陕西省西安市碑林区西北工大附中2022年中考数学十模试卷(含答案)

这是一份陕西省西安市碑林区西北工大附中2022年中考数学十模试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省西安市碑林区西北工大附中2022年中考数学十模试卷(解析版)
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．﹣的绝对值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
2．如图，几何体的左视图是（　　）


A． B． C． D．
3．如图，AB∥CD，∠CED＝90°，∠AEC＝35°，则∠D的大小（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
4．计算（x﹣3y）2的结果是（　　）
A．x2﹣9y2 B．x2﹣3xy+9y2 C．x2﹣6xy+3y2 D．x2﹣6xy+9y2
5．将正比例函数y＝kx（k≠0）的图象沿x轴向右平移3个单位后经过点（1，﹣3），则k的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
6．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线，AE为CD边上的中线，若BC＝4，则AE的长为（　　）

A． B． C． D．3
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
8．一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（　　）

A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．的平方根是　 　．
10．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设⊙O的半径为2，若用⊙O的内接正六边形的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为 　 　（结果保留根号）．

11．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E、F分别在AD、BC边上，若AE＝AD，EF将矩形ABCD面积分成相等的两份，则的值为 　 　．

12．在平面直角坐标系中，A（2，a2），B（﹣2，﹣a2），C（2，﹣b2）是反比例函数y＝与y＝﹣的图象上的点，则b＝　 　．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线BD的中点，点F为BC所在直线上方一点，连接BF、CF、EF，若∠BFC＝30°，则EF长的最大值为 　 　．

三、解答题（共13小题，计81分。解答题应写出过程）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）解方程：．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在BC上，请利用尺规作图法，求作∠BEF，使得∠BEF＝∠BAD，EF与AB边交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，∠ABE＝∠DBC＝90°，AB＝BE，BD＝BC．求证：∠ADB＝∠C．

19．（5分）某学校用33000元购进甲、乙两种医用口罩共计1000盒，免费发放给全校师生，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒，求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
20．（5分）李优为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．
（1）转动一次B盘，转出蓝色的概率为 　 　．
（2）利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率．（这里红、白、黄、绿、蓝分别用字母A、B、C、D、E表示）

21．（6分）张红武和学习小组的同学们想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵树的高度，经讨论之后大家决定用以下方法进行测量：首先准备一长方形的笔记本和一根笔直的长约30厘米的木条．测量时，如图，由一位同学把笔记本拿在手里（笔记本封面所在平面在竖直平面内），另一位同学沿笔记本DA边观察树的顶端，调整角度之后使树的顶端M与DA边在一条直线上．这时让木条的一端与点A重合．用手捏住这一端，并使木条自然下垂，这时木条与BC边交于点E．经测量点A到地面的距离为1.2米，笔记本的长AD＝20厘米，宽AB＝14厘米，BE＝8厘米．一位同学从点A的正下方走向树的底部共走了21步，若该同学每一步的长为40厘米，请求出这棵树（MN）的高度．

22．（7分）为了了解学生的排球垫球训练情况，某中学体育组从参加排球训练的所有学生的排球成绩（一分钟垫球个数）中，随机抽取了60名学生的排球成绩，根据成绩分布情况，他们将抽取的全部成绩分成A、B、C、D、E五组，绘制了如下统计图表：
组别
一分钟垫球个数/个
频数
A
0≤x＜10
m
B
10≤x＜20
4
C
20≤x＜30
n
D
30≤x＜40
26
E
40≤x＜50
10
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）这60名学生一分钟垫球个数的中位数落在 　 　组；
（3）该校共有450名学生参加排球训练，请估计这些学生中一分钟垫球个数不少于30个的人数．

23．（7分）西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻名．袁浪浪家种植了A，B两个品种的樱桃共4亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如表：
品种
种植成本（万元/亩）
设备成本（万元/亩）
售价（万元/亩）
A
1
0.2
3.5
B
1.5
0.3
4.2
设种植A品种樱桃x亩，若4亩地全部种植两种樱桃共获得利润y万元（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，则A品种樱桃种植多少亩时利润最大？并求最大利润．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，经过点C的⊙O与边AB相切于点E，与边AC、BC分别交于点D、点F，连接OA，＝2．
（1）求证：CF＝CD；
（2）若CD＝2，求OA的长度．

