沪科版八年级下册第17章 一元二次方程17.4 一元二次方程的根与系数的关系精品ppt课件

这是一份沪科版八年级下册第17章 一元二次方程17.4 一元二次方程的根与系数的关系精品ppt课件，共21页。PPT课件主要包含了复习引入，x1·x2-4，x1·x26，将二次项系数化为1，猜一猜，证一证，归纳总结，练一练，拓展提升，由根与系数的关系得等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac.当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程无实数根.
算一算 解下列方程并完成填空：(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
x1 + x2 = -3
x1 + x2 = 5
探索一元二次方程的根与系数的关系
（1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
重要发现方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以发现什么结论？
注：b2 - 4ac≥0↗
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1，x2，那么
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0； （2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解:（1）设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = -7，x1·x2 = 6. （2）设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = ，x1·x2 = -1.
一元二次方程的根与系数的关系的应用
例2 已知方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 由韦达定理，得 x1·x2 = 2x2 = ， ∴ x2 = 则 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7.答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7.
变式：已知方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1. 由韦达定理，得 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， ∴ x2 = 5 . 又 x1·x2 = 1×5 = ， 解得 m = 15.答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15.
例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则(1) x1 + x2 = ；(2) x1·x2 = ；(3) ；(4) .
例4 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0， 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2 - 8k + 4 = 4. 解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0.
有关韦达定理的常见的求值式子如下：
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = .
3. 已知方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另 一个根及 m 的值.
解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0. 解得 m = 16. 设另一个根为 x1，则有 1 · x1 = ∴ x1 =
4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0的两个根，且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4. （1）求 k 的值； （2）求 (x1 - x2)2 的值.
解：（1）根据韦达定理，得 ∴ (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 = 解得 k = -7.
（2）∵ k = -7，∴ 则
5. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2)
解：由根与系数的关系，得（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 =（2）
6. 当 k 为何值时，方程 2x2 - kx + 1 = 0 的两根之差为 1？
解：设方程两根分别为 x1，x2 (x1 > x2)，则 x1 - x2 = 1.
∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1，
7. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2 - 2mx + m - 2 = 0. （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （2）若方程两根 x1，x2 满足 |x1 - x2| = 1，求 m 的值.
解:（1）∵ 方程有实数根， ∴ Δ = (-2m)2 - 4m(m - 2) = 4m2 - 4m + 8m = 8m≥0. ∵ m ≠ 0 ∴ m 的取值范围是 m＞0.
解得 m = 8，符合题意.
∵ |x1 - x2| = 1，