初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形课堂检测

这是一份初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形课堂检测，文件包含专题11三角形证明知识梳理+真题演练-八年级数学下学期期末复习宝典北师大版解析版docx、专题11三角形证明知识梳理+真题演练-八年级数学下学期期末复习宝典北师大版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

知识归纳
知识点一:全等三角形的判定定理及性质定理
全等三角形的判定定理:SSS、SAS、ASA、AAS.
全等三角形的性质定理:全等三角形的对应边相等,对应角相等.
知识点二:等腰三角形的性质定理
定理:等腰三角形的两底角相等,简述为“等边对等角”.
注意:“等边对等角”成立的前提条件是在同一个三角形中.
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(简述为“三线合一”).
知识点三:等边三角形的性质定理
等边三角形的三边都相等;
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;
等边三角形是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;
任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.
在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
1．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10B．5C．4D．3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解析】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
2．（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
3．（2020•射阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．70°或55°B．70°C．55°D．40°
【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解析】①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°．
故选：A．
4．（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
【分析】利用全等三角形的判定方法添加条件．
【解析】∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
5．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解析】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
6．(2020珠海紫荆中学一模)如图,△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D.若∠A=30°,AE=
6 cm,则BC= .
【分析】根据角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质.掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
【解析】在Rt△ADE中,∵∠A=30°,
∴DE=AE=×6=3(cm),∠ABC=60°.
∵BE平分∠ABC,ED⊥AB,∠ACB=90°,
∴CE=DE=3 cm,∠EBC=30°,
∴在Rt△CBE中,BC=CE=3cm.
7．（2020•丹徒区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．
（1）求证：CF＝EF；
（2）求∠EFB的度数．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得BF＝CF，由直角三角形的性质可证CF＝EF；
（2）由垂直平分线的性质可证AE＝EC，由等腰三角形的性质可求∠B＝∠ACB＝67.5°，即可求解．
【解析】证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
又∵CE⊥AB，
∴CF＝EF；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AE＝EC，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝∠EAC＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∵EF＝CF＝BF，
∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，
∴∠EFB＝45°．
知识点四：等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
知识点五：等边三角形的判定
由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2. 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
3. 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
1．（2020•南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（ ）
A．a+b2B．a−b2C．a﹣bD．b﹣a
【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC＝AD，进而解答即可．
【解析】∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
2．（2020•安顺）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为 ．
【分析】延长BD到F，使得DF＝BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．
【解析】延长BD到F，使得DF＝BD，
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝CF，
过点C点作CH∥AB，交BF于点H
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∴HF＝HC，
∵BD＝8，AC＝11，
∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，
∴HF＝HC＝8﹣3＝5，
在Rt△CDH，
∴由勾股定理可知：CD＝4，
在Rt△BCD中，
∴BC=82+42=45，
故答案为：45
3．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
4．（2020秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解析】（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
知识点六：直角三角形的性质
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
知识点七：直角三角形的判定：
（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
（2）直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
1．（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A．101313B．91313C．81313D．71313
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】由勾股定理得：AC=22+32=13，
∵S△ABC＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，
∴12AC⋅BD=72，
∴13⋅BD=7，
∴BD=71313，
故选：D．
2．（2020•河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
【分析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解．
【解析】如图，
由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，
则AB＝62km，
则PC＝32km，
则从点P向北偏西45°走32km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；
则从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，选项D正确．
故选：A．
3．（2020•苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝ ．
【分析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
【解析】设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE中，
∴EC2＝x2+y2＝1，
∴EC＝1，
故答案为：1
4．（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解析】添加的条件是：AB＝ED，
理由是：∵在△ABC和△EDF中
∠B=∠DAB=ED∠A=∠DEF，
∴△ABC≌△EDF（ASA），
故答案为：AB＝ED．
5．（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
∠BED=∠CFD∠B=∠CBD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
6．（2020春•永定区校级期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
【分析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．
【解析】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）
知识点八：线段的垂直平分线
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
1．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．8B．11C．16D．17
【分析】在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为
【解析】∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
2．（2020•河南）如图，在△ABC中，AB＝BC=3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．63B．9C．6D．33
【分析】连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD=3AB＝3，于是得到结论．
【解析】连接BD交AC于O，
∵AD＝CD，AB＝BC，
∴BD垂直平分AC，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∵AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝60°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵AB＝BC=3，
∴AD＝CD=3AB＝3，
∴四边形ABCD的面积＝2×12×3×3=33，
故选：D．
3．（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝ 78° ．
【分析】过O作射线BP，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．
【解析】过O作射线BP，
∵线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°，
故答案为：78°．
4．（2020秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．
【解析】（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长为7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度数是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
5．（2020秋•遵化市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DE+2EC＝7cm，即可得出答案．
【解析】（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C=12∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝7cm，
即2DE+2EC＝7cm，
∴DE+EC＝DC＝3.5cm．
知识点九：角平分线的性质
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直
1．（2020•滨州）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
【解析】∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CPF＝55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，
∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，
故选：B．
2．（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（ ）
A．132°B．128°C．122°D．112°
【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG=12∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．
【解析】∵AB∥CD，∠EFG＝64°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠BEG=12∠BEF＝58°，
∵AB∥CD，
∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．
故选：C．
3．（2020•南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（ ）
A．a+b2B．a−b2C．a﹣bD．b﹣a
【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC＝AD，进而解答即可．
【解析】∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
4．（2020秋•章贡区期末）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
【分析】（1）直接利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义得出答案；
（2）过D作DF⊥AC于F，依据角平分线的性质，即可得到DF＝DE＝3，再根据S△ABC=12×AB×DE+12×AC×DF进行计算即可．
【解析】（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=12×60°＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC=12×AB×DE+12×AC×DF=12×10×3+12×8×3＝27．
5．（2020秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】由条件可先求得BD的长，再根据角平分线的性质可知D到AC的距离等于BD，可得到答案．
【解析】∵BC＝10，CD＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4，
△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离＝BD＝4．
故选：A．
6．（2020秋•柳州期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，且BC＝12，BD＝8，则点D到AB的距离为 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出CD＝DE，求出CD长即可．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E．
∵BC＝12，BD＝8，
∴CD＝BC﹣BD＝4．
又∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴DE＝CD＝4．
故答案为：4．
7．（2020秋•泰兴市期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于 ．
【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形面积公式计算即可．
【解析】作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC=12×AB×DE+12×BC×DF=12×(AB+BC)⋅DE=12×(16+14)⋅DE=60，
∴DF＝DE＝4．
故答案为：4．
8．（2020春•南岗区期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．
【解析】（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=12×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=12∠ACB=12×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积=12DF•AC=12×2×4＝4．