25．（8分）如图，抛物线l的顶点C在y轴上，点A，B为抛物线上关于y轴对称的两点，线段AB交y轴于点D，AB＝4，OC＝2，OD＝4．
（1）求抛物线l的函数表达式；
（2）将抛物线l平移到抛物线l′，设平移后点A，B的对应点为A'，B'，若点A落在直线x＝1上，且以A、B、A'、B′为顶点的四边形是菱形，试确定平移后抛物线l'的表达式．

26．（10分）问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是CD边上的一点，连接BE，将△BCE沿BE所在直线翻折，点C的对应点落在AD边上的点F处，求EF的长．
问题解决：
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD沿BD所在直线翻折，点A的对应点为A'，连接A′C，若AC＝8，则△BCA′的面积是否存在最大值，如果存在，求出面积的最大值，并求出此时，∠BDC的度数，如果不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．﹣的绝对值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣|＝．
故选：D．
【点评】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．如图，几何体的左视图是（　　）


A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是一个矩形，矩形的中间靠上有一条横向的虚线．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．如图，AB∥CD，∠CED＝90°，∠AEC＝35°，则∠D的大小（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据平角等于180°求出∠BED，再根据两直线平行，内错角相等解答．
【解答】解：∵∠CED＝90°，∠AEC＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠CED﹣∠AEC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BED＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质是解题的关键．
4．计算（x﹣3y）2的结果是（　　）
A．x2﹣9y2 B．x2﹣3xy+9y2 C．x2﹣6xy+3y2 D．x2﹣6xy+9y2
【分析】直接利用完全平方公式化简即可得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣6xy+（3y）2
＝x2﹣6xy+9y2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确运用公式是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
5．将正比例函数y＝kx（k≠0）的图象沿x轴向右平移3个单位后经过点（1，﹣3），则k的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】根据“左加右减”平移规律写出新函数解析式，然后利用待定系数法求得k的值．
【解答】解：将正比例函数y＝kx（k≠0）的图象沿x轴向右平移3个单位后得到函数：y＝k（x﹣3）．
将点（1，﹣3）代入y＝k（x﹣3），得k（1﹣3）＝﹣3．
解得k＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换．此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线，AE为CD边上的中线，若BC＝4，则AE的长为（　　）

A． B． C． D．3
【分析】根据勾股定理求出AB，根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AD＝BD＝AB＝2，CD⊥AB，求出DE，再根据勾股定理求出AE即可．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝＝＝4，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD＝AB＝2，CD⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵AE是CD边上的中线，
∴DE＝CE＝CD＝，
∴AE＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AD＝CD，
∴，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，
设∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
即3x+75°＝180°，
解得：x＝35°，
∴∠DBC＝35°，
在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，
∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
8．一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（　　）

A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
【分析】当y＝3.05时，代入解析式3.05＝﹣0.2x2+3.5，解得x＝1.5m，求得4﹣1.5＝2.5，当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，即可得到结论．
【解答】解：当y＝3.05时，
即3.05＝﹣0.2x2+3.5，
解得：x＝1.5m，
∴4﹣1.5＝2.5，
当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，
∴2.25﹣0.25﹣1.8＝0.2m，
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，求出球出手时，对应的横坐标，代入表达式是解题关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．的平方根是　±　．
【分析】直接根据正数的平方根的意义解答即可．
【解答】解：的平方根是±．
故答案为：±．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设⊙O的半径为2，若用⊙O的内接正六边形的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为 　　（结果保留根号）．

【分析】连接OA、OB，根据正多边形和圆的关系可判断出△OAB为等边三角形，过点O作OM⊥AB于点M，再利用勾股定理即可求出OM长，进而可求出△AOB的面积，最后利用⊙O的面积约为6S△AOB即可计算出结果．
【解答】解：如图，连接OA、OB，

