹣3 ．
（2）如果[y+12]=4，满足条件的所有正整数y有 7，8 ．
【点拨】（1）根据已知符号[a]表示不大于a的最大整数得出即可；
（2）根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集，再得出答案即可．
【解析】解：（1）∵[a]＝﹣3，
∴﹣4≤a＜﹣3，
故答案为：﹣4≤a＜﹣3；
（2）∵[y+12]=4，
∴4≤y+12＜5，
解得：7≤y＜9，
∴所有正整数y有7，8，
故答案为：7，8．
6．（2019•岳麓区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2关联方程是 ③ （填序号）．
（2）若不等式组x-12＜11+x＞-3x+2的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 2x﹣2＝0
（写出一个即可）．
（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x-mx-2≤m的关联方程，试求出m的取值范围．
【点拨】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【解析】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x=13，
②解方程23x+1＝0得：x=-32，
③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，
解不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2得：34＜x＜72，
所以不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2的关联方程是③，
故答案为：③；
（2）解不等式x-12＜1得：x＜1.5，
解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，
则不等式组的解集为0.25＜x＜1.5，
∴其整数解为1，
则该不等式组的关联方程为2x﹣2＝0．
故答案为：2x﹣2＝0．
（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，
解方程3+x＝2（x+12）得x＝2，
解不等式组x＜2x-mx-2≤m得m＜x≤m+2，
∵方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x-mx-2≤m的关联方程，
∴1≤m＜2．
7．（2019•玉州区期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①x﹣（3x+1）＝﹣5；②2x3+1＝0；③3x﹣1＝0中，不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2的关联方程是 ① （填序号）．
（2）若不等式组x-2＜11+x＞-x+2的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 x﹣2＝0 （写出一个即可）
（3）若方程12-12x=12x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x-mx-2≤m的关联方程，直接写出m的取值范围．
【点拨】（1）根据关联方程的定义可以解答本题；
（2）本题答案不唯一，写出的方程只要符合题意即可；
（3）根据题意可以求得m的取值范围．
【解析】解：（1）由不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2得，34＜x＜3.5，
由x﹣（3x+1）＝﹣5，解得，x＝2，故方程①x﹣（3x+1）＝﹣5是不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2的关联方程，
由2x3+1＝0得，x=-32，故方程②2x3+1＝0不是不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2的关联方程，
由3x﹣1＝0，得x=13，故方程③3x﹣1＝0不是不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2的关联方程，
故答案为：①；
（2）由不等式组x-2＜11+x＞-x+2，解得，0.5＜x＜3，则它的关联方程的根是整数是一个方程是x﹣2＝0，
故答案为：x﹣2＝0；
（3）由12-12x=12x，得x＝0.5，由3+x＝2（x+12）得x＝2，
由不等式组x＜2x-mx-2≤m，解得，m＜x≤2+m，
∵方程12-12x=12x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x-mx-2≤m的关联方程，
∴m＜0.52+m≥2，得0≤m＜0.5，
即m的取值范围是0≤m＜0.5．