期末模拟卷02（全国通用）-八年级数学下学期期末复习宝典（北师大版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．试卷满分120分，考试时间100分钟。
一．选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下列式子：，，，，其中分式的数量有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【分析】
根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．
【详解】解：，是分式，共2个，
故选B．
2. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
3. 若a＞b，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. 3-a＞3-bC. 2a＜2bD. b-a＞0
【分析】根据不等式的性质即可判断.
【详解】∵a＞b，
∴，正确；
∴3-a＜3-b，故B错误；
∴2a＞2b，故C错误；
b-a＜0，故D错误；
故选A.
4. 等腰中，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【分析】
根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．
【详解】∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠A=180°-2∠B=180°-2×70°=40°．
故选：A．
5. 下列多项式中，不能因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
分析】
直接利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断即可．
【详解】解：A、ab-a=a（b-1），能够分解因式，故此选项不合题意；
B、a2-9=（a+3）（a-3），能够分解因式，故此选项不合题意；
C、a2+2a+5，不能因式分解，故本选项符合题意；
D、4a2+4a+1=（2a+1）2，能够分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
6. 不等式组：的解集用数轴表示为（ ）
A B.
C. D.
【解析】
解不等式组中的两个不等式，可得x＞2，x≤4，
故不等式组的解集是2＜x≤4，
在数轴上表示出不等式组的解集：
故选A.
7. 下列命题的逆命题不是真命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 平行四边形的对角线互相平分D. 等边三角形的三条边相等
【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
【详解】解：A、逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题；
B、逆命题是：两角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
C、逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
D、逆命题是：三条边相等的三角形是等边三角形，是真命题；
故选A．
8. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【分析】
直角利用平移中点的变化规律进行解答即可．
【详解】解：∵将点（-1.2）先向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，
∴平移后得到的点是（-1-2，2-3），即（-3，-1）．
故答案为C．
9. 如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（ ）
A. 3B. 4
C. 5D. 6
【分析】
过点D作DH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得DH=DP=4，再根据三角形的面积即可求出结果．
【详解】解：过点D作DH⊥OB于点H，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，
∴DH=DP=4，
∴△ODQ的面积=．
故选：D．
10. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个
C. 3个D. 4个
【分析】
由，得出∠BAC=90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAE=150°，由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，得出四边形AEFD是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③正确；∠FDA=180°－∠DFE=30°，过点作于点，，则④不正确；即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
又∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；
∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，
过点作于点，
∴，
故④不正确；
∴正确的个数是3个，
故选：C．
二、填空（每小题3分，共计24分）
11. 因式分解：_______．
【分析】
原式提取公因式x即可得到结果．
【详解】解：原式=x（x-2），
故答案为：x（x-2）．
12. 一个多边形的内角和等于它外角和的7倍，则这个多边形的边数为_________．
【详解】设多边形的边数为n，依题意，得：
(n−2)⋅180°=7×360°，
解得n=16，
故答案为16.
13．如图，在三角形纸片△ABC中，AC=BC，∠B=70°，将△ABC沿线段DE所在直线对折，使点A、点C重合，连接AE，则∠EAB的度数是 度．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴CE=AE，
∴∠C=∠CAE，
∵AC=BC，∠B=70°，
∴∠C=40°，
∴∠CAE=40°，
∴∠BAE=30°，
故答案为：30．
14. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=32°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，则旋转角的度数为______．
【分析】先利用互余计算出∠BAC=58°，再利用旋转的性质得CA=CA′，∠A′=∠BAC=58°，∠ACA′等于旋转角，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACA′的度数即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=32°，
∴∠BAC=58°，
∵以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，
∴CA=CA′，∠A′=∠BAC=58°，∠ACA′等于旋转角，
∴∠CAA′=∠A′=58°，
∴∠ACA′=180°-58°-58°=64°，
即旋转角的度数为64°．
故答案为：64°．
15. 已知函数y1=k1x+b1与函数y2=k2x+b2的图象如图所示，则不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是________．
【分析】
利用函数图象，写出函数y1=k1x+b1的图象在函数y2=k2x+b2的图象下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象得，当x＜1时，y1＜y2，即k1x+b1＜k2x+b2；
故答案为：x＜1
17. 如图，小芳作出了边长为1的第1个正△A1B1C1．然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2；用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，……，由此可得，第个正△AnBnCn的边长是___________．