由题意可得：∠AOB＝360÷6＝60°，
∵OA＝OB＝2，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝2，
过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝BM＝1，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴S△AOB＝＝，
∴⊙O的面积约为：6S△AOB＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正多边形与圆、等边三角形的性质、直角三角形的性质等，正确应用正六边形的性质是解题关键．
11．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E、F分别在AD、BC边上，若AE＝AD，EF将矩形ABCD面积分成相等的两份，则的值为 　　．

【分析】过点E作EH⊥BC于点H，由矩形的判定与性质得出AE＝BH，AB＝EH，由EF将矩形ABCD面积分成相等的两份，得出AE＝CF，DE＝CH，设AE＝a，则BH＝a，CF＝a，由AE＝AD，得出AD＝BC＝4a，由AD＝2AB，得出AB＝2a，进而得出HF＝2a，由勾股定理求出EF＝2a，代入计算即可求出＝．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，
∵EH⊥BC，
∴∠EHB＝90°，
∴四边形ABHE是矩形，
∴AE＝BH，AB＝EH，
∵EF将矩形ABCD面积分成相等的两份，
∴AE＝CF，DE＝CH，
设AE＝a，则BH＝a，CF＝a，
∵AE＝AD，
∴AD＝BC＝4a，
∵AD＝2AB，
∴AB＝2a，
∴HF＝BC﹣BH﹣CF＝4a﹣a﹣a＝2a，
∴EF＝＝＝2a，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
12．在平面直角坐标系中，A（2，a2），B（﹣2，﹣a2），C（2，﹣b2）是反比例函数y＝与y＝﹣的图象上的点，则b＝　±2　．
【分析】根据图象上点的坐标特征判断A（2，a2），B（﹣2，﹣a2）是反比例函数y＝的图象上的点，C（2，﹣b2）是反比例函数y＝﹣的图象上的点，即可得到﹣2b2＝﹣8，解得b＝±2．
【解答】解：∵A（2，a2），B（﹣2，﹣a2），C（2，﹣b2）是反比例函数y＝与y＝﹣的图象上的点，且
∴2•a2＝﹣2•（﹣a2）＝2a2＞0，2•（﹣b2）＝﹣2b2＜0，
∴A（2，a2），B（﹣2，﹣a2）是反比例函数y＝的图象上的点，C（2，﹣b2）是反比例函数y＝﹣的图象上的点，
∴﹣2b2＝﹣8，
∴b＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线BD的中点，点F为BC所在直线上方一点，连接BF、CF、EF，若∠BFC＝30°，则EF长的最大值为 　2+2　．

【分析】利用过圆内一点作直径，得到过该点的线段的最大值，再利用解直角三角形求解．
【解答】解：以BC为边在正方形内作等边三角形OBC，以O为圆心作⊙O，在圆上取点F，则∠BFC＝30°，如图所示：

当点F是过点E的直径的端点时，EF取最大值，此时，OE⊥BC于点H．
∵BH＝2，∠BOH＝30°，
∴OB＝OF＝4，OH＝2．
在等腰直角三角形BHE中，HE＝BH＝2．
∴EF＝OH+OF﹣HE＝2+2．
故答案为：2+2．
【点评】本题考查了点与圆的关系及解直角三角形，解题的关键是能找出最大值．
三、解答题（共13小题，计81分。解答题应写出过程）
14．（5分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1+2﹣3
＝2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x≤2，
由②得：x≤﹣7，
故不等式组的解集为x≤﹣7．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
16．（5分）解方程：．
【分析】在分式方程的两边同时乘以x（x﹣3）去分母，然后解出x的值即可．
【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣3）得：
3x﹣18＝x（x﹣3）﹣x2，
去括号得：3x﹣18＝x2﹣3x﹣x2，
整理得6x＝18，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0，
所以x＝3是方程的增根，原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是能够熟练去分母，不要漏乘常数，不要漏写检验．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在BC上，请利用尺规作图法，求作∠BEF，使得∠BEF＝∠BAD，EF与AB边交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图即可．
【解答】解：如图所示，∠BEF即为所求．

