专题01 特殊三角形常见辅助线作法-八年级数学下册解法技巧思维培优（北师大版）

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八下数学思维解法技巧培优小专题
专题1 特殊三角形常见辅助线作法
题型一 利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线
【典例1】（2019•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．

【点拨】作EF⊥AC于F，再根据等腰三角形的性质可得AF=12AC，再证明△ABE≌△AFE可得∠ABE＝∠AFE＝90°．
【解析】证明：作EF⊥AC于F，
∵EA＝EC，
∴AF＝FC=12AC，
∵AC＝2AB，
∴AF＝AB，
∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAE和△FAE中AB=AF∠BAD=∠CADAE=AE，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴∠ABE＝∠AFE＝90°．
∴EB⊥AB．

【典例2】（2019•武隆县校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于D．求证：CD＝AB+BD．

【点拨】在DC上取DE＝BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB＝AE，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠AEB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C＝∠CAE，再根据等角对等边的性质求出AE＝CE，然后即可得证．
【解析】证明：如图，在DC上取DE＝BD，
∵AD⊥BC，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
在△ACE中，∠AEB＝∠C+∠CAE，
又∵∠B＝2∠C，
∴2∠C＝∠C+∠CAE，
∴∠C＝∠CAE，
∴AE＝CE，
∴CD＝CE+DE＝AB+BD．

题型二 巧用特殊角构造含30°的直角三角形
【典例3】（2019•官渡区期末）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．

【点拨】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，根据AD＝4，BC＝1和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．
【解析】解：延长AD、BC交于E，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠E＝60°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
设CD＝CE＝DE＝x，
∵AD＝4，BC＝1，
∴2（1+x）＝x+4，
解得；x＝2，
∴CD＝2．

【典例4】（2019•彭泽县期中）如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，DC＝8，求△ABC的面积．

【点拨】由题意先求得∠B＝∠C＝30°，再由AD⊥AC，求得∠ADC＝60°，则∠BAD＝30°，然后得出AD＝BD，得到BC＝12，过A作AE⊥BC于E，求得AE=33BE＝23，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AC，DC＝8，
∴AD=12CD＝4，∠ADC＝60°，
∴∠B＝∠BAD＝30°，
∴AD＝BD＝4
∴BC＝12，
过A作AE⊥BC于E，
∴BE=12BC＝6，
∴AE=33BE＝23，
∴△ABC的面积=12BC•AE=12×12×23=123．

题型三 作平行线构造等腰三角形
【典例5】（2019•垦利区期末）已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．
（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

【点拨】（1）求出∠E＝∠CDE，推出CD＝CE，根据等腰三角形性质求出AD＝DC，即可得出答案；解：（1）AD＝CE，理由：过D作DF∥AB交BC于E，
（2）（1）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD＝CE，即可得到AD＝CE．
【解析】解：（1）AD＝CE，
证明：如图1，过点D作DP∥BC，交AB于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，
∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB＝∠CBD，
∴∠PDB＝∠DEC，
又∠BPD＝∠A+∠ADP＝120°，∠DCE＝∠A+∠ABC＝120°，
即∠BPD＝∠DCE，
在△BPD和△DCE中，∠PDB＝∠DEC，∠BPD＝∠DCE，DB＝DE，
∴△BPD≌△DCE，
∴PD＝CE，
∴AD＝CE；
（2）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，

∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，
∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB＝∠CBD，
∴∠PDB＝∠DEC，
在△BPD和△DCE中，∠PDB=∠DEC∠P=∠DCE=60°DB=DE，
∴△BPD≌△DCE，
∴PD＝CE，
∴AD＝CE．


题型四 截长补短构造等腰三角形
【典例6】（2019•西城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°，求证：BD+DC＝AB．

【点拨】延长BD到F，使BF＝BA，连接AF，CF，得出等边三角形ABF，推出AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，推出∠ACF＝∠AFC，得出∠DFC＝∠DCF，推出DC＝DF即可．

【解析】证明：延长BD到F，使BF＝BA，连接AF，CF，
∵∠ABD＝60度，
∴△ABF为等边三角形，
∴AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，
∴∠ACF＝∠AFC，
又∵∠ACD＝60°，
∴∠AFB＝∠ACD＝60°
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DC＝DF．
∴BD+DC＝BD+DF＝BF＝AB，
即BD+DC＝AB．
题型五 倍长中线法构造等腰三角形
【典例7】（2019•分宜县校级月考）如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．

【点拨】过B作BF∥AC交CE的延长线于F，由E为AB中点，得到AE＝EB，再由BF与AC平行，得到两对内错角相等，利用AAS得到△ACE≌△BFE，可得到CE＝EF，AC＝BF，即CF＝2CE，再由已知角相等，利用等角对等边得到AC＝AB，根据B为AD中点，得到AC＝AB＝BD＝BF，利用外角性质及等量代换得到夹角相等，利用SAS得到三角形CBD与三角形CBF全等，利用全等三角形对应边相等得到CD＝CF，等量代换即可得证．
【解析】证明：过B作BF∥AC交CE的延长线于F，

