2022-2023学年江西省新余一中、丰城两校高三上学期12月联考数学（文）试题（word版）

江西省新余、丰城两校2022-2023学年高三上学期12月联考

数学（文科）试卷

考试时间：120分钟；    满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.复数满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知是等差数列的前项和，若，则（    ）

A.2   B.3   C.4   D.6

5.已知命题：，，命题：函数在区间上是减函数，则，下列结构中正确的是（    ）

A.命题“”是真命题    B.命题“”是真命题

C.命题“”是真命题   D.命题“”是真命题

6.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知函数，则的图象大致为（    ）

A.    B.

C.     D.

9.已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为1，又双曲线与直线交于A，B两点，点P为右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，曲线C的左､右焦点分别为，.若，则下列说法正确的是（    ）

A.        B.双曲线的渐近线方程为.

C.双曲线的离心率为.   D.若，则的面积为1.

10.如图，已知正方体的棱长为a，点E，F，G，H，I分别为线段，，，，的中点，连接，，，，BF，CI，则下列正确结论的个数是（    ）

①点E，F，G，H在同一个平面上；②平面平面EFD；

③直线DE，BF，CI交于同一点；④直线BF与直线所成角的余弦值为.

A.1   B.2   C.3   D.4

11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则

A.999   B.749   C.499   D.249

12.函数满足，，，若存在，使得成立，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.

13.设，满足约束条件，则的最小值为__________.

14.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.记事件A为“抽取到的两张卡片上的数奇偶性相同”，事件B为“两张卡片上的数字均为偶数”，则___________.

15.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，且，，若，，，则__________.

16.若不等式对一切恒成立，则的最大值为____________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答：第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若.

（1）求角C的大小；

（2）若，求AB边上高的取值范围.

18.为了推进新高考改革，某中学组织教师开设了丰富多样的校本选修课，同时为了增加学生对校本选修课的了解和兴趣，该校还组织高二年级300名学生参加了一次知识竞答活动，本次活动共进行两轮比赛，第一轮是综合知识小检测，满分100分，并规定得分从高到低排名在前20%的学生可进入第二轮答题，从6个难度升级分别涉及“时事政治”、“语言文化”、“艺术欣赏”、“体育健康”、“天文地理”和“逻辑推理”六个方面的题目中随机抽选3个题目进行作答，以下是300名学生在第一轮比赛中的得分按照，，，，，进行分组绘制而成的频率分布直方图如图所示：

（1）根据频率分布直方图估计学生在第一轮比赛中至少得到多少分才能进入第二轮比赛？

（2）已知李华比较擅长“时事政治”类题目，不太擅长“逻辑推理”类题目，若李华成功进入了第二轮比赛，求他刚好抽中“时事政治”类题目，没有抽中“逻辑推理”类题目的概率.

19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，.

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）求C到平面BQD的距离.

20.已知椭圆：过点，点A为其左顶点，且AM的斜率为.

（1）求C的方程；

（2）P，Q为椭圆C上两个动点，且直线AP与AQ的斜率之积为，，D为垂足，求的最大值.

21.已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做第一题计分.

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的方程是.

（1）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）若点A的坐标为，直线与曲线C交于P，Q两点，求的值.

23.记函数的最小值为.

（1）求的值；

（2）若正数，，满足，证明：.

数学（文科）试卷

答案

一、单选题（共60分）

BABBD    ACADC    AD

6.A【详解】将化为，

则其焦点，准线方程为，

则，设，

则由抛物线的定义，得，

所以的周长

（当且仅当轴时取得最小值）.

故选：A.

7.C

【详解】解：依题意可得，因为，所以，

要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即.

故选：C.

8.A

【详解】当时，，则，

∴在上单调递增，BD错误；

当时，，则，

∴当时，；当时，；

∴在上单调递减，在上单调递增，C错误，A正确.

故选：A.

9.D

【详解】因为双曲线：的焦点到渐近线的距离为1，则，所以

双曲线方程为：，由可得，

设，，则，即，

∴，设

则，，所以，即，

又，，，

所以，

∴，即，故A错误；

所以双曲线：，，

双曲线的渐近线方程为，离心率为，故B错误，C错误；

若，则，

所以，的面积为1，故D正确.

故选：D

10.C

【详解】对于①，连接EF，FG，GH，EH，，作图如下：

在正方体中，易知，

在中，∵，分别为，的中点，

∴，则命题①正确；

对于②，连接EF，FG，GH，EH，，DF，作图如下：

在中，∵，分别为，的中点，

∴，同理在中，，

∵平面，平面，∴平面，同理可得平面，

∵，∴与GH相交，由平面EFGH，则平面平面，

因为平面平面，所以命题②错误；

对于③，连接BD，延长DE、BF交于点M，

因为，且，所以，

又因为，且，所以B、C、F、I四点共面，所以BF与CI相交，

设BF与CI的交点为N，则，所以M与N重合，

即直线DE，BF，CI交于同一点，命题③正确；

对于④，取的中点K，连接CK，

则，则CK与所成的角即为直线BF与直线所成的角，连接，

设正方体的棱长，则，，，

由余弦定理得

，命题④正确.