【点评】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
18．（5分）如图，∠ABE＝∠DBC＝90°，AB＝BE，BD＝BC．求证：∠ADB＝∠C．

【分析】由全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△EBC，则其对应边相等，证得结论．
【解答】证明：∵∠ABE＝∠DBC＝90°，
∴∠ABE+∠EBD＝∠DBC+∠EBD，即∠ABD＝∠EBC．
在△ABD与△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS）．
∴∠ADB＝∠C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19．（5分）某学校用33000元购进甲、乙两种医用口罩共计1000盒，免费发放给全校师生，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒，求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
【分析】设学校购进甲种口罩x盒，购进乙种口罩y盒，根据学校33000元购进甲、乙两种医用口罩共计1000盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出答案．
【解答】解：设学校购进甲种口罩x盒，购进乙种口罩y盒，
依题意，得：，
解得：．
答：学校购进甲种口罩400盒，购进乙种口罩600盒．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．（5分）李优为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．
（1）转动一次B盘，转出蓝色的概率为 　　．
（2）利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率．（这里红、白、黄、绿、蓝分别用字母A、B、C、D、E表示）

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中游戏者获胜（配成了紫色）的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）转动一次B盘，转出蓝色的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中游戏者获胜（配成了紫色）的结果有1种，
∴游戏者获胜的概率为．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．正确画出树状图是解题的关键．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）张红武和学习小组的同学们想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵树的高度，经讨论之后大家决定用以下方法进行测量：首先准备一长方形的笔记本和一根笔直的长约30厘米的木条．测量时，如图，由一位同学把笔记本拿在手里（笔记本封面所在平面在竖直平面内），另一位同学沿笔记本DA边观察树的顶端，调整角度之后使树的顶端M与DA边在一条直线上．这时让木条的一端与点A重合．用手捏住这一端，并使木条自然下垂，这时木条与BC边交于点E．经测量点A到地面的距离为1.2米，笔记本的长AD＝20厘米，宽AB＝14厘米，BE＝8厘米．一位同学从点A的正下方走向树的底部共走了21步，若该同学每一步的长为40厘米，请求出这棵树（MN）的高度．

【分析】根据题意补全图形，利用BF∥MQ，AP∥MN可得△EPF∽△APQ∽△MNQ，又因为△ABE∽△FPE，得出比例式，解出MN即可．
【解答】解：如图，

根据题意可知，NP＝21×0.4＝8.4，AE＝0.14，BE＝0.08，AP＝1.2，
∵BF∥MQ，
∴△EPF∽△APQ，
∵∠B＝∠APF，∠AEB＝∠PEF，
∴△EPF∽△EBA，
∴△APQ∽△EBA，
∴，
即，
解得PQ＝2.1，
∵AP∥MN，
∴△APQ∽△MNQ，
∴，
∴，
解得MN＝6，
答：这棵树（MN）的高度为6米．
【点评】此题考查了相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（7分）为了了解学生的排球垫球训练情况，某中学体育组从参加排球训练的所有学生的排球成绩（一分钟垫球个数）中，随机抽取了60名学生的排球成绩，根据成绩分布情况，他们将抽取的全部成绩分成A、B、C、D、E五组，绘制了如下统计图表：
组别
一分钟垫球个数/个
频数
A
0≤x＜10
m
B
10≤x＜20
4
C
20≤x＜30
n
D
30≤x＜40
26
E
40≤x＜50
10
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝　2　，n＝　18　；
（2）这60名学生一分钟垫球个数的中位数落在 　D　组；
（3）该校共有450名学生参加排球训练，请估计这些学生中一分钟垫球个数不少于30个的人数．