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，分别求出各三角形的边长，再根据等边三角形的边长的变换规律求解即可．
【详解】解：由题意得，△A2B2C2的边长为
△A3B3C3的边长为
△A4B4C4的边长为
…，
∴△AnBnCn的边长为
故答案为：
三、解答题（共计66分）
17. （6分）分解因式：
①ax+ay-az ②4
【分析】①根据提公因式法进行因式分解即可；
②利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：①ax+ay－az=a(x+y－z)；
②4
=[2(m+n)+(m－n)][2(m+n)－(m－n)]
=(3m+n)(m+3n)．
18. （6分）解不等式组，并将不等式组的解集在下面的数轴上表示出来：．
【分析】
分别解两个不等式得两个不等式的解集，然后根据确定不等式组解集的方法确定解集，最后利用数轴表示其解集．
【详解】
由（1）可得
由（2）可得
∴原不等式组解集为
19. （6分）如图，在中，．

（1）用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，，求的周长．
【分析】
（1）作线段BC的垂直平分线，交AB于点P,点P即为所求；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出△APC的周长为=AP+PB+AC= AB+AC，进而得出答案．
【详解】解：（1）如下图所示：
（2）连接如下图所示：
由题易知，并且由（1）知
所以
20. （7分）先化简代数式()×，请你在3，-2，0，1当中选取一个合适的值，代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【详解】解：()×
，
∵且，
当时，原式．
21. （7分）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，在图（1）中画出第二次平移后的图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，在图（2）画出旋转后的图形△AB2C2；
（3）我们发现点B、B2关于某点中心对称，对称中心的坐标是 ．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2即可；
（3）确定BB2的中点即可．
【详解】解：（1）如图（1），△A1B1C1为所作；
（2）如图（2），△AB2C2为所作；

（3）点B、B2关于某点中心对称，观察坐标系，找到BB2的中点就是对称中心，坐标是（﹣1，﹣2）．
故答案为（﹣1，﹣2）．
22. （7分）如图，D是△ABC内一点，连接DB、DC、DA，并将AB、DB、DC、AC的中点E、H、G、F依次连接，得到四边形EHGF．
（1）求证：四边形EHGF是平行四边形；
（2）若BD⊥CD，AD＝7，BD＝8，CD＝6，求四边形EHGF的周长．
【分析】
（1）证EF是△ABC的中位线，HG是△DBC的中位线，得出EF∥BC，EF=BC，HG∥BC，HG=BC，则EF∥HG，EF=HG，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出BC=10，则EF=GH=BC=5，由三角形中位线定理得出EH= AD=，即可得出答案．
【详解】证明：（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC．
∵H、G分别是DB、DC的中点，
∴HG∥BC，HG＝BC．
∴HG＝EF，HG∥EF．
∴四边形EHGF是平行四边形．
（2）∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，
∴BC＝＝＝10，
∵E、F、H、G分别是AB、AC、BD、CD的中点，
∴EH＝FG＝AD＝3.5，
EF＝GH＝BC＝5，
∴四边形EHGF的周长＝EH＋GH＋FG＋EF＝17．
23. （8分）李大伯响应国家保就业保民生政策合法摆摊，他预测某品牌新开发的小玩具能够畅销，就用3000元购进了一批小玩具，上市后很快脱销，他又用8000元购进第二批小玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每个进价贵了5元．
（1）求李大伯第一次购进的小玩具有多少个？
（2）如果这两批小玩具的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每个小玩具售价至少是多少元？
【分析】
（1）设李大伯第一次购进的小玩具有x个，则第二次购进的小玩具有2x个，根据单价=总价÷数量结合第二次购进的单价比第一次贵5元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每个小玩具售价是y元，根据利润=销售收入-成本结合总利润率不低于20%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设李大伯第一次购进的小玩具有x个，由题意得：
，
解这个方程，得．
经检验，是所列方程的根．
答：李大伯第一次购进的小玩具有200个．
（2）设每个小玩具售价为元，由题意得：
，
解这个不等式，得，
答：每个小玩具的售价至少是22元．
24. （9分）已知一次函数，．
（1）若关于的方程的解是负数，求的取值范围；
（2）若以、为坐标的点是已知两个一次函数图象的交点，求的值；
（3）若，求、的值．
【分析】
（1）把，代入中，解出x，求出a即可；
（2）联立方程组求出x，y，代入求职即可；
（3）整理式子可得，解得即可；
【详解】（1）∵，，
∴，即为，
解得，
又∵的解是负数，
∴，
解得．
（2）∵，解得
∴
（3）∵，
又∵，
∴，
解得．
25. （10分）【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线夹角（小于等于的角）与旋转角的关系．
【问题初探】线段绕点顺时针旋转得线段，其中点与点对应，点与点对应，旋转角的度数为，且．
（1）如图（1）当时，线段、所在直线夹角为______．
（2）如图（2）当时，线段、所在直线夹角为_____．
（3）如图（3），当时，直线与直线夹角与旋转角存在着怎样的数量关系？请说明理由；
【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____．
【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题：
（4）如图（4），四边形中，，，，，，试求的长度．
【分析】
（1）通过作辅助线如图1，延长DC交AB于F，交BO于E，可以通过旋转性质得到AB=CD，OA=OC，BO=DO，证明△AOB≌△COD，进而求得∠B=∠D得∠BFE=∠EOD=90°
（2）通过作辅助线如图2，延长DC交AB于F，交BO于E，同（1）得∠BFE=∠EOD=60°
（3）通过作辅助线如图3，直线与直线所夹的锐角与旋转角互补， 延长，交于点通过证明得，再通过平角的定义和四边形内角和定理，证得；
形成结论：通过问题（1）（2）（3）可以总结出旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线夹角与旋转角相等或互补；
（4）通过作辅助线如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点，可得，进一步得到△BDF是等边三角形，，再利用勾股定理求得.
【详解】（1）解：（1）如图1，延长DC交AB于F，交BO于E，
∵α=90°
∴∠BOD=90°
∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=90°
故答案为90°
（2）如图2，延长DC交AB于F，交BO于E，
∵α=60°
∴∠BOD=60°
∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=60°
故答案为60°
（3）直线与直线所夹的锐角与旋转角互补，
延长，交于点
∵线段绕点顺时针旋转得线段，
∴，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴直线与直线所夹的锐角与旋转角互补；
形成结论：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补；
（4）将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点，
∴旋转角为，
∴，，，
∴△BDF是等边三角形，
∵，，
∴，
∴.