综上知，①③④正确.

故选：C.

11.A

【详解】由，得，又，

所以数列是以4为首项，5为公比的等比数列，则①，

由得：，又，

所以数列是常数列，则②，

由①②联立得.

因为，所以，

即，

所以，

故，

所以，

则.

故选：A

12.D

【详解】由题意设，则，

所以（为常数）.

∵，∴，∴，

∴.

令，则，

故当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴，从而当时，，

∴在区间上单调递增.

设，，则，

故在上单调递增，在上单调递减，所以.

∴不等式等价于，

∴，解得，故的取值范围为.

选D.

二、填空题（共20分）

13.-6

【详解】由约束条件，作图如下：

由图可知，，，，

当取，可得，

故答案为：-6.

14.

15.-24

【详解】解：因为，，

所以，，，

因为，，，

所以

.

故答案为：-24

16.

【详解】令得，

当时，得在上单调递增，

当时，与矛盾.

当时，，，

当时，，

，

令，则，

，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，，

当，时，的最大值为.

故答案为：.

17.（1）（2）

【详解】（1）由条件可知：，

，

∵，∴，

，

又，∴，∴，∴；

（2）设AB边上的高为h，则

且，

∴，∴.

由正弦定理得，

∴，，

又

∴

，

∵为锐角三角形，∴，解得：，

∴，∴，

∴AB边上高的取值范围是；

综上，，AB边上高的取值范围是.

18.（1）76分；（2）.

【详解】解：（1）设学生在第一轮比赛中至少得到分才能进入第二轮比赛.

则由频率分布直方图可得，解得，

故学生在第一轮比赛中至少得到76分才能进入第二轮比赛.

（2）设这6个分别涉及“时事政治”､“语言文化”､“艺术欣赏”､“体育健康”“天文地理”和“逻辑推理”六个方面的题目为A，B，C，D，E，F，则从中随机抽选3个题目的结果有ABC，ABD，ABE，ABF，ACD，ACE，ACF，ADE，ADF，AEF，BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，BEF，CDE，CDF，CEF，DEF共20种，

其中满足刚好抽中“时事政治”类题目，没有抽中“逻辑推理”类题目的情况有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE共6种，

所以李华刚好抽中“时事政治”类题目，没有抽中“逻辑推理”类题目的概率.

19.（1）证明见解析（2）

【详解】（1）如图，取AD的中点为O，连接QO，CO.

因为，，则，

而，，故.

在正方形ABCD中，因为，故，故，

因为，故，

故为直角三角形且，

因为，，，平面ABCD，

故平面ABCD，

因为平面QAD，

故平面平面ABCD.

（2）由（1）知平面ABCD，底面ABCD是正方形，

则，，

在中，，，

所以，

由知，

所以，

所以

所以C到平面BQD的距离为

20.（1）（2）

（1）由题意可知直线的方程为：，即，

令，解得，所以，

椭圆：过点，

可得，解得，

所以C的方程：；

（2）设，，

由题意得直线斜率不为零，设：，代入到椭圆，

由得，即

所以，

由，得，即，

所以，

所以，

所以，

化简得，

所以或，

若，则直线：过椭圆的左顶点，不适合题意，所以，

所以：过定点，

因为，为垂足，

所以在以MS为直径的圆上，，的中点为，

又，所以，

所以的最大值为，

即的最大值为.

21.（1）（2）.

【详解】（1），

所以切线斜率为，

又，切点为，

所以切线方程为：.

（2）∵，

∴，

若，则恒成立，

∴，，

，

∵，

设，则，

令，，

则，

∴在上单调递减；

∵，∴，

∵，

∴，∴，∴，

∴当时，，

∴，

即实数的最大值为.

22.【详解】（1）由，可得，

将上式分别平方，然后相加可得，

由，可得，

即，即.

（2）由（1）可知直线的斜率为，则其倾斜角为，

且点在直线上，

所以直线的参数方程为：（为参数），

即（为参数），

将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得.

设点P，Q对应的参数分别为，，则，，

则.

23.（1）；（2）证明见解析；

（1）由题意得，，

作出函数图像如图所示，由图可知，

当时，函数取最小值，，故.

（2）由（1）得，故，因为，，均为正数，

所以要证明不等式，

只需证明，

由柯西不等式得：

，

当且仅当时，取等号，所以原不等式成立.