【分析】（1）根据频数分布直方图即可得出m的值，用总数分别减去其它组的频数即可得出n的值；
（2）直接根据中位数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）由题意得，m＝2，
故n＝60﹣2﹣4﹣26﹣10＝18，
故答案为：2；18；
（2）这60名学生一分钟垫球个数的中位数落在D组，
故答案为：D；
（3）450×＝270（人），
答：估计这些学生中一分钟垫球个数不少于30个的人数为270人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．（7分）西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻名．袁浪浪家种植了A，B两个品种的樱桃共4亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如表：
品种
种植成本（万元/亩）
设备成本（万元/亩）
售价（万元/亩）
A
1
0.2
3.5
B
1.5
0.3
4.2
设种植A品种樱桃x亩，若4亩地全部种植两种樱桃共获得利润y万元（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，则A品种樱桃种植多少亩时利润最大？并求最大利润．
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植A品种樱桃种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝（3.5﹣1﹣0.2）x+（4.2﹣1.5﹣0.3）×（4﹣x）＝﹣0.1x+9.6，
即y与x的函数关系式为y＝﹣0.1x+9.6；
（2）∵A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，
∴x≥1.5（4﹣x），
解得x≥2.4，
∵y＝﹣0.1x+9.6，k＝﹣0.1，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝2.4时，y取得最大值，此时y＝9.36，
答：种植A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，经过点C的⊙O与边AB相切于点E，与边AC、BC分别交于点D、点F，连接OA，＝2．
（1）求证：CF＝CD；
（2）若CD＝2，求OA的长度．

【分析】（1）根据圆周角定理得出DF是直径，进而得出△CDF是含有30°角的直角三角形，得出CD与FC的关系即可；
（2）根据切线的性质，四边形的内角和以及（1）的结论可得出∠EOF是正三角形，在根据三角形的内角和以及直角三角形的边角关系可求出BF、BE、BC、AB、AE，再根据勾股定理求出OA即可．
【解答】（1）证明：如图，连接DF，OE，EF，
∵∠C＝90°，
∴DF是⊙O的直径，即过点O，
∵＝2，
∴∠CDF＝2∠CFD，
又∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝60°，∠CFD＝30°，
在Rt△CDF中，
∵tan60°＝，
∴CF＝CD；
（2）解：∵AB是⊙O的切线，OE是半径，
∴OE⊥AB，
即∠OEB＝90°，
又∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴∠OFB＝180°﹣30°＝150°，
在四边形OEBF中，由内角和定理可得，
∠EOF＝360°﹣90°﹣60°﹣150°＝60°，
∵OE＝OF，
∴△EOF是正三角形，
∴OE＝OF＝EF＝CD＝2，
在Rt△BEF中，∠B＝60°，EF＝2，
∴BF＝EF＝，BE＝2BF＝，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝BF+FC＝+2＝，
∴AB＝2BC＝，
∴AE＝AB﹣BE＝﹣＝4，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，
OA＝＝＝2．

【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，圆周角定理及其推论，直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
25．（8分）如图，抛物线l的顶点C在y轴上，点A，B为抛物线上关于y轴对称的两点，线段AB交y轴于点D，AB＝4，OC＝2，OD＝4．
（1）求抛物线l的函数表达式；
（2）将抛物线l平移到抛物线l′，设平移后点A，B的对应点为A'，B'，若点A落在直线x＝1上，且以A、B、A'、B′为顶点的四边形是菱形，试确定平移后抛物线l'的表达式．

