北京市丰台区东铁匠营第二中学2022-2023学年九年级上学期数学第三次月考测试题(含答案)

这是一份北京市丰台区东铁匠营第二中学2022-2023学年九年级上学期数学第三次月考测试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市丰台区东铁匠营第二中学
2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（本题共16分）
1．随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（　　）

A．50° B．100° C．130° D．150°
3．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象的特征，下列描述正确的是（　　）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
4．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）

A．π B．π C．π D．π
6．某口袋放有编号1～6的6个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次摸到的球相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（　　）

A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．③④ D．①④
二、填空题（本题共16分）
9．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2）关于原点对称的点是B，则线段AB的长为 　 　．
10．将抛物线y＝2x2先向上平移一个单位长度，再向下平移一个单位，得到的抛物线的表达式为 　 　．
11．用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 　 　．
12．若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线．y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1　 　y2．（选填“＞”“＜或“＝”）
13．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧上一点，若∠P＝40°，则∠Q的度数是 　 　．

14．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是　 　．
15．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率为 　 　．


16．某游乐园的摩天轮（如图1）有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心O顺时针方向转动，转一圈为18分钟．从小刚由登舱点P进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点　 　处（填A，B，C或D），此点距地面的高度为　 　m．

三、解答题（共68分）
17．解方程：2x2﹣9x+10＝0．
18．已知：如图，A为⊙O上的一点．
求作：过点A且与⊙O相切的一条直线．
作法：
①连接OA；
②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O的一个交点为B，作射线OB；
③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知BO＝BA＝BP．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴∠OAP＝90°（ 　 　）（填推理的依据）．
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切（ 　 　）（填推理的依据）．

19．已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1经过点（2，1）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向上平移 　 　个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
（3）当0≤x≤4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．

21．一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P1；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P2．
请你猜想P1，P2的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．
22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每下降1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场通过销售这批衬衫每天获利1200元，那么衬衫的单价应下降多少元？
23．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．
（1）图中点B表示篮筐，其坐标为 　 　，篮球行进的最高点C的坐标为 　 　；
（2）求篮球出手时距地面的高度．


24．如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．

25．阅读理解：
某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
﹣2
﹣
m
2
1
2
1
﹣
﹣2
…
其中m＝　 　；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象，回答下列问题：
①当﹣1≤x＜1时，则y的取值范围为 　 　；
②直线y＝kx+b经过点（1，2），若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是 　 　．



26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x．
（1）若抛物线过点（2，0），求抛物线的对称轴；
（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点．
①当x1+x2＝4时，y1＝y2，求a的值；
②若对于x1＞x2＞﹣2，都有y1＜y2，求a的取值范围．
27．在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2） 如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．

28．如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．

在平面直角坐标系xOy中：
（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．
①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点 　 　是△AOB关于点B的内联点；
②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；
（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共16分）
1．解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：B．
3．解：∵y＝﹣（x﹣1）2，
∴抛物线开口向下，顶点为（1，0），对称轴为直线x＝1，
故选：D．
4．解：根据题意，得
a﹣1+a2﹣a＝0，
解得，a＝1或﹣1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣1．
故选：A．
5．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∴S阴影部分＝＝．
故选：A．
6．解：画树状图如下：

共有36种等可能的结果，其中两次摸到的球相同的结果有6种，
∴两次摸到的球相同的概率为＝，
故选：C．
7．解：∵AB＝300cm，BC＝400cm，AC＝500cm，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∵点D是斜边AC的中点，
∴AD＝CD＝250cm，BD＝AC＝250cm，
∵250＜300，
∴点A、B、C都在圆内，
∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C．
故选：D．
8．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正确．
∵抛物线顶点为A（2，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵抛物线过点（5，0），
∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，②错误，
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a
∵（2，m）为抛物线顶点，
∴4a+2b+c＝m，
∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，
∵点C（t，n）在抛物线上，
∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，
∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．
故选：B．
二、填空题（本题共16分）
9．解：点A（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2）．
∴AB＝＝＝2．
故答案为：2．
10．解：抛物线y＝2x2先向上平移一个单位长度的解析式为：y＝2x2+1，
y＝2x2+1向下平移一个单位的解析式为：y＝2x2+1﹣1＝2x2，
故答案为：y＝2x2．
11．解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得：r＝1．
故答案为：1．
12．解：将A（﹣1，y1），B（2，y2）代入y＝2x2得y1＝2，y2＝8，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
13．解：连接OA、OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠Q＝∠AOB＝×140°＝70°，
故答案为：70°．

14．解：如图，连接OD、OE；
因为AB、AC切圆O与E、D，
所以OE⊥AB，OD⊥AC，
又因为AO＝AO，
EO＝DO，
所以△AEO≌△ADO（HL），
故∠DAO＝∠EAO；
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝60°×＝30°，
∴OD：AO＝1：2．
有OF＝OD，
所以AF＝2+1＝3，
所以内切圆半径、外接圆半径和高的比是1：2：3．

15．解：由图可知，随着“摸球游戏”的次数增多，“摸出黑球”的频率逐渐稳定在0.2左右，
所以，“摸出黑球”的概率为0.2，
故答案为：0.2．
16．解：连接OC，
由图2知，∠POC＝360°﹣360°×＝120°＜180°，而∠POD＜90°，
故到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点 C处，
过C作CF⊥PF于F，过O作OE⊥CF于E，
则四边形OPFE是矩形，
∴EF＝OP＝88＝44，∠POE＝90°，
∴∠COE＝30°，
∴CE＝OC＝22，
∴点C距地面的高度为（100﹣88）+22+44＝78m，
故答案为：C，78．