∵CE是中线，BF∥AC，
∴AE＝BE，∠A＝∠ABF，∠ACE＝∠F，
在△ACE和△BFE中，
∠A=∠ABF∠ACE=∠FAE=BE，
∴△ACE≌△BFE（AAS），
∴CE＝EF，AC＝BF，
∴CF＝2CE，
又∵∠ACB＝∠ABC，CB是△ADC的中线，
∴AC＝AB＝BD＝BF，
∵∠DBC＝∠A+∠ACB＝∠ABF+∠ABC，
∴∠DBC＝∠FBC，
在△DBC和△FBC中，
DB=FB∠DBC=∠FBCBC=BC，
∴△DBC≌△FBC（SAS），
∴DC＝CF＝2CE．
巩固练习
1．（2019•镇赉县期末）如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝3ED＝6，求AB的长．

【点拨】（1）过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，结论得证；
（2）证明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB＝4．
【解析】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．

∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
∵CD＝CB，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CE＝CF，
∴AC平分∠DAB．
（2）解：由（1）得BF＝DE，
∵CE＝CF，CA＝CA，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB＝AF﹣BF＝AE﹣DE，
∵AE＝6，DE＝2，
∴AB＝4．
2．（2019•恩平市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

【点拨】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解析】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中
BE=CF∠ABC=∠ACBBD=CE，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B=12（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°

3．（2019•萧山区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，AD⊥BC，∠ABC＝2∠C，试说明AB+BD＝CD的理由．

【点拨】由Rt△ABC中，∠B＝2∠C，可知∠B＝60°，∠C＝30°，易证BC＝2AB，由AD⊥BC，可知∠BAD＝30°，同理可知AB＝2BD，CD＝3BD，故可以推出AB+BD＝CD．
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠B＝2∠C，
∴∠B＝60°，∠C＝30°．
∴BC＝2AB．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°．
∴AB＝2BD．
∴BC＝4BD
∴CD＝3BD．
∴AB+BD＝CD．

4．（2019•泰安期末）如图，在△ABC中．AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．请说明：BM＝MN＝NC．

【点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AM＝BM，AN＝CN，继而求得∠B＝∠BAM＝30°，∠C＝∠CAN＝30°，则可求得∠MAN的大小；根据三角形外角的性质得：∠AMN＝∠ANM＝60°，易证得△AMN是等边三角形，则可证得BM＝MN＝NC．
【解析】解：连结AM，AN
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°
∵EM垂直平分AB
∴BM＝AM，
∴∠MAB＝∠B＝30°
∴∠AMB＝120°，
∴∠AMN＝60°
同理：CN＝AN，∠ANM＝60°∠AMN＝∠MAN＝∠ANM＝60°
∴△ANM是等边三角形
∴BM＝MN＝CN．

5．（2019•来宾期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．

【点拨】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB；
（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB．
【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°．
∵∠ABC＝∠D+∠BED，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝∠BED，
∴BD＝BE．
∴AE＝DB．
（2）解：AE＝DB；
理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：

∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFCDE=EC，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD．
6．（2019•集安市期末）如图，O是等边△ABC内的一点，已知∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）若α＝150°，试判定△AOD的形状，并说明理由；
（3）当△AOD是等腰三角形时，试求出α的度数．

【点拨】（1）根据旋转的性质得到CO＝CD，∠OCD＝60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边三角形；
（2）根据旋转的性质得到∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，再利用△COD是等边三角形得∠CDO＝60°，于是可计算出∠ADO＝90°，由此可判断△AOD是直角三角形；
（3）先利用α表示出∠ADO＝α﹣60°，∠AOD＝190°﹣α，再进行分类讨论：当∠AOD＝∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°﹣α＝α﹣60°；当∠AOD＝∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°﹣α）+α﹣60°＝180°；当∠ADO＝∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°﹣α+2（α﹣60°）＝180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．
【解析】（1）证明：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形；
（2）解：
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）解：
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝∠COD＝60°，
∴∠ADO＝α﹣60°，∠AOD＝360°﹣60°﹣110°﹣α＝190°﹣α，
当∠AOD＝∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°；
当∠AOD＝∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，解得α＝140°；
当∠ADO＝∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°﹣α+2（α﹣60°）＝180°，解得α＝110°，
综上所述，∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
7．（2019•邹城市期末）如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．

【点拨】（1）根据ASA可证明△ABE≌△CAD；
（2）求出∠BAC＝50°，则求出∠BAD＝75°，可求出答案．
【解析】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
∵∠ABE＝∠CAD，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAD（ASA）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
又∵∠ABE＝∠CAD＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝50°+25°＝75°，
∵AB∥CD，