【分析】（1）根据题意求出A、B、D三点的坐标，抛物线的对称轴为y轴，设出抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据平移的性质和以A、B、A'、B′为顶点的四边形是菱形，求出A′，B′坐标，即可得出平移的方向和长度，从而写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：（1）由图知点C在y轴的正半轴，且OC＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
点A和点B关于y轴对称，且AB与y轴交于D点，AB＝4，OD＝4，
∴A、B、D三点的纵坐标为4，DA＝DB＝2，
∴点D的坐标为（0，4），
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣2，4），B（2，4），
设抛物线l的函数表达式为y＝ax2+c（a≠0），
将A（﹣2，4），C（0，2）代入得：，
解得：．
∴抛物线l的函数表达式为y＝x2+2；
（2）将拋物线l：y＝x2+2平移后，点A落在直线x＝1上，即点A'在x＝1上，
∴点A'的横坐标为1，
∵AB＝4，
∴平移后的A'B'＝AB＝4，
根据平移的性质可知，平移后的A′B′要么在直线y＝4上，要么在与直线y＝4平行的平行线上，
即AB∥A'B'，AB和A′B′不可能互为对角线，
∵AB＝A'B'，AB∥A′B′，
∴以A、B、A'、B'为顶点的四边形是平行四边形，
要满足以A、B、A'、B'为顶点的四边形是菱形，
则AB和A'B'为菱形的边，且A'B'＝AB＝A'A＝B'B＝4．
∵xA′＝1，
∴xB′＝1+4＝5，
设A'（1，y），则B′（5，y），
AA'2＝16＝（﹣2﹣1）2+（4﹣y）2，
即（4﹣y）2＝16﹣9＝7，
解得y＝4±，
①当y＝4+时，点A'坐标为（1，4+），点B'的坐标为（5，4+），相对于A（﹣2，4），B（2，4），
∵1﹣（﹣2）＝3，4+﹣4＝，
∴抛物线l：y＝x2+2向右平移了3个单位长度，向上平移了个单位长度，
则抛物线l'的解析式为：y＝（x﹣3）2+2+＝x2﹣3x++；
②当y＝4﹣时，A'（1，4﹣），B'（5，4﹣），相对于A（﹣2，4），B（2，4）
∵1﹣（﹣2）＝3，4﹣﹣4＝﹣，
∴抛物线l：y＝x2+2向右平移了3个单位，向下平移了个单位，
则抛物线l′的解析式为：y＝（x﹣3）2+2﹣＝﹣3x+﹣．
综上所述，平移后抛物线l'的表达式为y＝x2﹣3x++或y＝x2﹣3x+﹣．
【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和菱形的性质等知识点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用．
26．（10分）问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是CD边上的一点，连接BE，将△BCE沿BE所在直线翻折，点C的对应点落在AD边上的点F处，求EF的长．
问题解决：
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD沿BD所在直线翻折，点A的对应点为A'，连接A′C，若AC＝8，则△BCA′的面积是否存在最大值，如果存在，求出面积的最大值，并求出此时，∠BDC的度数，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）翻折的对应边等，勾股定理计算AF，求出DF，再设EF，在三角形DEF中用勾股定理建立方程计算即可求；
（2）利用三角形中线和折叠得到A、B、C、A′共圆，得到DB平行CA′，△BCA′的面积转换为△DCA′的面积，从而面积最值转换为角的最值．
【解答】解：（1）将△BCE沿BE所在直线翻折得△BFE，
∴BF＝BC＝10，FE＝EC，
在矩形ABCD中，AB＝8，∠A＝90°，
∴由勾股定理得BF2＝AB2+AF2，
∴AF＝6，
∴DF＝10﹣6＝4，
设EF＝x，则EC＝x，
∴由勾股定理得EF2＝DE2+DF2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴EF＝5；

（2）存在．
理由：∵∠ABC＝90°，BD为斜边AC上的中线，AC＝8，
∴DB＝DA＝DC＝4，
∵△ABD沿BD所在直线翻折，点A的对应点为A'，
∴DA＝DA′，∠DBA＝∠DBA′，
∴以D为圆心，DA为半径的圆，A、B、C、A’在同一圆上．
∴∠DAB＝∠CA′B，
∵DB＝DA，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴DB∥A′C，
∴△BCA′与△A′DC同底CA′，等高，
∴S△BCA′＝S△A′DC，
∴当A′D⊥AC时，△DCA′的面积最大，最大值为×4×4＝8，
此时∠ADB＝∠BDA′＝135°，∠BDC＝45°，
综上，△BCA′的面积存在最大值，最大值为8，∠BDC＝45°．
【点评】本题考查翻折变换，三角形的面积等知识，四点共圆，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．