三、解答题（共68分）
17．解：这里a＝2，b＝﹣9，c＝10，
∵Δ＝（﹣9）2﹣4×2×10＝1＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝2．
18．解：（1）如图，直线PA即为所求；

（2）连接BA．
由作法可知BO＝BA＝BP．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴∠OAP＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切（过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
19．（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0，
∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，
即该方程总有两个实数根；
（2）设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2，依题意得：
x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，
∴（x1﹣x2）2＝32，
x12﹣2x1x2+x22＝9，
x12+x22＝9+2x1x2＝9+2（1﹣m）＝11﹣2m，
∵（x1+x2）2＝（m﹣2）2，
∴x12+2x1x2+x22＝m2﹣4m+4，
∴11﹣2m+2（1﹣m）＝m2﹣4m+4，
整理得：m2＝9，
解得：m＝3或m＝﹣3，
∵m＜0，
∴m＝﹣3．
20．解：（1）把点（2，1）代入y＝a（x﹣3）2﹣1中，
得：1＝a（2﹣3）2﹣1，
解得a＝2，
∴y＝2（x﹣3）2﹣1；
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为（3，﹣1），

∴把该抛物线向上平移1个单位后，与x轴的交点个数位1，
故答案为：1；
（3）由图象可知：当0≤x≤4时，y≥﹣1．
21．解：猜想P1＜P2，理由如下：
活动1，画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种，
∴P1＝＝；
活动2，画树状图如下：

共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
∴P2＝，
∵＝＜，
∴P1＜P2．
22．解：设衬衫的单价应下降x元，
由题意得：1200＝（20+2x）×（40﹣x），
解之，得：x＝20或10，
∴每天可售出（20+2x）＝60或40件；
经检验，x＝20或10都符合题意．
∵为了扩大销售，增加盈利，
∴x应取20元．
答：衬衫的单价应下降20元．
23．解：（1）∵篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m，
∴点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；
故答案为：（4.5，3.05），（3，3.3）；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，
把B（4.5，3.05）代入得，3.05＝a（4.5﹣3）2+3.3，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，
当x＝0时，y＝2.3，
答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．
24．（1）证明：连接OD．

∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠OED＝∠AOC，∠ODE＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD．
在△AOD和△AOC中，
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACO．
∵AC与⊙O相切于点C，
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵CE＝6，
∴OE＝OD＝OC＝3．
在Rt△ODB中，BD＝4，OD＝3，
∴BD2+OD2＝BO2，
∴BO＝5，
∴BC＝BO+OC＝8．
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD＝AC．
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
即：AC2+82＝（AC+4）2，
解得：AC＝6．
25．解：（1）∵当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2×|﹣2|+1＝1，
∴m＝1．
故答案为：1；
（2）利用平滑的曲线连接各点即可画出该函数的图象，如图，

（3）①观察图象可知：当﹣1≤x＜1时，函数y的最大值为2，最小值为1，
∴y的取值范围为，：1≤y≤2．
故答案为：1≤y≤2；
②∵关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝kx+b有4个互不相等的实数根，
∴直线y＝kx+b与函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象有四个交点，
∵直线y＝kx+b经过点（1，2），
∴直线y＝kx+b与y轴的交点在（0，1）和（0，2）之间，
∴b的取值范围是：1＜b＜2．
故答案为：1＜b＜2．
26．解：（1）∵函数图象过点（2，0），
∴0＝4a﹣2（a+1），
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x，
对称轴x＝﹣＝﹣＝1，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1．

（2）①∵x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，
二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，
∴，
∴．
②由题意可知，对于任意的x≥﹣2，y随x的增大而减小，从而：，
解得：．
27．解（1）图形如图所示．
过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，
∵∠DEF＝∠C＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，
∴HB＝EC＝2，
∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．
（2）结论：BF+BD＝BE．

理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，
∵∠DEF＝∠DCE＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，
∴HB＝EC＝HF，
∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，
∵HE+BH＝BE，
∴BF+BD＝BE．
28．解：（1）①如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图象可知，点O，点C是△AOB关于点B的内联点．

故答案为：O，C．
②如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，

当点B′（7，8）时，以AB′为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，
观察图象可知，满足条件的n的值为1≤n≤8．
（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，过点F作FN⊥y轴于N．

∵E（4，2），
∴OH＝4，EH＝2，
∴OE＝＝2，
当OF⊥OE时，点O是△OEF关于点E的内联点，
∵∠EOF＝∠NOH＝90°，
∴∠FON＝∠EOH，
∵∠FNO＝∠OHE＝90°，
∴△FNO∽△EHO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FN＝，ON＝，
∴F（﹣，），
观察图象可知当﹣≤m≤0时，满足条件．
作点F关于点O的对称点F′（，﹣），
当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，
∵∠EF″O＝∠EHO＝90°，OE＝EO，EH＝OF″，
∴Rt△OHE≌△EF″O（HL），
∴∠EOH＝∠OEF″，
∴PE＝OP，PE＝OP＝t，
在Rt△PEH中，则有t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴OP＝，PH＝PF″＝，
可得F″（，﹣），
观察图象可知，当≤m≤时，满足条件．
综上所述，满足条件的m的取值范围为﹣≤m≤0或≤m≤．